2.1.1合情推理（第1课时）归纳推理 学案（含答案）

1、2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理第1课时归纳推理学习目标1.了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理.2.了解归纳推理在数学发现中的作用知识点一推理1推理的定义从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理2推理的组成任何推理都包含前提和结论两个部分，前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；结论是根据前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么知识点二归纳推理思考(1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电(2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体以上属于什么推理？答案属于归纳推理符合归纳推理的定义特征，即由部分对象具有某些特征，推出

2、该类事物的全部对象都具有这些特征的推理梳理(1)归纳推理的定义从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理(2)归纳推理的思维过程大致如图(3)归纳推理的特点归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑推理和实践检验，因此，它不能作为数学证明的工具归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题1由个别到一般的推理为归纳推理()2归纳的前提是特殊现象，归纳是立足于观察或实验的基础上的，结论一定正确()类

3、型一数列中的归纳推理例1已知f(x)，设f1(x)f(x)，fn(x)fn1(fn1(x)(n1，且nN*)，则f3(x)的表达式为_，猜想fn(x)(nN*)的表达式为_答案f3(x)fn(x)解析f(x)，f1(x).又fn(x)fn1(fn1(x)，f2(x)f1(f1(x)，f3(x)f2(f2(x)，f4(x)f3(f3(x)，f5(x)f4(f4(x)，根据前几项可以猜想fn(x).引申探究在本例中，若把“fn(x)fn1(fn1(x)”改为“fn(x)f(fn1(x)”，其他条件不变，试猜想fn(x)(nN*)的表达式解f(x)，f1(x).又fn(x)f(fn1(x)，f2(x

4、)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x).因此，可以猜想fn(x).反思与感悟在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和(1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和(2)根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式跟踪训练1已知数列an的前n项和为Sn，a1，且Sn2an(n2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式解当n1时，S1a1；当n2时，2S1，所以S2；当n3时，2S2，所以S3；当n4时，2S3，所以S4.猜想：Sn，nN*.类型二等式与不等式中的归纳推理例2(1)观察

5、下列等式：1，1，1，据此规律，第n个等式可为_答案1解析等式左边的特征：第1个有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n个等式左边有2n项且正负交错，应为1.等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n个等式右边有n项，且由前几个等式的规律不难发现，第n个等式右边应为.(2)观察下列式子：1，1，1，猜想第n个不等式为_答案1解析第1个不等式：1，第2个不等式：1，第3个不等式：1，故猜想第n个不等式：11，等式x2；x23；x34；，可以推广为_答案xnn1解析不等式左边是两项的和，第一项是x，x2，x3，右边的数是2,3,4，利用此规律观察所给不等式，都是

6、写成xnn1的形式，从而归纳出一般性结论：xnn1.(2)观察下列等式，并从中归纳出一般结论112，23432，3456752，4567891072，567891011121392，解等号的左端是连续自然数的和，且项数为2n1，等号的右端是项数的平方所以猜想结论：n(n1)(3n2)(2n1)2(nN*)类型三图形中的归纳推理例3如图，第n个图形是由正n2边形“扩展”而来(n1,2,3，)，则第n个图形中顶点的个数为_答案(n2)(n3)解析由已知中的图形我们可以得到：当n1时，顶点共有1234(个)，当n2时，顶点共有2045(个)，当n3时，顶点共有3056(个)，当n4时，顶点共有426

7、7(个)，则第n个图形共有顶点(n2)(n3)个反思与感悟图形中归纳推理的特点及思路(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系(2)从图形结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化跟踪训练3黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有黑色地面砖的块数是_答案5n1解析观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n个图案中黑色地面砖的个数为6(n1)55n1.1观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10_.考点归纳推理的应用

8、题点归纳推理在数对(组)中的应用答案123解析利用归纳法：ab1，a2b23，a3b3314，a4b4437，a5b57411，a6b611718，a7b7181129，a8b8291847，a9b9472976，a10b107647123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和2按照图1、图2、图3的规律，第10个图中圆点的个数为_答案40解析图1中的点数为414，图2中的点数为824，图3中的点数为1234，所以图10中的点数为10440.3已知a11，a2，a3，a4，则数列an的一个通项公式an_.答案(nN*)解析a1，a2，a3，a4，则an(nN*)4观察(x2)2x，(x4

9、)4x3，(cos x)sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(x)_.考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案g(x)解析由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(x)g(x)5将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，求第n行(n3)从左向右数第3个数解前(n1)行共有正整数12(n1)个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第个，即为(nN*)1归纳推理的一般步骤(1)通过观察某类事物的个别情况，发现某些相同性质(2)对这些性质进行归纳整理，得到一个合理的结论(3)猜想这个结论对该类事物都成立2归纳推理应注意的问题归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明.