圆与三角函数

1、角公式求值例1已知sin ，3，求cos和tan .考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用半角公式化简求值解sin ，且3，cos .，cos .tan 2.反思感悟利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正弦、余弦值时，常先利用sin2，cos2计算(4)下结论：结合(2)求值跟踪训练1已知cos ，为第四象限角，则tan 的值为_考点利用简单的三角恒等变换化简求值题点利用半角公式化简求值答案解析方法一因为为第四象限角，所以是第二或第四象限角所以tan 0.所以tan 。

2、1)sin2cos21的变形公式sin21cos2；cos21sin2.(2)tan 的变形公式sin cos_tan_；cos .1sin2cos21.()提示在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即sin2cos21.2sin2cos21.()提示在sin2cos21中，令可得sin2cos21.3对任意的角，都有tan 成立()提示当k，kZ时就不成立4若cos 0，则sin 1.()题型一利用同角三角函数的关系式求值命题角度1已知角的某一三角函数值及所在象限，求角的其余三角函数值例1(1)若sin ，且为第四象限角，则tan 的值为()A. B C. D考点运用基本关系式求三角函数值题点运用基本关系式求三角函数值答案D解析sin ，且为第四象限角，co。

3、专题锐角三角函数与圆综合第一部分典例剖析,针对训练类型一利用垂径定理构造直角三角形典例,三水区一模,如图,已知中,以为圆心,为半径画圆,与边交于另一点,求的长,连接,求的余弦值针对训练,秋湖州期末,如图,在中,以点为圆心,长为半径的圆交于点。

4、垂直x轴于点M，作PN垂直于y轴于点N， 则点M，N分别是点P在x轴、y轴上的正射影(简称射影).,梳理,(1)单位圆 把 的圆叫做单位圆. (2)单位圆中角的坐标 角的余弦和正弦分别等于角终边与单位圆交点的 和 .,半径为1,横坐标,纵坐标,思考1,知识点二 三角函数线,三角函数线的长度等于三角函数的值吗？,答案,答案 不等于，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值.,思考2,三角函数线的方向与三角函数值的正负有什么联系？,答案 当三角函数线与x轴(或y轴)正向同向时，所表示的三角函数值为正值；与x轴(或y轴)正向反向时，所表示的三角函数值为负值.,梳理,三角函数线,题型探究,类型一 三角函数线,解答,解 如图所示，,反思与感悟,(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线. (2)作正切线时，应从点A(1，0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线AT.,跟踪训练1 在单位圆中画出满足sin 。

5、 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质问题；运用三角公式和正弦定理、余弦定理解 斜三角形重点考查相关的数学思想方法，如方程的思想、数形结合、换元法等 3 31 1 三角函数的概念三角函数的概念 【知识要点】【知识要点】 1角扩充到任意角：通过旋转和弧度制使得三角函数成为以实数为自变量的函数 2弧度 rad 以及度与弧度的互化： 3 .57) 180 (rad1 , 180; r l 3三角函数的定义：在平面直角坐标系中，任意角的顶点在原点，始边在x轴正半 轴上，终边上任意一点P(x，y)，OPr(r0)，则;cos;sin r x r y x y tan 4三角函数的定义域与值域： 函数 定义域 值域 ysinx R R 1，1 ycosx R R 1，1 ytanx , 2 |Z kkxx R R 5三角函数线：正弦线MP，余弦线OM，正切线AT 6同角三角函数基本关系式： cos sin tan, 1co。

6、 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质问题；运用三角公式和正弦定理、余弦定理解 斜三角形重点考查相关的数学思想方法，如方程的思想、数形结合、换元法等 3 31 1 三角函数的概念三角函数的概念 【知识要点】【知识要点】 1角扩充到任意角：通过旋转和弧度制使得三角函数成为以实数为自变量的函数 2弧度 rad 以及度与弧度的互化： 3 .57) 180 (rad1 , 180; r l 3三角函数的定义：在平面直角坐标系中，任意角的顶点在原点，始边在x轴正半 轴上，终边上任意一点P(x，y)，OPr(r0)，则;cos;sin r x r y x y tan 4三角函数的定义域与值域： 函数 定义域 值域 ysinx R R 1，1 ycosx R R 1，1 ytanx , 2 |Z kkxx R R 5三角函数线：正弦线MP，余弦线OM，正切线AT 6同角三角函数基本关系式： cos sin tan, 1co。

7、又22，则，所以有tan .答案C3.设sin 2sin ，则tan 2的值是_.解析sin 2sin ，cos ，又，tan 2tan tan .答案4.若sin()，则cos(2)的值为_.解析cos(2)cos(2)cos2()12sin2()2sin2()1.答案5.若1，则的值为_.解析1，tan .3.答案36.求下列各式的值：(1)sin sin ；(2)cos2 15cos2 75.(3)2cos2 1；(4).解(1)sin sincos ，sin sin sin cos 2sin cos sin .(2)cos2 75cos2(9015&#。

8、边长为1的网格中,点A,B,C均在格点上,则tanC的值是()图5-ZT-2A.2 B.43 C.1 D.343.如图5-ZT-3,在RtABC中,C=90,AC=12,BC=5.(1)求AB的长;(2)求sinA,cosA,tanA,sinB,cosB,tanB的值.图5-ZT-34.如图5-ZT-4,在ABC中,AB=8,BC=6,SABC=12.试求 tanB的值.图5-ZT-4技巧二巧设参数求锐角三角函数值5.在RtABC中,C=90,若tanA=512,则cosA的值是()A.512 B.813 C.23 D.12136.在ABC中,若ACBCAB=51213,则 cosA的值为()A.1213 B.513 C.512 D.1257.已知为锐角,且cos=13,求sin和tan的值.。

9、2sin(x)sin x(sin xcos x)22sin2x(12sin xcos x)(1cos 2x)sin 2x1sin 2xcos 2x12sin1.由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)所以f(x)的单调递增区间是(kZ).(2)由(1)知f(x)2sin1，把yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y2sin1的图象，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到y2sin x1的图象，即g(x)2sin x1.所以g2sin 1.思维升华 三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为yAsin(x)k的形式，然后将tx视为一个整体，结合ysin t的图象求解跟踪训练1 已知函数f(x)5sin xcos x5cos2x(其中xR)，求：(1)函数f(x)的最小正周期；(2)函数f(x)的单调区间；(3)函数f(x)图象的对称轴。

10、1.(C2)tan 2.(T2)2二倍角公式的重要变形升幂公式1cos 22cos2，1cos 22sin2，1cos 2cos2,1cos 2sin2 .1sin 2sin cos .()2cos 4cos22sin22.()3对任意角，tan 2.()提示公式中所含各角应使三角函数有意义如及，上式均无意义.题型一给角求值例1求下列各式的值：(1)cos 72cos 36；(2)cos215；(3)；(4).解(1)cos 36cos 72.(2)cos215(2cos2151)cos 30.(3)222.(4)4.反思感悟对于给角求值问题，一般有两类(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本。

11、圆与相似及三角函数综合问题,例,四川巴中市教育科学研究所中考真题,四边形内接于,直径与弦交于点,直线与相切于点,如图,若,且,求证,平分,如图,连接,若,求证,例,广东深圳中考真题,一个玻璃球体近似半圆,为直径,半圆上点处有个吊灯,的中点为。

12、 2sin211 9. 2.(2019 海口调研)下列不等式正确的是( ) A.sin 130 sin 40 log34 B.tan 226 log52 答案 D 解析 sin 40 1sin 80 1 2log52. 3.(2019 钦州模拟)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 a2，C 4，tan B 4 3，则ABC 的面积等于( ) A.8 7 B. 3 7 C. 4 7 D. 2 7 答案 A 解析 根据题干条件 tan B4 3可得到 sin B4 5，cos B 3 5， 又C 4， sin Ccos C 2 2 ， sin Asin(BC) 7 10 2， 由正弦定理得到 a sin A c sin C，c 10 7 ， 根据面积公式得到 S1 2acsin B 1 22 10 7 4 5 8 7. 4.(2019 宜宾诊断)要得到函数 ysin 。

13、三角函数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识题型既有选择题和填空题，又有解答题，中档难度.1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数ysin x，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,0)，(，0)，(2，0)(2)在余弦函数ycos x，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,1)，(，1)，(2，1)2正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中kZ)函数ysin xycos xytan x图象定义域RRxk值域1,11,1R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2k，2k递减区间2k，2k无对称中心(k，0)对称轴方程xkxk无概念方法微思考1正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？提示。

14、360 ，kZ. (2)终边在 x 轴非正半轴上的角的集合：|180 k 360 ，kZ. (3)终边在 x 轴上的角的集合：|k 180 ，kZ. (4)终边在 y 轴上的角的集合：|90 k 180 ，kZ. (5)终边在坐标轴上的角的集合：|k 90 ，kZ. (6)终边在 yx 上的角的集合：|45 k 180 ，kZ. (7)终边在 yx 上的角的集合：|45 k 180 ，kZ. (8)终边在坐标轴或四象限角平分线上的角的集合：|k 45 ，kZ. 3.1 弧度的角 在圆中，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示. 4.正角、负角和零角的弧度数 一般的，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是。

15、二倍角的正弦、余弦、正切公式 )进行变换， “ 角 ” 的变换是三 角恒等变换的核心  1常用三种函数的图象性质 (下表中 k Z) 函数  y sin x y cos x y tan x 图象  递增  区间  2222kk ， 22kk ，  22kk ，递减  区间  2222kk ， 22kk ，  奇偶性  奇函 数  偶函数  奇函数  对称  中心  (k， 0) 02k ，02k，对称轴  x k 2  x k  周期性  2 2 2三角函数的常用结论 &n。

16、比值叫做的正弦，记作sin ，即sin 余弦比值叫做的余弦，记作cos ，即cos 正切比值(x0)叫做的正切，记作tan ，即tan 三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以角的终边上点的坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数知识点二正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin y，cos x，tan (x0)当为第一象限角时，y0, x0，故sin 0，cos 0，tan 0，同理可得当在其它象限时三角函数值的符号，如图所示记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”1.sin ，cos ，tan 的大小与点P(x，y)在角的终边上的位置有关()提示三角函数的大小由角终边位置确定，而与点P(x，y)在终边上的位置无关2终边相同的角的同名三角函数值相等()提示由三角函数的定义可。

17、分为正角、负角、零角（2）按终边位置不同分为象限角和轴线角（3）终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合3象限角与轴线角第一象限角的集合为；第二象限角的集合为；第三象限角的集合为；第四象限角的集合为终边与轴非负半轴重合的角的集合为；终边与轴非正半轴重合的角的集合为；终边与轴重合的角的集合为；终边与轴非负半轴重合的角的集合为；终边与轴非正半轴重合的角的集合为；终边与轴重合的角的集合为；终边与坐标轴重合的角的集合为二、弧度制11弧度的角把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角规定：是以角作为圆心角时所对圆弧的长，为半径正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零2弧度制用“弧度”做单位来度量角的单位制叫做弧度制比值与所取的的大小无关，仅与角的大小有关3弧度与角度的换算4弧长公式，其中的单位是弧度，与的单位要统一.角度制下的弧长公式为：（其中为扇形圆心角的角度数）.5扇形的面积公式. 角度制下的扇形面积公。

18、专题三专题三 三角函数与解三角形三角函数与解三角形 第二编 讲专题 第第1 1讲讲 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 考情研析 1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称 性、周期性 2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求 值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点 1 核心知识回顾核心知识回顾 PART ONE 核心知识回顾核心知识回顾 热点考向探究。

19、数线，则sin MP，cos OM，tan AT，OMMPAT，bac，故选D.3.若02，且sin ，则角的取值范围是()A. B.C. D.答案D解析角的取值范围为图中阴影部分，即.4.若角的余弦线是单位长度的有向线段，那么角的终边在()A.y轴上 B.x轴上C.直线yx上 D.直线yx上答案B解析由题意得|cos |1，即cos 1，则角的终边在x轴上.故选B.5.在下列各组的大小比较中，正确的是()A.sin sin B.cos cos C.tan tan D.sin tan 答案B6.有三个命题：和的正弦线长度相等；和的正切线相同；和的余弦线长度相等.其中正确说法的个数为()A.1 B.2 C.3 D.0答案C解析和的正弦线关于y轴对称，长度相等；。

20、都变成了一点，它们的数量为零，而余弦线OM1或1.当角的终边在y轴上时，正弦线MP1或1，余弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切线不存在.思考三角函数线的方向是如何规定的？答案方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值，反之，为负值.1.正弦线也可写成.()提示三角函数线是有向线段，端点字母不可颠倒.2.三角函数线都只能取非负值.()提示三角函数线表示的值也可取负值.3.当角的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在.()4.当角的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点.()题型一三角函数线例1作出的正弦线、余弦线和正切线.解如图所示，sinMP，cosOM，tanAT.即的正弦线为，余弦线为，正切线为.反思感悟(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线.(2)作正切线时，应从点A(1,0)引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于一点T或T，即可。