1、最后一轮复习分层专项（压轴训练）：反比例函数1某公司用100万元研发一种市场急需电子产品，已于当年投入生产并销售，已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，设公司销售这种电子产品的年利润为s（万元）（1）请求出y（万件）与x（元/件）的函数表达式；（2）求出第一年这种电子产品的年利润s（万元）与x（元/件）的函数表达式，并求出第一年年利润的最大值解：（1）当4x8时，设y，将A（4，40）代入得k440160，y与x之间的函数关系式为y；当8x28时，设ykx+b，将B（8，20），C
2、（28，0）代入得，解得，y与x之间的函数关系式为yx+28，综上所述，y；（2）当4x8时，s（x4）y160（x4）100+60，当4x8时，s随着x的增大而增大，当x8时，smax+6020；当8x28时，s（x4）y80（x4）（x+28）80（x100）2+44，当x16时，smax44；4420，当每件的销售价格定为16元时，第一年年利润的最大值为44万元2在平面直角坐标系xOy中，直线ykx+2与双曲线y的一个交点是A（m，3）（1）求m和k的值；（2）设点P是双曲线y上一点，直线AP与x轴交于点B若AB3PB，结合图象，直接写出点P的坐标解：（1）把点A（m，3）的再把代入y得
3、到m2，再把A（2，3）的再把代入ykx+2，32k+2，解得k，所以m2，k（2）当点P在第四象限时，如图1，作AEx轴于E，PFx轴于F，AEPF，3，3，PF1，P（6，1）当点P在第一象限时，如图2，作AEx轴于E，PFx轴于F，AEPF，3，3，PF1，P（6，1），综上所述，满足条件的点P坐标为（6，1）或（6，1）3在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y的图象经过点P（3，4）（1）求k的值；（2）求OP的长；（3）直线ymx（m0）与反比例函数的图象有两个交点A，B，若AB10，直接写出m的取值范围解：（1）反比例函数的图象经过点P（3，4），k12，（2）过点P作PEx轴于点
4、E点P（3，4），OE3，PE4在RtEOP中，由勾股定理可求OP5；（3）由（2）可知，当A（3，4），B（3，4）或A（4，3），B（4，3）时，AB10，m或m若AB10，则或4有红、黄两个布袋，红布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字2和4黄布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字2，4和6小贤先从红布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为x，再从黄布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为y，这样就确定点M的一个坐标为（xy）（1）用列表或画树状图的方法写出点M的所有可能坐标；（2）求点M落在双曲线y上的概率解：（1）画树状图得：点M的所有可能坐标为：（2，2），（2，4），（2
5、，6），（4，2），（4，4），（4，6）；（2）点M落在双曲线y上的有（2，4）与（4，2），点M落在双曲线y上的概率为：5如图，直线yx+b与反比例函数y的图形交于A（a，4）和B（4，1）两点（1）求b，k的值；（2）若点C（x，y）也在反比例函数y（x0）的图象上，求当2x6时，函数值y的取值范围；（3）将直线yx+b向下平移m个单位，当直线与双曲线没有交点时，求m的取值范围解：（1）直线 yx+b 过点 B（4，1），14+b，解得 b5，反比例函数y的图象过点 B（4，1），k4；（2）k40，当 x0 时，y 随 x 值增大而减小，当 2x6 时，y2；（3）将直线 yx+5 向
6、下平移 m 个单位后解析式为 yx+5m，设直线 yx+5m 与双曲线y只有一个交点，令x+5m，整理得 x2+（m5）x+40，（m5）2160，解得 m9 或 1直线与双曲线没有交点时，1m96如图所示，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的一条边OB在x轴的正半轴上，点A在双曲线y（k0）上，其中点B为（2，0）（1）求k的值及点A的坐标（2）OAB沿直线OA平移，当点B恰好在双曲线上时，求平移后点A的对应点A的坐标解：（1）过A点作ACOB于C，OAB是等边三角形，点B为（2，0），OAABOB2，OC1，AC，A（1，），k1，（2）A（1，），直线OA为yxOAB沿直线OA平移，B
7、BOA，设直线BB解析式为yx+b，把B（2，0）代入得，02+b，b2，直线BB解析式为yx2，解方程组得或，平移后的点A的坐标为（，）或（，）7某数学兴趣小组对函数y的图象和性质进行探究，他们用描点法画此函数图象时，先列表如下（1）请补全此表；（2）根据表中数据，在如图坐标系中画出该函数的图象；（3）请写出此函数图象不同方面的三个性质；（4）若点（m，y1），（2，y2）都在此函数图象上，且y1y2，求m的取值范围x432101234y242解：（1）如下表：x432101234y242（2）如图所示：（3）函数值y0，当x0时，y随x的增大而减小；当x0时，y随x的增大而增大；图象的对称
8、轴是y轴；（4）由图象可知，若点（m，y1），（2，y2）都在此函数图象上，且y1y2，m的取值范围是x2或x28如图，在平面直角坐标系xOy中，直线ykx+k与双曲线y（x0）交于点A（1，a）（1）求a，k的值；（2）已知直线l过点D（2，0）且平行于直线ykx+k，点P（m，n）（m3）是直线l上一动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交双曲线y（x0）于点M、N，双曲线在点M、N之间的部分与线段PM、PN所围成的区域（不含边界）记为W横、纵坐标都是整数的点叫做整点当m4时，直接写出区域W内的整点个数；若区域W内的整点个数不超过8个，结合图象，求m的取值范围解：（1）点A（1，a）在双曲
9、线y上，a4，点A的坐标为（1，4），将A（1，4）代入ykx+k，得：k+k4，k2（2）直线l过点D（2，0）且平行于直线y2x+2，直线l的解析式为y2x4当m4时，n2m44，点P的坐标为（4，4）依照题意画出图象，如图1所示观察图形，可知：区域W内的整点个数是3如图2所示：当2x24时，即x4，此时线段PM和PN上有5个整点；当2x25时，即x4.5，此时线段PM上有整点观察图形，可知：若区域W内的整点个数不超过8个，m的取值范围为4m4.59如图所示，反比例函数在第一象限内分支上有一动点A，连接AO并延长与另一分支交于点B，以AB为边作一个等边ABC，使得点C落在第四象限内（1）当
10、BC平行x轴时，试求出点C的坐标；（2）在点A运动过程中，直接写出ABC面积的最小值18；（3）在点C的运动路径上是否存在点D，使得以A、B、C、D四个点构成的四边形为菱形？如果存在，请求出一个点D的坐标；如果不存在，请说明理由解：（1）过点A作AEx轴于点E，如图1所示BCx轴，ABC为等边三角形，AOEABC60，AEOE又点A在反比例函数的图象上，AEOE3，OE，AE3，点A的坐标为（，3）点A，B关于原点O对称，点B的坐标为（，3）点B，C关于直线x对称，点C的坐标为（3，3）（2）ABC为等边三角形，SABCABABAB2设点A的坐标为（x，），则点B的坐标为（x，），AB2（xx
11、）2+（）2（2x）2+（）2（2x）2+22x（2x）20，AB222x24，SABCAB218故答案为：18（3）过点A作AFx轴于点F，过点C作CMx轴于点M，连接CO，如图2所示COM+AOF90，OAF+AOF90，COMOAF又CMOOFA90，COMOAF，CMOF，OMAF又OFAF3，CMOM9，点C在函数y（x0）的图象上当BCx轴时，如图3所示由（1）得：点A的坐标为（，3），点B的坐标为（，3），点C的坐标为（3，3）四边形ABDC为菱形，点D的坐标为（+3，333），即（，9）（9）9，存在点D（，9），使得以A、B、C、D四个点构成的四边形为菱形；当ACx轴时，如图
12、4所示ABC为等边三角形，BAC60同（1）可得出：点A的坐标为（3，），点B的坐标为（3，），点C的坐标为（3，3）四边形ABCD为菱形，点D的坐标为（3+3（3），3（），即（9，）9（）9，存在点D（9，），使得以A、B、C、D四个点构成的四边形为菱形（写出一个点的坐标即可）10如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y与y（x0，0mn）的图象上，对角线BDy轴，且BDAC于点P已知点B的横坐标为4（1）当m4，n20时若点P的纵坐标为2，求点A和点B的坐标若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由（2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关
13、系；若不能，试说明理由解：（1）当x4时，y1，点B的坐标为（4，1）；当y2时，2，解得：x2，点A的坐标为（2，2）四边形ABCD为菱形，理由如下：由得：点B的坐标为（4，1），点D的坐标为（4，5），点P为线段BD的中点，点P的坐标为（4，3）当y3时，3，解得：x，点A的坐标为（，3）；当y3时，3，解得：x，点C的坐标为（，3）PA4，PC4，PAPCPBPD，四边形ABCD为平行四边形又BDAC，四边形ABCD为菱形（2）四边形ABCD能成为正方形当四边形ABCD为正方形时，设PAPBPCPDt（t0）当x4时，y，点B的坐标为（4，），点A的坐标为（4t， +t）点A在反比例函数
14、y的图象上，（4t）（+t）m，化简得：t4，点D的纵坐标为+2t+2（4）8，点D的坐标为（4，8），4（8）n，整理，得：m+n32即四边形ABCD能成为正方形，此时m+n3211如图，某反比例函数图象的一支经过点A（2，3）和点B（点B在点A的右侧），作BCy轴，垂足为点C，连结AB，AC（1）求该反比例函数的解析式；（2）若ABC的面积为6，求B点的坐标解：（1）由题意得，kxy236反比例函数的解析式为：（2）设B点坐标为（a，b），如图，作ADBC于D，则D（2，b），反比例函数的图象经过点B（a，b）解得a6B（6，1）12在平面直角坐标系xOy中，直线l：ykx+b（k0）与反
15、比例函数y的图象的一个交点为M（1，m）（1）求m的值；（2）直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B，连接OM，设AOB的面积为S1，MOB的面积为S2，若S13S2，求k的取值范围解：（1）M（1，m）在反比例函数y的图象上，m4；（2）由题意得OA3，当直线ykx+b经过（3，0），（1，4）时，解得k2，当直线ykx+b经过（3，0），（1，4）时，解得k1，若S13S2，求k的取值范围是2k0或0k113如图，已知直线yx+b与y轴交于点B（0，3），与反比例函数y（x0）的图象交于点A，与x轴交于点C，BC3AC（1）求反比例函数的解析式；（2）若P是y轴上一动点，M是直线AB上方的反
16、比例函数y（x0）的图象上一动点，直线MNx轴交直线AB于点N，求PMN面积的最大值解：（1）直线与y轴交于点B（0，3），b3，直线为y3，作ADx轴于D，ADOB，点B（0，3），BC3AC，AD1，把y1代入y3得，13，解得x8，A（8，1），反比例函数y（x0）的图象经过点A，k818，反比例函数的解析式为y；（2）设M（x，），则N（x， x3），MN+3，SPMN（+3）xx2+x+4（x3）2+，0，PMN面积的最大值是14如图，在平面直角坐标系中，一次函数yax+b的图象与反比例函数y（k为常数，k0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点点A的坐标为（m，3），
17、点B与点A关于yx成轴对称，tanAOC（1）求k的值；（2）直接写出点B的坐标，并求直线AB的解析式；（3）P是y轴上一点，且SPBC2SAOB，求点P的坐标解：（1）作ADy轴于D，点A的坐标为（m，3），OD3，tanAOC，即，AD1，A（1，3），在反比例函数y（k为常数，k0）的图象上，k133；（2）点B与点A关于yx成轴对称，B（3，1），A、B在一次函数yax+b的图象上，解得，直线AB的解析式为yx+2；（3）连接OC，由直线AB为yx+2可知，C（0，2），SAOBSAOC+SBOC21+234，P是y轴上一点，设P（0，t），SPBC|t2|3|t2|，SPBC2SAO
18、B，|t2|24，t或t，P点的坐标为（0，）或（0，）15如图，横坐标为1的点A在反比例函数y上（x0）的图象上，将线段AO绕着点A逆时针旋转90得到线段AB，且点B也落在反比例函数y（x0）的图象上（1）求反比例函数的解析式；（2）求线段AO扫过的面积解：（1）过A作AEx轴，过B作BDAE，OAB90，OAE+BAD90，AOE+OAE90，BADAOE，在AOE和BAD中， ，AOEBAD（AAS），AEBDm，OEAD1，DEm1，OE+BDm+1，则B（m+1，m1）；A与B都在反比例图象上，得到m（m+1）（m1），解得：m（负值舍去），A（1，），k反比例函数的解析式为：；（2）OE1，AE，OA，线段AO扫过的面积
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