1、2017-2018学年山西省太原市高一（下）期末数学试卷一、选择题1（3分）在等比数列an中，a11，q2，则a4（）A6B7C8D92（3分）不等式x（x1）0的解集是（）A（，0）（1，+）B（0，1）C（，0）D（1，+）3（3分）在ABC中，a，A60，B45则b（）AB2CD24（3分）已知数列an满足a11，an+1an+2（nN*），则数列an的前5项和S5（）A9B16C25D365（3分）已知实数ab，则下列结论正确的是（）ABa2b2CD2a2b6（3分）在等差数列an中，a1+a3+a59，a4+a5+a621，则a7（）A9B11C13D157（3分）已知集合Ax|x2
2、3x+20，Bx|x（xm）0，若AB，则实数m的取值范围是（）A（，0B0，2C2，+）D0，18（3分）在ABC中，A45，a，b2，则c（）A2B或2CD或9（3分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且S312，S530，则数列的前n项和为（）ABCD10（3分）已知实数m0，n0，且m+n2，则的最小值为（）A4B2C4D211（3分）已知数列an满足a12，an+1an2n+n（nN*），则a10（）A557B567C1069D107912（3分）在ABC中，sinA，点D在边AC上，且BDAB，若BC3，CD，则ABC的面积为（）A6B6C12D二、填空题13（3分）若a与7的等差
3、中项为4，则实数a 14（3分）在ABC中，a，b2，c3，则A 15（3分）若不等式mx2+x+10对一切实数x都成立，则实数m的取值范围是 16（3分）已知数列an满足a11，a22，an+22an+1+3an+2（nN*），则数列an的通项公式an 三、解答题17已知在等比数列an中，a22，a516，等差数列bn满足b1a1，b4a3（1）求数列an的通项公式；（2）求数列bn的前n项和Sn18如图，在平面四边形ABCD中，AB3，BCCD2，ADC150，BCD120（1）求BD的长；（2）求BAD的大小19如图是某足球场地的局部平面示意图，点A，B表示球门的门柱，某运动员在点P处带
4、球沿直线PC运动，准备将足球打入此球门，已知PCAB，ACa，BCb，PCx（1）请用a，b，x表示tanAPB；（2）若b3a，ba7.32m，求该运动员最佳打门时的x值（精确到0.1m）附：tan（）说明：请同学们在20、21两个小题中任选一题作答20在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a2bcosC+c（1）求角B的值：（2）若b2，求ABC面积的最大值21在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（ab）（sinA+sinB）（ac）sinC（1）求角B的值；（2）若b2，求ABC面积的最大值说明：请考生在22、23.两个小题中任选一题作答22已知Sn为数列an
5、的前n项和3an2Sn+1（nN*）数列bn满足bn2log3an+1（nN*）（1）求数列an和bn的通项公式；（2）设cnanbn（nN*），数列cn的前n项和为Tn，若Tn2018，求n的最大值23已知Sn为数列an的前n项和，且a11，an+12Sn+1（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn满足bn2anlog3an+1（nN*），求数列bn的前n项和Tn；（3）若cn（nN*），证明：c1+c2+cn2017-2018学年山西省太原市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1（3分）在等比数列an中，a11，q2，则a4（）A6B7C8D9【分析】根据题意，
6、由等比数列的通项公式可得a4a1q3，代入数据即可得答案【解答】解：根据题意，等比数列an中，a11，q2，则a4a1q38；故选：C【点评】本题考查等比数列的通项公式，关键是掌握等比数列的通项公式的形式2（3分）不等式x（x1）0的解集是（）A（，0）（1，+）B（0，1）C（，0）D（1，+）【分析】根据题意，分析可得方程x（x1）0的两根为0或1，则x（x1）00x1，即可得答案【解答】解：根据题意，x（x1）0，方程x（x1）0的两根为0或1，则x（x1）00x1，则不等式x（x1）0的解集是（0，1），故选：B【点评】本题考查一元二次不等式的解法，注意一元二次不等式与一元二次方程的关
7、系，属于基础题3（3分）在ABC中，a，A60，B45则b（）AB2CD2【分析】由已知利用正弦定理即可解得b的值【解答】解：a，A60，B45由正弦定理，可得：b故选：A【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，熟练掌握正弦定理是解题的关键，属于基础题4（3分）已知数列an满足a11，an+1an+2（nN*），则数列an的前5项和S5（）A9B16C25D36【分析】由题意可得数列an为以1为首项以2为公差的等差数列，根据等差数列的前n项和公式计算即可【解答】解：a11，an+1an+2，数列an为以1为首项以2为公差的等差数列，S55+25，故选：C【点评】本题考查了等差数列的求
8、和公式，属于基础题5（3分）已知实数ab，则下列结论正确的是（）ABa2b2CD2a2b【分析】直接根据不等式的性质和指数函数的性质即可求出【解答】解：若a1，b1，则A，B错误，若a1，b2，则C错误，ab，2a2b，故选：D【点评】本题考查了不等式的性质，属于基础题6（3分）在等差数列an中，a1+a3+a59，a4+a5+a621，则a7（）A9B11C13D15【分析】由a1+a3+a59求得a3，结合a4+a5+a621求得d，则a7可求【解答】解：在等差数列an中，由a1+a3+a59，得3a39，即a33a4+a5+a63a3+6d21，即d2a7a3+4d11故选：B【点评】本
9、题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的性质，是基础的计算题7（3分）已知集合Ax|x23x+20，Bx|x（xm）0，若AB，则实数m的取值范围是（）A（，0B0，2C2，+）D0，1【分析】本题考查一元二次不等式的解法及交集的定义【解答】解：由Ax|x23x+20x|1x2，Bx|x（xm）0，当m0时，得xm或x0，由AB得m2；当m0时，x0不合题意当m0时，xm或x0，综上m2，故选：C【点评】本题考查一元二次不等式的解法及交集的定义分类讨论的数学思想8（3分）在ABC中，A45，a，b2，则c（）A2B或2CD或【分析】由余弦定理列方程求得c的值【解答】解：ABC中，A45，a，b
10、2，由余弦定理得，a2b2+c22bccosA，34+c222ccos45，整理得c22c+10，解得c+1或c1故选：D【点评】本题考查了余弦定理的应用问题，是基础题9（3分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且S312，S530，则数列的前n项和为（）ABCD【分析】由已知列式求得首项与公差，进一步得到Sn，再由裂项相消法求数列的前n项和【解答】解：在等差数列an中，由S312，S530，得，解得a12，d2，数列的前n项和为故选：A【点评】本题考查等差数列的前n项和，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题10（3分）已知实数m0，n0，且m+n2，则的最小值为（）A4B2C4D2【分
11、析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出【解答】解：实数m0，n0，且m+n2，可得，则（）（）1+2当且仅当mn1时取等号则的最小值为2；故选：B【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题11（3分）已知数列an满足a12，an+1an2n+n（nN*），则a10（）A557B567C1069D1079【分析】a12，an+1an2n+n（nN*），可得a10（a10a9）+（a9a8）+（a2a1）+a129+9+28+8+21+1+2，分组利用求和公式即可得出【解答】解：a12，an+1an2n+n（nN*），a10（a10a9）+（a9a8）+（a2a1）+a129
12、+9+28+8+21+1+229+28+21+9+8+1+2+21069故选：C【点评】本题考查了累加求和方法、等差数列与等比数列的求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12（3分）在ABC中，sinA，点D在边AC上，且BDAB，若BC3，CD，则ABC的面积为（）A6B6C12D【分析】由已知可得ABD为直角三角形，结合sinA，可得cosBDC，由余弦定理得到BD3，进而可得AD，AB长，最后求出ABC的面积【解答】解：BDAB，故ABD为直角三角形，则cosADBsinA，cosBDC，在BCD中cosBDC即解得：BD3，sinA，AD3，AB3ABC的面积S故
13、选：D【点评】本题考查的知识点是余弦定理，同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，难度中档二、填空题13（3分）若a与7的等差中项为4，则实数a1【分析】利用等差中项的定义直接求解【解答】解：a与7的等差中项为4，a+724，解得a1故答案为：1【点评】本题考查实数值的求法，考查等差中项等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题14（3分）在ABC中，a，b2，c3，则A【分析】根据题意，由余弦定理可得cosA，代入数据计算可得答案【解答】解：根据题意，ABC中，a，b2，c3，则cosA，则A；故答案为：【点评】本题考查余弦定理的应用，关键是掌握余弦定理的形式15（3分）若不
14、等式mx2+x+10对一切实数x都成立，则实数m的取值范围是（）【分析】根据题意，分2种情况讨论：当m0时，易得此时不符合题意；当m0时，由二次函数的性质分析，解可得m的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，若不等式mx2+x+10对一切实数x都成立，当m0时，原不等式为x+10，不能满足对一切实数x都成立，不符合题意；当m0时，若不等式mx2+x+10对一切实数x都成立，必有，解可得m，故m的取值范围为（，+）；故答案为：（，+）【点评】本题考查二次函数的性质以及函数恒成立问题，注意结合二次函数的性质分析，属于基础题16（3分）已知数列an满足a11，a22，an+22an+1+3an+
15、2（nN*），则数列an的通项公式an【分析】令an+2+pan+1+rq（an+1+pan+r）（nN*），化为：an+2（qp）an+1+pqan+rqr，与an+22an+1+3an+2比较可得：qp2，pq3，rqr2，联立解得p1r，q3an+2+an+1+13（an+1+an+1），a2+a1+14利用等比数列的通项公式可得：an+1+an+143n1于是n2时，an+an1+143n2，相减可得：an+1an183n2，对n分类讨论利用求和公式即可得出【解答】解：令an+2+pan+1+rq（an+1+pan+r）（nN*），化为：an+2（qp）an+1+pqan+rqr，与a
16、n+22an+1+3an+2比较可得：qp2，pq3，rqr2，联立解得p1r，q3an+2+an+1+13（an+1+an+1），a2+a1+14数列an+1+an+1为等比数列，公比为3，首项为4an+1+an+143n1于是n2时，an+an1+143n2，相减可得：an+1an183n2，n为奇数时，anan283n3，可得：ana18（3n3+3n5+32+30），an8+13n1同理可得：n为偶数时，an3n11an故答案为：【点评】本题考查了分类讨论方法、累加求和方法、等比数列的求和公式、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题三、解答题17已知在等比数列an中，a22，a51
17、6，等差数列bn满足b1a1，b4a3（1）求数列an的通项公式；（2）求数列bn的前n项和Sn【分析】（1）先求出公比，即可求出数列的通项公式，（2）求出公差的，再根据求和公式计算即可【解答】解：（1）等比数列an中，a22，a516，q38，q2，a11，an2n1，（2）等差数列bn满足b1a11，b4a343db4b1413，d1，Snn+1【点评】本题考查了等比数列的通项公式和等差数列的求和公式，属于基础题18如图，在平面四边形ABCD中，AB3，BCCD2，ADC150，BCD120（1）求BD的长；（2）求BAD的大小【分析】（1）由已知利用余弦定理即可解得BD的值（2）由已知利
18、用三角形内角和定理可求CDB30，进而可求ADB120，在BCD中，由正弦定理可得sinBAD，结合BAD为锐角，利用特殊角的三角函数值即可得解BAD的值【解答】解：（1）在BCD中，BCCD2，BCD120由余弦定理可得：BD2BC2+CD22BDCDcosBCD4+4222（）12，可得BD2（2）在BCD中，BCD120，BCCD，CDB30，ADC150，ADB120，在BCD中，由正弦定理可得：，可得：sinBAD，BAD为锐角，BAD45【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，熟练掌握正弦定理余弦定理是解题的关键，属于基础题19如图
19、是某足球场地的局部平面示意图，点A，B表示球门的门柱，某运动员在点P处带球沿直线PC运动，准备将足球打入此球门，已知PCAB，ACa，BCb，PCx（1）请用a，b，x表示tanAPB；（2）若b3a，ba7.32m，求该运动员最佳打门时的x值（精确到0.1m）附：tan（）【分析】（1）由题意利用直角三角形中的边角关系，求得tanAPB（2）该运动员最佳打门时，tanAPB最大，即APB最大利用两角差的正切公式，基本不等式求得tanAPB最大值【解答】解：（1）已知PCAB，ACa，BCb，PCx，tanAPC，tanBPC，tanAPBtan（BPCAPC）（2）该运动员最佳打门时，APB
20、最大，tanAPB最大b3a，ba7.32m，b10.98m，a3.66m，tanAPB，当且仅当，即x3.666.3时，取等号即当运动员沿直线PC带球，离直线AB的距离等于6.3m时，此时是运动员的最佳打门位置【点评】本题主要考查直角三角形中的边角关系，两角差的正切公式，基本不等式的应用，属于中档题说明：请同学们在20、21两个小题中任选一题作答20在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a2bcosC+c（1）求角B的值：（2）若b2，求ABC面积的最大值【分析】（1）由已知及正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可得2cosBsinCsinC，结合sinC0，可求c
21、osB，由B（0，），可得B（2）由余弦定理，基本不等式可求ac的最大值，利用三角形面积公式即可求解【解答】解：（1）2a2bcosC+c由正弦定理可得：2sinA2sinBcosC+sinC，可得：2sin（B+C）2sinBcosC+sinC，可得：2cosBsinCsinC，sinC0，可得：cosB，由B（0，），可得B（2）b2，B，由余弦定理b2a2+c22accosB，可得：4a2+c2acac，当且仅当ac时等号成立，SABCacsinB，当且仅当ac时等号成立，即ABC面积的最大值为【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，基本不等式，
22、三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题21在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（ab）（sinA+sinB）（ac）sinC（1）求角B的值；（2）若b2，求ABC面积的最大值【分析】（1）由已知及正弦定理可得：a2+c2b2ac，由余弦定理可得cosB，结合范围0B，可求B的值（2）由（1）可得a2+c24ac，利用基本不等式可求ac的最大值，利用三角形面积公式即可计算得解【解答】解：（1）（ab）（sinA+sinB）（ac）sinC，由正弦定理可得：a2+c2b2ac，由余弦定理可得：cosB，0B，B（2）由（1）可得：cosB，a2+c24ac，又
23、a2+c22ac，ac4，当且仅当ac时取等号，SABCacsinB，即ABC面积的最大值为【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题说明：请考生在22、23.两个小题中任选一题作答22已知Sn为数列an的前n项和3an2Sn+1（nN*）数列bn满足bn2log3an+1（nN*）（1）求数列an和bn的通项公式；（2）设cnanbn（nN*），数列cn的前n项和为Tn，若Tn2018，求n的最大值【分析】（1）运用数列的递推式：a1S1；n2时，anSnSn1，可得数列an的通项；由对数的运算性质可得数列bn的通项公式
24、；（2）cnanbn2n3n1，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式可得Tn，判断Tn递增，求得n5，n6的值，即可得到所求最大值【解答】解：（1）Sn为数列an的前n项和3an2Sn+1（nN*），可得3a12S1+12a1+1，即a11；n2时，anSnSn1，由3an2Sn+1，可得3an12Sn1+1，两式相减可得3an3an12an，可得an3an1，则an3n1；bn2log3an+12bn2log33n2n；（2）cnanbn2n3n1，前n项和为Tn230+431+632+2n3n1，3Tn23+432+633+2n3n，相减可得2Tn2+2（31+32+3n
25、1）2n3n，22n3n，化简可得Tn+3n，Tn+1Tn+3n+1+3n2（n+1）3n0，可得Tn递增，且n5时，T510942018，n6时，T640102018，则若Tn2018，n的最大值为5【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式和对数的运算性质，考查数列的求和方法：错位相减法，考查不等式的解法，注意数列的单调性，考查运算能力，属于中档题23已知Sn为数列an的前n项和，且a11，an+12Sn+1（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn满足bn2anlog3an+1（nN*），求数列bn的前n项和Tn；（3）若cn（nN*），证明：c1+c2+cn
26、【分析】（1）由数列的递推式：a1S1，当n2时，anSnSn1，结合等比数列的定义和通项公式可得所求通项；（2）求得bn23n1log33n2n3n1，由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和；（3）求得cn，当n2时，运用放缩法和等比数列的求和公式和不等式的性质，即可得证【解答】解：（1）a11，an+12Sn+1（nN*），可得a22S1+12a1+12+13，当n2时，anSnSn1，an+12Sn+1，可得an2Sn1+1，两式相减可得an+1an2Sn2Sn12an，即为an+13an，则ana23n23n1，上式对n1也成立，综上可得数列an的通项公式为an3n1，nN*；（2）数列bn满足bn2anlog3an+1（nN*），则bn23n1log33n2n3n1，数列bn的前n项和Tn2（130+231+332+n3n1），3Tn2（131+232+333+n3n），相减可得2Tn2（1+31+32+3n1n3n）2（n3n），化简可得Tn+3n；（3）证明：cn（nN*），当n2时，3n11，即有3n123n1，则，可得c1+c2+cn1+（1）【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查数列的求和方法：错位相减法，以及数列不等式的证明，注意运用放缩法，考查运算能力和推理能力，属于中档题
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