1、第3讲机械能守恒定律及其应用1重力做功与重力势能(1)重力做功的特点:重力做功与路径无关,只与初、末位置的高度差有关。(2)重力做功与重力势能变化的关系定性关系:重力对物体做正功,重力势能就减少;重力对物体做负功,重力势能就增加。定量关系:物体从位置A到位置B的过程中,重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量,即WG=-Ep。重力势能的变化量是绝对的,与参考面的选取无关。1.1 (2019湖南长沙雅礼中学月考)(多选)质量为m的物体,从静止开始以2g的加速度竖直向下运动h高度,下列说法正确的是()。A.物体的重力势能减少2mghB.物体的机械能保持不变C.物体的动能增加2mghD.物体的机械能
2、增加mgh【答案】CD2弹性势能(1)定义:发生弹性形变的物体的各部分之间,由于有弹力的相互作用而具有的势能。(2)大小:弹簧的弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关,弹簧的形变量越大,劲度系数越大,弹簧的弹性势能越大。(3)弹力做功与弹性势能变化的关系:类似于重力做功与重力势能变化的关系,用公式可表示为W=-Ep。【温馨提示】弹性势能是由物体的相对位置决定的。同一根弹簧的伸长量和压缩量相同时,弹簧的弹性势能相同。2.1 (2018江苏南京10月模拟)如图所示,在光滑水平面上有一物体,它的左端固定连接一弹簧,弹簧的另一端固定在墙上,在力F作用下物体处于静止状态,当撤去F后,物体将向右运动,在物体
3、向右运动的过程中,下列说法正确的是()。A.弹簧的弹性势能逐渐减少B.弹簧的弹性势能逐渐增加C.弹簧的弹性势能先增加再减少D.弹簧的弹性势能先减少再增加【答案】D3机械能守恒定律(1)内容:在只有重力或弹力做功的系统内,动能与势能可以互相转化,而总的机械能保持不变。(2)机械能守恒定律的三种表达形式及应用 守恒观点:a.表达式,Ek1+Ep1=Ek2+Ep2或E1=E2。b.意义,系统初状态的机械能等于末状态的机械能。c.注意问题,要先选取零势能面,并且在整个过程中必须选取同一个零势能面。转化观点:a.表达式,Ek=-Ep。b.意义,系统的机械能守恒时,系统增加(或减少)的动能等于系统减少(或
4、增加)的势能。转移观点:a.表达式,EA增=EB减。b.意义,若系统由A、B两部分组成,当系统的机械能守恒时,则A部分机械能的增加量等于B部分机械能的减少量。(3)守恒条件:只有重力或弹簧的弹力做功。(4)机械能守恒的判断方法利用机械能的定义判断(直接判断):分析动能和势能的和是否变化。用做功判断:若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功,或有其他力做功,但其他力做功的代数和为零,则机械能守恒。用能量转化来判断:若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化,则物体系统机械能守恒。3.1 (2019陕西西安高三检测)(多选)如图所示,一轻弹簧一端固定在O点,另一端系一小球,
5、将小球从与悬点O在同一水平面且使弹簧保持原长的A点无初速度释放,让小球自由摆下,不计空气阻力,在小球由A点摆向最低点B的过程中,下列说法中正确的是()。A.小球的机械能守恒B.小球的机械能减少C.小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变D.小球与弹簧组成的系统机械能守恒【答案】BD题型一单个物体的机械能守恒问题应用机械能守恒定律的基本思路(1)选取研究对象单个物体多个物体组成的系统系统内有弹簧(2)受力分析和各力做功情况分析,确定是否符合机械能守恒的条件。(3)确定初、末状态的机械能或运动过程中物体机械能的转化情况。(4)选择合适的表达式列出方程,进行求解。(5)对计算结果进行必要的讨论和说明。
6、【例1】如图甲所示,将一质量m=0.1 kg的小球自水平平台右端O点以初速度v0水平抛出,小球飞离平台后由A点沿切线落入竖直光滑圆轨道ABC,并沿轨道恰好通过最高点C,圆轨道ABC的形状为半径R=2.5 m的圆截去了左上角127的圆弧,CB为其竖直直径,(sin 53=0.8,cos 53=0.6,重力加速度g取10 m/s2,空气阻力不计)求:甲(1)小球经过C点的速度vC的大小。(2)小球运动到轨道最低点B时,轨道对小球的支持力大小。(3)平台末端O点到A点的竖直高度H。【解析】(1)小球恰好运动到C点时,由重力提供向心力,由牛顿第二定律知mg=mvC2R解得vC=gR=5 m/s。(2)
7、对小球从B点到C点,由机械能守恒定律有12mvC2+mg2R=12mvB2在B点对小球进行受力分析,由牛顿第二定律有FN-mg=mvB2R联立解得vB=55 m/s,FN=6.0 N。(3)对小球从A到B由机械能守恒定律有乙12mvA2+mgR(1-cos 53)=12mvB2所以vA=105 m/s在A点对小球进行速度的分解如图乙所示,有vy=vAsin 53所以H=vy22g=3.36 m。【答案】(1)5 m/s(2)6.0 N(3)3.36 m机械能守恒定律的应用技巧:(1)机械能守恒定律是一种“能与能的转化”关系,其守恒是有条件的,因此,应用时首先要对研究对象在所研究的过程中机械能是
8、否守恒做出判断。(2)如果系统(除地球外)只有一个物体,用守恒式列方程较方便;对于由两个或两个以上物体组成的系统,用转化式或转移式列方程较简便。【变式训练1】(2019辽宁沈阳第二中学模拟)如图是阿毛同学的漫画中出现的装置,描述了一个“吃货”用来做“糖炒栗子”的“萌”事儿:将板栗在地面小平台上以一定的初速度经两个四分之一圆弧衔接而成的轨道,从最高点P飞出进入炒锅内,利用来回运动使其均匀受热。我们用质量为m的小滑块代替栗子,借用这套装置来研究一些物理问题。设大小两个四分之一圆弧半径分别为2R、R,小平台和圆弧均光滑。将锅底的纵截面看作是由两个斜面AB、CD和一段光滑圆弧组成的。斜面与小滑块间的动
9、摩擦因数均为0.25,而且不随温度变化。两斜面倾角均为=37,AB=CD=2R,A、D等高,D端固定一小挡板,小滑块碰撞它不损失机械能。滑块的运动始终在包括锅底最低点的竖直平面内,重力加速度为g。(1)如果滑块恰好能经P点飞出,为了使滑块恰好沿AB斜面进入锅内,应调节锅底支架高度使斜面的A、D点离地高为多少?(2)在(1)的情况下,求滑块在锅内斜面上运动的总路程。(3)在初速度不同的情况下,求滑块通过最高点P和小圆弧最低点Q时受压力之差的最小值。【解析】(1)设滑块恰好经P点飞出时的速度为vP,由牛顿第二定律有mg=mvP22R解得vP=2gR到达A点时速度方向要沿着斜面AB,则vy=vPta
10、n =342gR所以A、D点离地高度h=3R-vy22g=3916R。(2)进入A点时滑块的速度v=vPcos=542gR假设经过一个来回滑块能够回到A点,设回来时动能为Ek,则Ek=12mv2-4mgcos 2Rmgcos ,则根据动能定理得mg2Rsin -mgcos s=0-12mv2解得滑块在锅内斜面上运动的总路程s=221R16。(3)设滑块的初速度和经过最高点时的速度分别为v1、v2根据牛顿第二定律可知,在Q点有F1-mg=mv12R在P点有F2+mg=mv222R所以F1-F2=2mg+m(2v12-v22)2R由机械能守恒有12mv12=12mv22+mg3R得v12-v22=
11、6gR为定值代入v2的最小值(v2=vP=2gR)得压力差的最小值为9mg。【答案】(1)3916R(2)221R16(3)9mg题型二多个物体的机械能守恒问题1.杆连物体系统机械能守恒问题简述如图所示的两物体组成的系统,当释放后A、B在竖直平面内绕过O点的轴转动,且A、B的角速度相等方法突破求解这类问题时,因为二者角速度相等,所以关键是根据二者转动半径的关系寻找两物体的线速度的关系,根据两物体间的位移关系,寻找到系统重力势能的变化,最后根据Ek=-Ep列出机械能守恒的方程求解。另外须注意轻杆对物体提供的弹力不一定沿着杆,轻杆的弹力也就不一定与速度方向垂直,轻杆的弹力对一个物体做了正功,就对另
12、一物体做了负功,并且二者的绝对值相等2.绳连物体系统机械能守恒问题简述如图所示的两物体组成的系统,在释放B从而使A、B运动的过程中,A、B的速度方向均沿绳子,在相等时间内A、B运动的路程相等,A、B的速率也相等。但有些问题中两物体的速率并不相等,这时就需要先进行运动的合成与分解找出两物体运动速度之间的关系方法突破求解这类问题时,因为二者速率相等或相关,所以关键是寻找两物体间的位移关系,进而找到系统重力势能的变化。列机械能守恒方程时,一般选用Ek=-Ep的形式。另外须注意系统机械能守恒并非每个物体的机械能守恒,因为细绳对系统中的每一个物体都要做功3.弹簧连接的系统机械能守恒问题简述由弹簧相连的物
13、体系统,在运动过程中既有重力做功又有弹簧弹力做功,这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧弹性势能相互转化或转移,而总的机械能守恒方法突破求解这类问题时,首先以弹簧遵循的胡克定律为突破口:弹簧伸长或缩短时产生的弹力的大小遵循F=kx和F=kx。其次,以弹簧的弹力做功为突破口:弹簧发生形变时,具有一定的弹性势能。弹簧的弹性势能与弹簧的劲度系数、形变量有关,但是在具体的问题中不用计算弹性势能的大小,弹簧的形变量相同的时候弹性势能相同,通过运算可以约去。当题目中始、末长度都不是弹簧原长时,要注意始、末弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应,即伸长量或压缩量,而力的位移就可能是两次形变量之和或之差【例2
14、】(多选)如图甲所示,a、b、c是三个质量相同的小球(可视为质点),a、b两球套在水平放置的光滑细杆上,c球用长度均为L的细线分別与a、b两球连接。起初a、b两球固定在细杆上相距2L处,重力加速度为g,若同时释放a、b两球,则()。甲A.在a、b碰撞前的任一时刻,b相对c的速度方向与b、c的连线垂直B.在a、b碰撞前的运动过程中,c的机械能先增大后减小C.在a、b碰撞前的瞬间,b的速度为gLD.在a、b碰撞前的瞬间,b的速度为2gL【解析】若同时释放a、b两球,则几何关系如图乙所示,vccos =vbsin ,在a、b碰前瞬间有=0,vc=0,所以A项正确;在a、b碰撞前的运动过程中,c向下运
15、动,两细线对c做负功,则c的机械能一直减小,B项错误;由能量关系有mgL=212mvb2,解得vb=gL,所以C项正确,D项错误。乙【答案】AC多个物体应用机械能守恒定律解题应注意的问题(1)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动的过程中,系统的机械能是否守恒。(2)注意先寻找连接各物体间的连接物,如绳子、杆或者其他物体,再寻找几个物体间的速度关系和位移关系。(3)列机械能守恒方程时,一般选用EA增=EB减的形式。【变式训练2】(2019河北定州开学模拟)如图所示,B是质量为2m、半径为R的光滑半圆弧槽,放在光滑的水平桌面上。A是质量为3m的细长直杆,在光滑导孔的限制下,A只能上下运动。物块C
16、的质量为m,紧靠B放置。初始时,A杆被夹住,使其下端正好与半圆弧槽内侧的上边缘接触,然后从静止释放A。求:(1)杆A的下端运动到槽B的最低点时B、C的速度。(2)杆A的下端经过槽B的最低点后,A能上升的最大高度。【解析】(1)运动到最低点时,长直杆在竖直方向的速度为0,B、C具有共同速度v,由(整个系统ABC)机械能守恒定律得3mgR=123mv2解得vB=vC=v=2gR。(2)B、C分离后,杆上升到所能达到的最高点时,A、B的速度均为0,A、B系统机械能守恒122mv2=3mgh解得h=2R3。【答案】(1)2gR2gR(2)2R3题型三非质点类机械能守恒问题在应用机械能守恒定律处理实际问
17、题时,经常遇到像“链条”“液柱”类的物体,其在运动过程中将发生形变,重心位置相对物体也发生变化,因此这类物体不能再当作质点来处理。虽然物体不能被当作质点来处理,但因只有重力做功,物体整体机械能守恒。一般情况下,可将物体分段处理,确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置,根据初末状态物体重力势能的变化列式求解。【例3】(2018浙江省金华市一中模拟)(多选)如图所示,在竖直平面内半径为R的四分之一圆弧轨道AB、水平轨道BC与斜面CD平滑连接在一起,斜面足够长。在圆弧轨道上静止着N个半径为r(rR)的光滑小球(小球无明显形变),小球恰好将圆弧轨道铺满,从最高点A到最低点B依次标记为1、2、3、N
18、。现将圆弧轨道末端B处的阻挡物拿走,N个小球由静止开始沿轨道运动,不计摩擦与空气阻力,下列说法正确的是()。A.N个小球在运动过程中始终不会散开B.第1个小球从A运动到B的过程中机械能守恒C.第1个小球到达B点前第N个小球做匀加速运动D.第1个小球到达最低点的速度vgR【解析】在下滑的过程中,水平面上的小球要做匀速运动,而曲面上的小球要做加速运动,则后面的小球对前面的小球有向前挤压的作用,所以小球之间始终相互挤压,冲上斜面后后面的小球把前面的小球往上推,即小球之间始终相互挤压,故N个小球在运动过程中始终不会散开,A项正确;第一个小球在下落过程中受到挤压,所以有外力对小球做功,小球的机械能不守恒
19、,B项错误;由于小球在下落过程中速度发生变化,相互间的挤压力变化,所以第N个小球不可能做匀加速运动,C项错误;如果所有小球竖直叠放,则小球整体的重心运动到最低点的过程中,根据机械能守恒定律得12mv2=mgR2,解得v=gR,而所有小球在AB段时,其整体重心低于R2,所以第1个小球到达最低点的整体速度vgR,D项正确。【答案】AD(1)在确定物体重力势能的变化量时,要根据情况,将物体分段处理,确定好各部分的重心及重心高度的变化量。(2)非质点类物体各部分是否都在运动,运动的速度大小是否相同,若相同,则物体的动能才可表示为12mv2。【变式训练3】(2018安徽合肥七校联考)如图所示,粗细均匀,
20、两端开口的U形管内装有同种液体,开始时两边液面高度差为h,管中液柱总长度为4h,后来让液体自由流动,当两液面高度相等时,右侧液面下降的速度为()。A.18ghB.16ghC.14ghD.12gh【解析】由于不考虑摩擦阻力,故整个液柱的机械能守恒。从初始状态到左右管液面相平为止,相当于有长为h2的液柱由右管移到左管。系统的重力势能减少,动能增加。该过程中,整个液柱势能的减少量等效于高为h2的液柱降低h2重力势能的减少量。设液柱总质量为8m,则mgh2=128mv2,解得v=gh8。 【答案】A1.(2018浙江舟山10月模拟)(多选)如图所示,一个小环沿竖直放置的光滑圆环形轨道做圆周运动。小环从
21、最高点A滑到最低点B的过程中,小环线速度大小的平方v2随下落高度h的变化图象可能是()。【解析】对小环由机械能守恒定律有mgh=12mv2-12mv02,则v2=2gh+v02,当v0=0时,B项正确;当v00时,A项正确。【答案】AB2.(2018湖南省常德市一中月考)如图甲所示,轻弹簧竖直固定在水平面上。一质量m=0.2 kg的小球,从弹簧上端某高度处自由下落,从它接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中(弹簧在弹性限度内),其速度v和弹簧压缩量x之间的函数图象如图乙所示,其中A为曲线的最高点,小球和弹簧接触瞬间机械能损失不计,g取10 m/s2,则下列说法正确的是()。A.小球刚接触弹簧时加速
22、度最大B.该弹簧的劲度系数为20.0 N/mC.从接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中,小球的机械能守恒D.从接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中,弹簧的弹性势能先减小后增大【解析】小球刚接触弹簧时加速度为g,不是最大,小球在速度减小到零时加速度才最大,A项错误;图乙中A为曲线的最高点,对应加速度为零,弹簧压缩量x=0.1 m,由mg=kx,解得k=20.0 N/m,B项正确;从接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中,小球的机械能减小,弹簧的弹性势能一直增大,弹簧和小球组成的系统机械能守恒,C、D两项错误。【答案】B3.(2018广东广州二模)如图所示,一个长直轻杆两端分别固定一个小球A和B,两球质量
23、均为m,两球半径忽略不计,杆的长度为l。先将杆竖直靠放在竖直墙上,轻轻振动小球B,使小球B在水平面上由静止开始向右滑动,不计一切摩擦,当小球A沿墙下滑距离为12l时,下列说法正确的是()。A.小球A和B的速度都为12glB.小球A和B的速度都为123glC.小球A的速度为123gl,小球B的速度为12glD.小球A的速度为12gl,小球B的速度为123gl【解析】当小球A沿墙下滑距离为12l时,设此时A球的速度为vA,B球的速度为vB,根据系统机械能守恒得mgl2=12mvA2+12mvB2,两球沿杆方向上的速度相等,则有vAcos 60=vBcos 30,联立解得vA=123gl,vB=12
24、gl,故C项正确,A、B、D三项错误。【答案】C4.(2018江苏省前黄中学开学模拟)如图,一轻绳系住一质量为m的小球悬挂在O点,在最低点先给小球一水平初速度,小球恰能在竖直平面内绕O点做圆周运动,若在水平半径OP的中点A处钉一枚光滑的钉子,仍在最低点给小球同样的初速度,则小球向上通过P点后将绕A点做圆周运动,则到达最高点N时,绳子的拉力大小为()。A.0B.2mgC.3mgD.4mg【解析】小球恰能做圆周运动,则在最高点有mg=mv2R,解得v=gR。由机械能守恒定律可知mg2R=12mv02-12mv2,解得初速度v0=5gR,根据机械能守恒,在最高点N的速度为v,则32mgR=12mv0
25、2-12mv2,根据向心力公式,有T+mg=mv2R2,联立解得T=3mg,C项正确。【答案】C5.(2018河北清苑县中学期中)(多选)如图所示,将质量为2m的重物悬挂在绕过光滑定滑轮的轻绳的一端,轻绳的另一端系一质量为m的小环,小环套在竖直固定的光滑直杆上,定滑轮与直杆的距离为d。现将小环从与定滑轮等高的A处由静止释放,当小环沿直杆下滑距离也为d时(图中B处),下列说法正确的是(重力加速度为g)()。A.环与重物组成的系统机械能守恒B.小环到达B处时,重物上升的高度也为dC.小环在B处的速度与重物上升的速度大小的比值为22D.小环在B处的速度为(3-22)gd【解析】环和重物组成的系统,只
26、有重力做功,系统的机械能是守恒的,故A项正确;环到达B时,绳子收缩的长度等于重物上升的高度,所以h=(2-1)d0.414d,B项错误;将小环的速度沿绳子方向和垂直于绳子方向分解,在沿绳子方向上的分速度等于重物的速度,有vcos 45=v重物,即v=2v重物,C项错误;再根据系统的机械能守恒得mgd-2mgh=122mv重物2+12mv2,联立解得v=(3-22)gd,故D项正确。【答案】AD6.(2018河南济源二模)(多选)如图所示,物体A、B通过细绳及轻质弹簧连接在轻滑轮两侧,物体A、B的质量分别为2m、m。开始时细绳伸直,用手托着物体A使弹簧处于原长,且A与地面的距离为h,物体B静止在
27、地面上。放手后物体A下落,与地面即将接触时速度大小为v,此时物体B对地面恰好无压力,不计一切摩擦及空气阻力,重力加速度大小为g,则下列说法中正确的是()。A.在物体A下落的过程中,物体A和弹簧组成的系统机械能守恒B.弹簧的劲度系数为2mghC.物体A着地时的加速度大小为g2D.物体A着地时弹簧的弹性势能为mgh-12mv2【解析】由题知,在物体A下落的过程中,B一直静止不动,对于物体A和弹簧组成的系统,只有重力和弹力做功,则物体A和弹簧组成的系统机械能守恒,A项正确;物体B对地面的压力恰好为零,故弹簧的拉力T=mg,开始时弹簧处于原长,由胡克定律知T=kh,解得弹簧的劲度系数k=mgh,B项错
28、误;物体A着地时,细绳对A的拉力也等于mg,对A,根据牛顿第二定律得2mg-mg=2ma,解得a=g2,C项正确;物体A与弹簧组成的系统机械能守恒,有2mgh=Ep弹+122mv2,故Ep弹=2mgh-mv2,D项错误。【答案】AC7.(2018江苏苏北七校调研)(多选)如图所示,固定在竖直面内的光滑圆环半径为R,圆环上套有质量分别为m和2m的小球A、B(均可看作质点),且小球A、B用一长为2R的轻质细杆相连,在小球B从最高点由静止开始沿圆环下滑至最低点的过程中(已知重力加速度为g),下列说法正确的是()。A.A球增加的机械能等于B球减少的机械能B.A球增加的重力势能等于B球减少的重力势能C.
29、A球的最大速度为2gR3D.细杆对A球做的功为83mgR【解析】系统机械能守恒的实质可以理解为是机械能的转移,此题的情景就是A球增加的机械能等于B球减少的机械能,A项正确,B项错误;根据机械能守恒定律有2mg2R-mg2R=123mv2,所以A球的最大速度为4gR3,C项错误;根据功能关系,细杆对A球做的功等于A球增加的机械能,即WA=12mv2+mg2R=83mgR,D项正确。【答案】AD8.(2018山东青岛10月检测)一半径为R的半圆形竖直圆柱面,用轻质不可伸长的细绳连接A、B两球,A球悬挂在圆柱面边缘,A球质量为B球质量的2倍,现将A球从圆柱边缘处由静止释放,如图甲所示。已知A球始终不
30、离开圆柱内表面,且细绳足够长,若不计一切摩擦,求:甲(1)A球沿圆柱内表面滑至最低点时的速度大小。(2)A球沿圆柱内表面运动的最大位移。【解析】(1)设A球沿圆柱内表面滑至最低点时的速度大小为v,B球的质量为m,则根据机械能守恒定律有2mgR-2mgR=122mv2+12mvB2由图乙可知,A球的速度v与B球速度vB的关系为vB=v1=vcos 45联立解得v=22-25gR。(2)当A球的速度为零时,A球沿圆柱内表面运动的位移最大,设为x,如图丙所示,由几何关系可知A球下降的高度h=x2R4R2-x2根据机械能守恒定律有2mgh-mgx=0解得x=3R。【答案】(1)22-25gR(2)3R
31、1.(2017全国卷,17)如图所示,半圆形光滑轨道固定在水平地面上,半圆的直径与地面垂直。一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道,并从轨道上端水平飞出,小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关,此距离最大时对应的轨道半径为(重力加速度大小为g)()。A.v216gB.v28gC.v24gD.v22g【解析】设小物块在最高处的速度为vt,因为在它运动过程中只有重力做功,所以机械能守恒。由机械能守恒定律有12mvt2-12mv2=-mg2R,解得vt=v2-4gR。到达最高点之后小物块做平抛运动,根据平抛运动规律,有2R=12gt2,解得t=4Rg,所以水平位移x=vtt=4v2R-4gR2g,由
32、数学知识可知,当R=v28g时,x存在最大值,所以B项正确,A、C、D三项错误。【答案】B2.(2016全国卷,21)(多选)如图甲所示,小球套在光滑的竖直杆上,轻弹簧一端固定于O点,另一端与小球相连。现将小球从M点由静止释放,它在下降的过程中经过了N点。已知在M、N两点处,弹簧对小球的弹力大小相等,且ONMOMN2。在小球从M点运动到N点的过程中()。甲A.弹力对小球先做正功后做负功B.有两个时刻小球的加速度等于重力加速度C.弹簧长度最短时,弹力对小球做功的功率为零D.小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差【解析】小球在M点时弹簧处于压缩状态,在N点时弹簧处于伸长状态,则在由M到
33、N过程中有一点弹簧处于原长状态,设该点为B点,另设小球在A点时对应的弹簧最短,如图乙所示。从M点到A点,弹簧压缩量变大,弹力做负功,从A点到B点弹簧从压缩逐渐恢复至原长,弹力做正功,从B点到N点弹簧从原长逐渐伸长,弹力做负功,A项错误。小球在A点时,水平方向上弹簧的弹力与杆的弹力相平衡,小球受到的合力F合=mg,故加速度a=g;小球在B点时,弹簧处于原长,杆对小球没有作用力,小球受到的合力F合=mg,故加速度a=g,B项正确。 乙在A点时,弹簧的弹力F弹垂直于杆,小球的速度沿杆向下,则P弹=F弹vcos 90=0,C项正确。从M点到N点,小球与弹簧所组成的系统机械能守恒,则Ek增=Ep减,即E
34、kN-0=Ep重M-Ep重N+Ep弹M-Ep弹N,由于在M、N两点弹簧弹力大小相同,由胡克定律可知,弹簧形变量相同,则弹性势能Ep弹N=Ep弹M,故EkN=Ep重M-Ep重N,D项正确。【答案】BCD3.(2015全国卷,21)(多选)如图,滑块a、b的质量均为m,a套在固定竖直杆上,与光滑水平地面相距h,b放在地面上。a、b通过铰链用刚性轻杆连接,由静止开始运动。不计摩擦,a、b可视为质点,重力加速度大小为g。则()。A.a落地前,轻杆对b一直做正功B.a落地时速度大小为2ghC.a下落过程中,其加速度大小始终不大于gD.a落地前,当a的机械能最小时,b对地面的压力大小为mg【解析】首先,把
35、a、b看成一个系统,运动中机械能守恒,b先加速后减速,a到达地面时b的速度为0,故杆对b先做正功后做负功,A项错误;根据系统机械能守恒可知,a的重力势能的减少量等于a动能的增加量,即mgh=12mv2,得v=2gh,B项正确;a下落过程,有一段受杆沿杆向下的拉力,故a的加速度有时大于g,C项错误;a刚开始的一段下落过程中杆对a做负功,a的机械能减少,a的机械能最小时杆对a的作用力为0,此时杆对b也没有力的作用,故此时b对地面的压力大小为mg,D项正确。【答案】BD4.(2018江苏卷,14)如图甲所示,钉子A、B相距5l,处于同一高度。细线的一端系有质量为M的小物块,另一端绕过A固定于B。质量
36、为m的小球固定在细线上C点,B、C间的线长为3l。用手竖直向下拉住小球,使小球和物块都静止,此时BC与水平方向的夹角为53。松手后,小球运动到与A、B相同高度时的速度恰好为零,然后向下运动。忽略一切摩擦,重力加速度为g,取sin 53=0.8,cos 53=0.6。求:甲(1)小球受到手的拉力大小F。(2)物块和小球的质量之比Mm。(3)小球向下运动到最低点时,物块M所受的拉力大小T。【解析】(1)对小球受力分析,如图乙所示,设小球受AC、BC的拉力分别为F1、F2在水平方向有F1sin 53=F2cos 53在竖直方向有F+mg=F1cos 53+F2sin 53且F1=Mg联立解得F=53
37、Mg-mg。乙 (2)小球运动到与A、B 相同高度过程中由几何关系得小球上升高度h1=3lsin 53物块下降高度h2 =2l物块和小球组成的系统机械能守恒,根据机械能守恒定律mgh1=Mgh2联立解得Mm=65。(3)根据机械能守恒定律,小球回到起始点,设此时 AC 方向的加速度大小为 a,物块受到的拉力为T对物块由牛顿第二定律得Mg-T =Ma根据牛顿第三定律,小球受AC 的拉力T=T对小球,在沿AC方向,由牛顿第二定律得T-mgcos 53=ma解得T = 8mMg5(m+M)或T=4855mg或T=811Mg。【答案】(1)53Mg-mg(2)65(3)8mMg5(m+M)或4855mg或811Mg20
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