1、,第十章 计数原理,10.2 排列与组合,ZUIXINKAOGANG,最新考纲,1.通过实例，理解排列、组合的概念. 2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,1.排列与组合的概念,知识梳理,ZHISHISHULI,一定的顺序,2.排列数与组合数 (1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的_的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用_表示. (2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的_的个数，叫做从n个不同元素中取出m个
2、元素的组合数，用_表示.,所有不同排列,所有不同组合,3.排列数、组合数的公式及性质,n(n1)(n2)(nm1),1,n,1.排列问题和组合问题的区别是什么？,提示 元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合.,2.排列数与组合数公式之间有何关系？它们公式都有两种形式，如何选择使用？,(2)两种形式分别为：连乘积形式；阶乘形式. 前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证.,【概念方法微思考】,3.解排列组合综合应用问题的思路有哪些？,提示 解排列组合综合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手.“分析”是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置
3、”；“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决；“分步”就是把问题化成几个相互联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决.,题组一 思考辨析,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( ) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.( ) (3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.( ) (4)(n1)！n！nn！.( ),基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,5,6,题组二 教材改编,1,2,3,4,5,6,2.
4、把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为 A.144 B.120 C.72 D.24,解析 “插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为 43224.,3.用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为 A.8 B.24 C.48 D.120,1,2,3,4,5,6,4.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 A.192种 B.216种 C.240种 D.288种,第二类：乙在最左端，甲不在最右端，,1,2,3,4,5,6,题组三 易错自纠,所以共有12096216(种)排法.,5.
5、为发展国外孔子学院，教育部选派6名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文，若每个国家至少去一人，则不同的选派方案种数为 A.180 B.240 C.540 D.630,1,2,3,4,5,6,故不同的选派方案种数为9036090540.,1,2,3,4,5,6,6.寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位(一排共五个座位)，上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有_种.(用数字作答),45,解析 设5名同学也用A，B，C，D，E来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法，设E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不
6、坐自己的座位，则有BADC，BDAC，BCDA，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共9种坐法，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有9545(种).,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 排列问题,1.用1,2,3,4,5这五个数字，可以组成比20 000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有 A.96个 B.78个 C.72个 D.64个,自主演练,解析 根据题意知，要求这个五位数比20 000大，则首位必须是2,3,4,5这4个数字中的一个，当首位是3时，百位数不是数字3，符合要求的五位数有 24(个)；当首位是2,4,5时，由于百位数
7、不能是数字3，则符合要求的五位数有3 54(个)，因此共有542478(个)这样的五位数符合要求.故选B.,2.某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了_条毕业留言.(用数字作答),解析 由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了 40391 560(条)留言.,1 560,3.6名同学站成1排照相，要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有_种不同站法.,480,解析 方法一 (位置优先法)先从其他5人中安排2人站在最左边和最右边，再安排余下4人的位置，分为两步：,方法二 (元素优先法)先安排甲的位置(既不站在最左
8、边又不站在最右边)，再安排其他5人的位置，分为两步：,排列应用问题的分类与解法 (1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法. (2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.,题型二 组合问题,例1 男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名.现选派5人外出参加比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？ (1)男运动员3名，女运动员2名；,师生共研,解 分两步完成：,(2)至少有1名女运动员；
9、,解 方法一 “至少有1名女运动员”包括以下四种情况： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.,方法二 “至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解.,(3)队长中至少有1人参加；,解 方法一 (直接法)可分类求解：,(4)既要有队长，又要有女运动员.,组合问题常有以下两类题型变化： (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取. (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求
10、解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.,跟踪训练1 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种. (1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？,某一种假货必须在内的不同取法有561种.,(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？,某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.,(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？,恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.,(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？,至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.,(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？,解 方法一 (间
11、接法),至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.,方法二 (直接法),至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.,题型三 排列与组合的综合问题,多维探究,命题点1 相邻问题,例2 3名男生、3名女生排成一排，男生必须相邻，女生也必须相邻的排法种数为 A.2 B.9 C.72 D.36,解析 可分两步完成：第一步，把3名女生作为一个整体，看成一个元素，3名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排成一排有 种排法；第二步，3名女生排在一起有 种排法，3名男生排在一起有 种排法，故排法种数为 72.,例3 某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节
12、目不相邻的排法种数是 A.72 B.120 C.144 D.168,命题点2 相间问题,解析 先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空.安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”.,同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“小品1相声小品2”，有 48(种)安排方法，故共有363648120(种)安排方法.,例4 大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在.某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲
13、、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有 A.18种 B.24种 C.36种 D.48种,命题点3 特殊元素(位置)问题,解析 根据题意，分两种情况讨论： A家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，,A家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个孩子都在甲车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有 12(种)乘坐方式， 故共有1
14、21224(种)乘坐方式，故选B.,解排列、组合问题要遵循的两个原则 按元素(位置)的性质进行分类； 按事情发生的过程进行分步.具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满足特殊元素(位置)，再考虑其他元素(位置).,跟踪训练2 (1)把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有_种.,解析 将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有 种方法，将产品A，B，C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有 种方法.于是符合题意的摆法共有 36(种).,36,(2)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普
15、通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有_种不同的选法.(用数字作答),660,3,课时作业,PART THREE,1.(2018湖南三湘名校联考)“中国梦”的英文翻译为“China Dream”，其中China又可以简写为CN，从“CN Dream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有 A.360种 B.480种 C.600种 D.720种,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.有七名同学站成一排照毕业
16、纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有 A.240种 B.192种 C.96种 D.48种,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为 A.16 B.18 C.24 D.32,4.(2017全国)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 A.12种 B.18种 C.24种 D.36种,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16
17、,5.(2018昆明质检)互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，先要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，即红色菊花两边各一盆白色菊花，一盆黄色菊花，共有 种摆放方法.,6.(2016四川)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为A.24 B.48 C.60 D.72,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由题可知，五
18、位数要为奇数，则个位数只能是1,3,5.分为两步：先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有 种选法，再将剩下的4个数字排列有 种排法，则满足条件的五位数有 72(个).故选D.,解析 把g，o，o，d 4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有 种排法；第二步：排两个o，共1种排法，所以总的排法种数为 12.其中正确的有一种，所以错误的共有 112111(种).,7.若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有_种.(用数字作答),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,
19、12,13,14,15,16,8.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_种.(用数字作答),第二类：3张中奖奖券分给2个人，相当于把3张中奖奖券分两组再分给4人中的2人，共有 种分法.,60,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.(2018太原模拟)要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有_种.(用数字作答),解析 先从除了甲、乙以外的6人中选一人，安排在甲乙中间，有 12(种)，把这三个人看成一个整体，与从剩下的五人
20、中选出的一个人全排列，有 10(种)，故不同的发言顺序共有1210120(种).,120,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.用数字0,1,2,3,4组成的五位数中，中间三位数字各不相同，但首末两位数字相同的共有_个.,240,解析 由题意知本题是一个分步计数问题，从1,2,3,4四个数中选取一个有四种选法，接着从这五个数中选取3个在中间三个位置排列，共有 60(个)，根据分步乘法计数原理知，有604240(个).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.将标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的
21、盒子中，每个盒子至少有一个球，则一共有_种放法.,解析 标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，故可分成(3,1,1)和(2,2,1)两组，共有 25(种)分法，再分配到三个不同的盒子中，共有 150(种)放法.,150,12.某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则共有_种不同的安排方法.(用数字作答),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,114,故有901872(种)， 根据分类加法计数原理可知，共有4272114(种).,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7
22、,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.(2018合肥质检)7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法的种数为 A.120 B.240 C.360 D.480,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.设三位数nabc，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有多少个？,解 a，b，c要能构成三角形的边长，显然均不为0，即a，b，c1,2,3，9. 若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为n1，由于三位数中三个数
23、字都相同，所以n1 9； 若构成等腰(非等边)三角形，设这样的三位数的个数为n2，由于三位数中只有2个不同数字，设为a，b，注意到三角形腰与底可以互换，所以可取的数组(a，b)共有 组，但当大数为底时，设ab，必须满足ba2b，此时，不能构成三角形的数字是,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,共20种情况.同时，每个数组(a，b)中的两个数字填上三个数位，有 种情况，故n2 156. 综上，nn1n2165.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,
24、13,14,15,16,15.用0,1,2,3,4,5可以组成的无重复数字的能被3整除的三位数的个数是 A.20 B.24 C.36 D.40,解析 因为能被3整除的三位数字组成为012,024,015,045,123,234,315,345，共8种情况，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.设集合A(x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7)|xi1,0,1，i1,2,3,4,5,6,7，那么集合A中满足条件“1|x1|x2|x3|x7|4”的元素个数为 A.938 B.900 C.1 200 D.1 300,解析 A中元素为有序数组(x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7)，题中要求有序数组的7个数中仅有1个1，仅有2个1，仅有3个1或仅有4个1，所以共有 938(个).,
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