2019届四川省泸州市泸县高三高考适应性考试数学（理）试题含答案（PDF版）

1、 - 1 - 四川省泸县第一中学高 2019 届高考适应性考试 数学（理工类） 注意：满分：注意：满分：150150 分分 时间：时间：120120 分钟分钟 第第 I 卷卷 选择题（选择题（6060 分分） 一一选择题：本题共选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。要求的。 1.集合 | 22Axx ，Z为整数集，则ZA中元素的个数是 A. 3 B.4 C.5 D.6 2. 2(2i) 1 i A3 i B3i C3i D3i 3.等差数列 n

2、 a中，6 82 aa，则 n a的前 9 项和等于 A.18 B.27 C.18 D.27 4.已知 1 tan 2 ，则tan2 A 4 3 B 4 3 C 3 4 D 3 4 5.函数 2 sin ( ) 1 x f x x 的部分图象可能是 A. B. C. D. 6. 5 ) 1 2( x x的展开式中 3 x项的系数为 A.80 B.-80 C.-40 D.48 7.设函数 sin 2 4 fxx ，则下列结论错误的是 A. fx的一个周期为2 B. fx的图形关于直线 8 x 对称 - 2 - C. fx的一个零点为 8 x D. fx在区间 0, 4 上单调递减 8.设 3 l

3、og a ， 1 ( ) 2 b ， 8073 tan 4 c ，则 A acb Bbac C.abc Dcba 9.已知双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的一条渐近线与直线:43100lxy垂直， 且双曲线的一个 焦点在抛物线 2 40yx 的准线上，则双曲线的方程为 A. 22 1 916 xy B. 22 1 169 xy C. 22 1 6436 xy D. 22 1 3664 xy 10.2017 年 11 月 30 日至 12 月 2 日,来自北京、上海、西安、郑州、青岛及凯里等七所联盟学校(“全国理 工联盟”)及凯里当地高中学校教师代表齐聚凯里某校举行联盟教研活

4、动,在数学同课异构活动中,7 名数 学教师各上一节公开课,教师甲不能上第三节课,教师乙不能上第六节课,则 7 名教师上课的不同排法有 种 A.5040 B.4800 C.3720 D.4920 11.三棱锥SABC的各顶点均在球O上，SC为该球的直径，1,120ACBCACB,三棱锥 SABC的体积为 1 2 ，则球O的表面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 12.已知函数 e ( ) x f xax x ，), 0(x，当 12 xx 时，不等式 1 2 2 1 )()( x xf x xf 恒成立，则实数a的取 值范围为 A.(,e B(,e) C e (, ) 2 D

5、e (, 2 第第 II 卷卷 非非选择题（选择题（9 90 0 分分） 二二. .填空题：本题共填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。 13.曲线 ( )lnf xax 在点 (e,(e)Pf 处的切线经过点( 1, 1) ，则a的值为_ 14.已知P是ABC所在平面内一点，20PBPCPA，现将一粒黄豆随机撒在ABC内，则黄豆 落在PBC内的概率是_ - 3 - 15.设 n S是数列 n a的前n项和，点 * ( ,)(N ) n n an在直线2yx上，则 nn aS_ 16.已知P是抛物线 2 4yx上一动点，定点 0,2 2A，过

6、点P作PQy轴于点Q，则PAPQ的 最小值是_ 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17211721 题为必考题，每个试题考题为必考题，每个试题考 生都必须答。第生都必须答。第 2222、2323 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共必考题：共 6060 分。分。 17.（本大题满分 12 分） 在平面四边形ABCD中， 已知 3 ,1 4 ABCABAD AB. （I）.若5AC ,求ABC的面积； （II）.若 2 5 sin,4 5 CADAD,求CD的

7、长 18.（本大题满分 12 分） 在某市高三教学质量检测中， 全市共有 5000 名学生参加了本次考试， 其中示范性高中参加考试学生人数为 2000 人，非示范性高中参加考试学生人数为 3000 人.现从所有参加考试的学生中随机抽取 100 人，作检测 成绩数据分析. （I）设计合理的抽样方案（说明抽样方法和样本构成即可） ； （II）依据 100 人的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，据此估计本次检测全市学生数学成绩的 平均分； (III)如果规定成绩不低于 130 分为特别优秀，现已知语文特别优秀占样本人数的 5%，语文、数学两科都 特别优秀的共有 3 人，依据以上样本数据，完成列

8、联表，并分析是否有 99%的把握认为语文特别优秀的同 - 4 - 学，数学也特别优秀. 语文特别优秀 语文不特别优秀 合计 数学特别优秀 数学不特别优秀 合计 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd 参考数据： 2 0 ()P Kk 0.50 0.40 0.010 0.005 0.001 0 k 0.045 0.708 6.635 7.879 10.828 19.（本大题满分 12 分） 如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为边长为2的菱形, 60DAB,90ADP,面ADP 面ABCD,点F为棱PD的中点 （I）在棱AB上是否存在一点E,使得

9、/ /AF面PCE,并说明理由 （II）当二面角DFCB的余弦值为 1 4 时,求直线PB与平 面ABCD所成的角 20.（本大题满分 12 分） 已知抛物线 2 :4E yx，圆 22 :(3)1Cxy （I）若过抛物线E的焦点F的直线l与圆C相切，求直线l方程； - 5 - （II）在（1）的条件下，若直线l交抛物线E于,A B两点，x轴上是否存在点( ,0)M t使 AMOBMO(O为坐标原点)？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 21.（本大题满分 12 分） 设函数( )(4)ln(2)2f xaxxx （I）若0a ，证明：( )4ln2f x ； （II）已知 2 (

10、)4ln(2)2g xxxx，若函数 ( )( )( )G xf xg x 有两个零点，求实数a的取值范围 选考题，考生从选考题，考生从 2222、2323 两两题中任选一题作答，将选择的题号对应的方程用题中任选一题作答，将选择的题号对应的方程用 2B2B 铅笔涂黑，多做按所做的第铅笔涂黑，多做按所做的第 一题记分一题记分. . 22.（本大题满分 10 分） 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 1 cos sin x y (为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半 轴为极轴建立极坐标系( 0,0,2) ，点A为曲线 1 C上的动点，点B在线段OA的延长线上，且满足 | | 8OAO

11、B ，点B的轨迹为 2 C （I）求 1 C, 2 C的极坐标方程 （II）设点C的极坐标为 (2,) 2 ，求ABC面积的最小值 23.（本大题满分 10 分） 设函数 . 112xxxf （I）求不等式 2xf的解集； （II）当 7 R 4 xf xax，恒成立,求实数a的取值范围。 - 6 - 四川省泸县第四川省泸县第一一中学中学高高 20192019 届届高考适应性考试高考适应性考试 数学（理工类）数学（理工类）参考答案参考答案 一选择题 1.C 2.B 3.B 4.B 5.A 6.B 7.C 8.A 9.C 10.D 11.D 12.D 二填空题 13.e 14. 1 2 15.

12、2 3nn 16.2 三解答题 17.（1）.在ABC中， 222 2cosACABBCAB BCABC 即 22 512240BCBCBCBC , 解得2BC . 所以 1121 sin12 2222 ABC SAB BCABC .6 分 （2）.因为90BAD , 2 5 sin 5 CAD, 所以 2 55 cos,sin 55 BACBAC, 所以 22 2 5510 sinsin()(cossin)() 4225510 BCABACBACBAC8 分 在ABC中， sinsin ACAB ABCBCA , sin 5 sin ABABC AC BCA .9 分 所以 222 5 2c

13、os51625413 5 CDACADAC ADCAD 所以13CD .12 分 18.（1）.由于总体有明显差异的两部分构成，故采用分层抽样， 由题意，从示范性高中抽取 2000 10040 5000 人，从示师范性高中抽取 3000 10060 5000 人3 分 （2）.由频率分布直方图估算样本平均分为 (60 0.00580 0.018 100 0.02 120 0.005 140 0.002) 2092.4， 推测估计本次检测全市学生数学平均分为 92.4 6 分 （3）.由题意，语文特别优秀学生有 5 人 ，数学特别优秀的学生有100 0.002 204人7 分 因为语文、数学都特

14、别优秀的共有 3 人，故列联表如下： - 7 - 语文特别优秀 语文不特别优秀 合计 数学特别优秀 3 1 4 数学不特别优秀 2 94 96 合计 5 95 100 2 2 100 (3 942 1) 42.9826.635 5 95 964 K ，10 分 所以有 99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀.12 分 19.（1）.在棱AB上存在点E,使得/ /AF面PCE,点E为棱AB的中点.理由如下: 取PC的中点Q,连结EQ,FQ,由题意, / /FQDC且 1 2 FQCD,/ /AECD且 1 2 AECD, 故/ /AEFQ且AEFQ所以,四边形AEQF为平行四边形 所

15、以, / /AFEQ,又EQ 平面PEC,AF 平面PEC,所以, / /AF平面PEC5 分 （2）.由题意知ABD为正三角形,所以EDAB,亦即EDCD,又90ADP, 所以PDAD,且面ADP 面ABCD,面ADP面ABCDAD, 所以PD 面ABCD,故以D为坐标原点建立如图空间坐标系, 设FDa,则由题意知 (0,0,0)D,(0,0, )Fa,(0,2,0)C,( 3,1,0)B,(0,2,)FCa,( 3, 1,0)CB 设平面FBC的法向量为( , , )mx y z,则由 0 0 m FC m CB 得 20 30 yaz xy ,令1x ,则3y , 2 3 z a , 所

16、以取 2 3 1, 3,m a ,8 分 显然可取平面DFC的法向量1,0,0n ,由题意: 1 cos, 4 m n 2 1 12 1 3 a ,10 分 所以1a 由于PD 面ABCD,所以PB在平面ABCD内的射影为BD,所以PBD为直线PB与平面 ABCD所成的角,易知在Rt PBD中tan1 PD PBD BD ,从而45PBD,11 分 所以直线PB与平面ABCD所成的角为4512 分 - 8 - 20.(1)由题意可得抛物线的焦点(1,0)F， 当直线的斜率不存在时， 过F的直线不可能与圆C相切， 设直线的斜率为k， 方程设为(1)yk x， .1 分 即 0kxyk ，由圆心(

17、3,0)到直线的距离为 22 32 11 kkk d kk ，3 分 当直线与圆相切时，1dr，解得 3 3 k ，4 分 即直线方程为 3 (1) 3 yx ；5 分 (2)可设直线方程为 1122 3 (1), ( ,), (,) 3 yxA x yB xy， 联立抛物线方程可得 2 1410xx ，则 1212 14,1xxx x， x轴上假设存在点( ,0)M t使AMOBMO， 即有0 AMBM kk，可得 12 12 0 yy xtxt ，.8 分 即为 1221 ()()0y xtyxt ， 由 1122 33 (1),(1) 33 yxyx， 可得 121212 2()(2)0

18、x xxxxxt ，9 分 即2 14 120t，即1t ，符合题意；10 分 - 9 - 当直线为，由对称性可得( 1,0)M 也符合条件.11 分 所以存在定点( 1,0)M 使得AMOBMO12 分 21.（1）证明：当0a 时，( )4ln(2)2 ,(2)f xxx x ， 故 42 ( )2 22 x fx xx ， 故( 2,0)x 时，( )0fx ，( )f x递增， (0,)x时，( )0fx ，( )f x递减， 故0x 时，函数( )f x有极大值也是最大值， 故( )f x的最大值是(0)4ln2f， 故( )4ln2f x ；6 分 （2）解：函数 ( )( )(

19、)G xf xg x 有 2 个零点， 可化为 2 ( )(4)ln(2)24ln(2)2G xaxxxxxx有 2 个零点， 即关于x的方程ln(2)0( 2,)x axxx 有 2 个不相等的实根， 易知 0 是方程的一个根，此时Ra， 当0x 时，只需( ) ln(2)h xaxx 有一个不为 0 的零点即可， 当0a 时，( )10 2 a h x x ，故 ( )h x为减函数， 2222 (e2)ln(e22)(e2)22e0 aaaa ha ， (0)ln20ha ， 故 ( )h x在( 2,)上仅有 1 个零点，且不为 0，满足题意， 当0a 时， ( )0h xx ，解得：

20、0x ，不合题意， 当0a 时， (0)ln20ha ， 2222 (e2)ln(e22)(e2)e0 aaaa ha ， 故 ( )h x在( 2,0) 上至少有 1 个零点，不合题意， 综上，0a 12 分 22.（1）曲线 1 C的参数方程为 1 cos sin x y 为参数 ， 曲线 1 C的普通方程为 22 20xyx， - 10 - 曲线C的极坐标方程为2cos， 设点B的极坐标为( ,)，点A的极坐标为 00 (, )， 则 0000 |,|,2cos ,OBOA， | | 8OAOB， 0 8 ， 8 2cos, cos4 2 C的极坐标方程为cos=45 分 （2）.由题设

21、知|OC， 2 1 | |coscos| |42cos | 2 ABCOBCOAC SSSOCBA ， 当0时， ABC S取得最小值为 210 分 23.（1）. 1 3 , 2 1 ( )2,1 2 3 ,1 x x f xxx x x ， 2f x 等价于 1 2 32 x x 或 1 1 2 22 x x 或 1 32 x x ， 所以 2 3 x 或01x或1x ， 故原不等式的解集为 2 (,0,) 3 5 分 （2）. ( )yf x 的图像如图所示： 1 3 (, ) 2 2 A ，(1,3)B， - 11 - 直线 7 4 yax过定点 7 (0, ) 4 P 因为 15 , 24 APBP KK， 所以 15 24 a 10 分