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    鲁京津琼专用2020版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.4幂函数与二次函数课件

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    鲁京津琼专用2020版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.4幂函数与二次函数课件

    1、2.4 幂函数与二次函数,第二章 函数概念与基本初等函数,ZUIXINKAOGANG,最新考纲,1.通过实例,了解幂函数的概念. 2.结合函数yx,yx2,yx3,y ,y 的图象,了解它们的变化情况. 3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质. 4.能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地,形如 的函数称为幂函数,其中x是自变量,是常数. (2)常见的五种幂函数的图象和性质比较,yx,知识梳理,ZHISHISHULI

    2、,x|x0,x|x0,y|y0,y|y0,y|y0,(,0,(0,),0,),奇,偶,奇,非奇非偶,奇,(,0),(0,),(1,1),2.二次函数的图象和性质,R,R,1.二次函数的解析式有哪些常用形式?,提示 (1)一般式:yax2bxc(a0); (2)顶点式:ya(xm)2n(a0); (3)零点式:ya(xx1)(xx2)(a0).,2.已知f(x)ax2bxc(a0),写出f(x)0恒成立的条件.,提示 a0且0.,【概念方法微思考】,题组一 思考辨析,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)二次函数yax2bxc(a0),xa,b的最值一定是 ( ) (2)在y

    3、ax2bxc(a0)中,a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.( ) (3)函数y 是幂函数.( ) (4)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.( ) (5)当n0时,幂函数yxn是定义域上的减函数.( ),基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,5,6,题组二 教材改编,1,2,3,4,5,6,3.已知函数f(x)x24ax在区间(,6)内单调递减,则a的取值范围是 A.a3 B.a3 C.a3 D.a3,解析 函数f(x)x24ax的图象是开口向上的抛物线,其对称轴是x2a, 由函数在区间(,6)内单调递减可知,区间(,6)应在直线x2a的左侧, 2a6,

    4、解得a3,故选D.,1,2,3,4,5,6,题组三 易错自纠,4.幂函数f(x) (aZ)为偶函数,且f(x)在区间(0,)上是减函数,则a等于 A.3 B.4 C.5 D.6,解析 因为a210a23(a5)22, f(x) (aZ)为偶函数, 且在区间(0,)上是减函数, 所以(a5)220,从而a4,5,6, 又(a5)22为偶数,所以只能是a5,故选C.,1,2,3,4,5,6,5.已知函数y2x26x3,x1,1,则y的最小值是_.,1,1,2,3,4,5,6,函数y2x26x3在1,1上单调递减, ymin2631.,6.设二次函数f(x)x2xa(a0),若f(m)”“”或“”)

    5、,且f(1)0,f(0)0,而f(m)0.,1,2,3,4,5,6,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 幂函数的图象和性质,1.若幂函数的图象经过点 则它的单调递增区间是 A.(0,) B.0,) C.(,) D.(,0),自主演练,即f(x)x2, 它是偶函数,单调递增区间是(,0).故选D.,2.若四个幂函数yxa,yxb,yxc,yxd在同一坐标系中的图象如图所示,则a,b,c,d的大小关系是 A.dcba B.abcd C.dcab D.abdc,解析 由幂函数的图象可知,在(0,1)上幂函数的指数越大, 函数图象越接近x轴,由题图知abcd,故选B.,3.已知幂函数f(

    6、x)(n22n2) (nZ)的图象关于y轴对称,且在(0,)上是减函数,则n的值为 A.3 B.1 C.2 D.1或2,解析 由于f(x)为幂函数,所以n22n21, 解得n1或n3, 经检验只有n1符合题意,故选B.,4.(2018潍坊模拟)若(a1) (32a) ,则实数a的取值范围是 _.,解析 不等式(a1) 32a0或32aa10或a1032a,,(1)幂函数的形式是yx(R),其中只有一个参数,因此只需一个条件即可确定其解析式. (2)在区间(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,)上,幂函数中指数越大,函数图象越远离x轴. (3)在比

    7、较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较,准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.,题型二 求二次函数的解析式,例1 (1)已知二次函数f(x)x2bxc满足f(0)3,对xR,都有f(1x)f(1x)成立,则f(x)的解析式为_.,解析 由f(0)3,得c3, 又f(1x)f(1x), 函数f(x)的图象关于直线x1对称,,师生共研,f(x)x22x3,f(x)x22x3.,(2)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(2,0)且有最小值1,则f(x)_.,x22x,解析 设函数的解析式为f(x)ax(x2)(a0),,得a1,所以f(x)

    8、x22x.,求二次函数解析式的方法,跟踪训练1 (1)已知二次函数f(x)ax2bx1(a,bR,a0),xR,若函数f(x)的最小值为f(1)0,则f(x)_.,x22x1,解析 设函数f(x)的解析式为f(x)a(x1)2ax22axa(a0), 又f(x)ax2bx1,所以a1, 故f(x)x22x1.,(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),它在x轴上截得的线段长为2,并且对任意xR,都有f(2x)f(2x),则f(x)_.,x24x3,解析 因为f(2x)f(2x)对任意xR恒成立, 所以f(x)图象的对称轴为直线x2. 又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2,所以f(

    9、x)0的两根为1和3. 设f(x)的解析式为f(x)a(x1)(x3)(a0), 又f(x)的图象过点(4,3),所以3a3,即a1, 所以f(x)的解析式为f(x)(x1)(x3),即f(x)x24x3.,题型三 二次函数的图象和性质,命题点1 二次函数的图象,例2 (2018重庆五中模拟)一次函数yaxb(a0)与二次函数yax2bxc在同一坐标系中的图象大致是,多维探究,解析 若a0,则一次函数yaxb为增函数,二次函数yax2bxc的图象开口向上,故可排除A; 若a0,一次函数yaxb为减函数,二次函数yax2bxc的图象开口向下,故可排除D;,命题点2 二次函数的单调性,例3 函数f

    10、(x)ax2(a3)x1在区间1,)上是递减的,则实数a的取值范围是 A.3,0) B.(,3 C.2,0 D.3,0,解析 当a0时,f(x)3x1在1,)上单调递减,满足题意.,解得3a0.综上,a的取值范围为3,0.,若函数f(x)ax2(a3)x1的单调减区间是1,),则a_.,3,解析 由题意知f(x)必为二次函数且a0,,命题点3 二次函数的最值 例4 已知函数f(x)ax22ax1在区间1,2上有最大值4,求实数a的值.,解 f(x)a(x1)21a. (1)当a0时,函数f(x)在区间1,2上的值为常数1,不符合题意,舍去; (2)当a0时,函数f(x)在区间1,2上是增函数,

    11、最大值为f(2)8a14,,(3)当a0时,函数f(x)在区间1,2上是减函数,最大值为f(1)1a4,解得a3.,将本例改为:求函数f(x)x22ax1在区间1,2上的最大值.,解 f(x)(xa)21a2, f(x)的图象是开口向上的抛物线,对称轴为xa.,解析 设f(x)ax2bxc(a0),由f(0)1,得c1, 又f(x1)f(x)2x,得2axab2x,所以a1,b1, 所以f(x)x2x1.f(x)2xm在区间1,1上恒成立, 即x23x1m0在1,1上恒成立,,命题点4 二次函数中的恒成立问题 例5 (1)已知二次函数f(x)满足f(x1)f(x)2x,且f(0)1,若不等式f

    12、(x)2xm在区间1,1上恒成立,则实数m的取值范围为_.,(,1),所以g(x)ming(1)131m0,所以m1.,(2)函数f(x)a2x3ax2(a1),若在区间1,1上f(x)8恒成立,则a的最大值为_.,2,所以f(x)8恒成立,即g(t)maxg(a)8恒成立, 所以有a23a28,解得5a2, 又a1,所以a的最大值为2.,解决二次函数图象与性质问题时要注意: (1)抛物线的开口,对称轴位置,定义区间三者相互制约,要注意分类讨论; (2)要注意数形结合思想的应用,尤其是给定区间上的二次函数最值问题,先“定性”(作草图),再“定量”(看图求解). (3)由不等式恒成立求参数取值范

    13、围的思路及关键 解题思路:一是分离参数;二是不分离参数.两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域.,跟踪训练2 (1)函数yx2bxc(x0,)是单调函数的充要条件是 A.b0 B.b0 C.b0 D.b0,解析 函数yx2bxc(x0,)是单调函数,,(2)已知函数f(x)x22ax2a4的定义域为R,值域为1,),则a的值为_.,1或3,解析 由于函数f(x)的值域为1,), 所以f(x)min1.又f(x)(xa)2a22a4, 当xR时,f(x)minf(a)a22a41, 即a22a30,解得a3或a1.,(3)设函数f(x)ax22x2,对于满足10,则实数a的 取值范围为_.,

    14、研究二次函数的性质,可以结合图象进行;对于含参数的二次函数问题,要明确参数对图象的影响,进行分类讨论. 例 设函数f(x)x22x2,xt,t1,tR,求函数f(x)的最小值.,思想方法,SIXIANGFANGFA,数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用,解 f(x)x22x2(x1)21,xt,t1,tR,函数图象的对称轴为x1. 当t11,即t0时,函数图象如图(1)所示,函数f(x)在区间t,t1上为减函数, 所以最小值为f(t1)t21; 当t1t1,即0t1时,函数图象如图(2)所示,在对称轴x1处取得最小值,最小值为f(1)1;,当t1时,函数图象如图(3)所示,函数f(x)

    15、在区间t,t1上为增函数, 所以最小值为f(t)t22t2.,3,课时作业,PART THREE,1.幂函数yf(x)经过点(3, ),则f(x)是 A.偶函数,且在(0,)上是增函数 B.偶函数,且在(0,)上是减函数 C.奇函数,且在(0,)上是减函数 D.非奇非偶函数,且在(0,)上是增函数,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.幂函数y (mZ)的图象如图所示,则m的值为 A.0 B.1 C.2 D.3,解析 y (mZ)的图象与坐标轴没有交点, m24m0,即0m4. 又函数的图象关于y轴对称且mZ, m24m为偶数,m2.,1

    16、,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.若幂函数f(x)(m24m4) 在(0,)上为增函数,则m的值为 A.1或3 B.1 C.3 D.2,解析 由题意得m24m41,m26m80, 解得m1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.已知函数f(x)ax2x5的图象在x轴上方,则a的取值范围是,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.已知a,b,cR,函数f(x)ax2bxc.若f(0)f(4)f(1),则 A.a0,4ab0 B.a0,2ab0 D.a0,2ab0,

    17、解析 由f(0)f(4),得f(x)ax2bxc图象的对称轴为x 2, 4ab0,又f(0)f(1),f(4)f(1),f(x)先减后增,于是a0, 故选A.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.已知函数f(x)x22ax1a,x0,1有最大值2,则a等于 A.2 B.0 C.0或1 D.2或1,解析 函数f(x)x22ax1a(xa)2a2a1,其图象的对称轴方程为xa. 当a1时,f(x)maxf(1)a,所以a2.综上可知,a1或a2.,7.已知f(x)x2,g(x

    18、) ,h(x)x2,当0x1时,f(x),g(x),h(x)的大小关系是_.,解析 分别作出f(x),g(x),h(x)的图象如图所示, 可知h(x)g(x)f(x).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,h(x)g(x)f(x),8.已知二次函数yf(x)的顶点坐标为 且方程f(x)0的两个实根之差的绝对值等于7,则此二次函数的解析式是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,f(x)4x212x40,所以a4,所以f(x)4x212x40.,9.已知函数f(x)x2(a1)x5在区间 上为增函数,那么f(2

    19、)的取值范围是_.,7,),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,由于其图象(抛物线)开口向上,,所以f(2)4(a1)257,即f(2)7.,10.设函数f(x)2x24x在区间m,n上的值域是6,2,则mn的取值范围是_.,0,4,解析 令f(x)6,得x1或x3;令f(x)2,得x1. 又f(x)在1,1上单调递增,在1,3上单调递减, 当m1,n1时,mn取得最小值0; 当m1,n3时,mn取得最大值4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.(2018河南南阳一中月考)已知函数f(x)x2mx1,若

    20、对于任意xm,m1,都有f(x)0成立,则实数m的取值范围是_.,解析 因为函数图象开口向上,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12.已知函数f(x)x2(2a1)x3. (1)当a2,x2,3时,求函数f(x)的值域;,解 当a2时,f(x)x23x3,x2,3,,f(x)maxf(3)15,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)若函数f(x)在1,3上的最大值为1,求实数a的值.,f(x)maxf(1)2a1, 2a11,即a1,满足题意.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1

    21、3,14,15,16,13.如图是二次函数yax2bxc(a0)图象的一部分,图象过点A(3,0), 对称轴为x1.给出下面四个结论: b24ac;2ab1;abc0;5ab. 其中正确的是 A. B. C. D.,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 因为图象与x轴交于两点,所以b24ac0,即b24ac,正确;,结合图象,当x1时,y0,即abc0,错误; 由对称轴为x1知,b2a.又函数图象开口向下, 所以a0,所以5a2a, 即5ab,正确.,14.当

    22、x(1,2)时,不等式x2mx40恒成立,则m的取值范围是 _.,(,5,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 方法一 不等式x2mx40对x(1,2)恒成立, mxx24对x(1,2)恒成立,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,m5.,方法二 设f(x)x2mx4,当x(1,2)时,,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,15.若函数(x)x2m|x1|在0,)上单调递增,求实数m的取值范围.,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 当0x1时,(x)x2mxm,此时(x)单调递增,,当x1时,(x)x2mxm,此时(x)单调递增,,综上,实数m的取值范围是2,0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.是否存在实数a2,1,使函数f(x)x22axa的定义域为1,1时, 值域为2,2?若存在,求a的值;若不存在,请说明理由.,解 f(x)(xa)2aa2,当2a1时,f(x)在1,1上为增函数,,综上可得,存在实数a满足题目条件,a1.,


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