第八章立体几何与空间向量

1、第7讲立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直一、选择题1.若直线l的方向向量为a(1，0，2)，平面的法向量为n(2，0，4)，则()A.l B.lC.l D.l与相交解析n2a，a与平面的法向量平行，l.答案B2.若，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A.相交 B.平行C.在平面内 D.平行或在平面内解析，共面.则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内.答案D3.已知平面内有一点M(1，1，2)，平面的一个法向量为n(6，3，6)，则下列点P中，在平面内的是()A.P(2，3，3) B.P(2，0，1)C.P(4，4，0) D.P(3，3，4)解析逐一验证法，对于选项A，(1，4，1)，n61260，n，点P在平。

2、第8讲立体几何中的向量方法(二)求空间角一、选择题1.(2016长沙模拟)在正方体A1B1C1D1ABCD中，AC与B1D所成的角的大小为()A. B. C. D.解析建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体边长为1，则A(0，0，0)，C(1，1，0)，B1(1，0，1)，D(0，1，0).(1，1，0)，(1，1，1)，1(1)110(1)0，AC与B1D所成的角为.答案D2.(2017郑州调研)在正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为()A. B. C. D.解析设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.则B(1，1，0)，B1(1，1，1)，A(。

3、第2讲空间几何体的表面积与体积一、选择题1.(2015全国卷)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A.14斛 B.22斛C.36斛 D.66斛解析设米堆的底面半径为r尺，则r8，所以r.所以米堆的体积为Vr255(立方尺).故堆放的米约有1.6222(斛).答案B2.某几何。

4、第6讲空间向量及其运算一、选择题1.(2017黄冈模拟)已知向量a(2m1，3，m1)，b(2，m，m)，且ab，则实数m的值等于()A. B.2C.0 D.或2解析ab，解得m2.答案B2.(2017海南模拟)在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin，的值为()A. B.C. D.解析如图，设正方体棱长为2，则易得(2，2，1)，(2，2，1)，cos，sin，.答案B3.空间四边形ABCD的各边和对角线均相等，E是BC的中点，那么()A.B.C.D.与的大小不能比较解析取BD的中点F，连接EF，则EF綉CD，因为，90，因为0，0，所以.答案C4.已知向量a。

5、第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1.(2015湖北卷)l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线；q：l1，l2不相交，则()A.p是q的充分条件，但不是q的必要条件B.p是q的必要条件，但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件解析直线l1，l2是异面直线，一定有l1与l2不相交，因此p是q的充分条件；若l1与l2不相交，那么l1与l2可能平行，也可能是异面直线，所以p不是q的必要条件.故选A.答案A2.(2017郑州联考)已知直线a和平面，l，a，a，且a在，内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的。

6、第5讲 直线、平面垂直的判定及其性质基础达标1(2019嘉兴市七校联考)“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选B.根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M垂直”，反之可以，所以应该是必要不充分条件2. 如图，O为正方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是()AA1DBAA1CA1D1DA1C1解析：选D.由题易知A1C1平面BB1D1D.又B1O平面BB1D1D，所以A1C1B1O.3(2019温州中学高三模考) 。

7、第1课时 空间角基础达标1在直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A30B45C60D90解析：选C.不妨设ABACAA11，建立空间直角坐标系如图所示，则B(0，1，0)，A1(0，0，1)，A(0，0，0)，C1(1，0，1)，所以(0，1，1)，(1，0，1)，所以cos，所以，60，所以异面直线BA1与AC1所成的角等于60.2在三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC90，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，ABAC1，PA2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为()ABCD解析：选C.以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系。

8、第2课时 空间距离与立体几何中的最值（范围）问题（选用）基础达标1(2019宁波市镇海中学高考模拟)在直三棱柱A1B1C1ABC中，BAC，ABACAA11，已知G和E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)，若GDEF，则线段DF的长度的取值范围为()ABCD解析：选A.建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，E，G，F(x，0，0)，D(0，y，0)，由于GDEF，所以x2y10，DF，由x12y0，得y，所以当y时，线段DF长度的最小值是，当y0时，线段DF长度的最大值是1，又不包括端点，故y0不能取，故选A.2. (2019杭州市学军中学高考数学模拟)如图。

9、第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系基础达标1已知异面直线a，b分别在平面，内，且c，那么直线c一定()A与a，b都相交B只能与a，b中的一条相交C至少与a，b中的一条相交D与a，b都平行解析：选C.若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知ab，与a，b异面矛盾2如图所示，平面平面l，A，B，ABlD，C，Cl，则平面ABC与平面的交线是()A直线ACB直线ABC直线CDD直线BC解析：选C.由题意知，Dl，l，所以D，又因为DAB，所以D平面ABC，所以点D在平面ABC与平面的交线上又因为C平面ABC，C，所以点C在平面与平面ABC的交线上，所以平面ABC平面CD.。

10、第6讲 空间向量的运算及应用基础达标1.已知三棱锥OABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且a，b，c，用a，b，c表示，则等于()A(bca)B(abc)C(abc)D(cab)解析：选D.(cab)2已知a(2，1，3)，b(1，4，2)，c(7，5，)，若a、b、c三向量共面，则实数等于()AB9CD解析：选D.由题意知存在实数x，y使得cxayb，即(7，5，)x(2，1，3)y(1，4，2)，由此得方程组解得x，y，所以.3已知A(1，0，0)，B(0，1，1)，O为坐标原点，与的夹角为120，则的值为()ABCD解析：选C.(1，)，cos 120，得.经检验不合题意，舍去，所以.4如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，。

11、第2讲 空间几何体的表面积与体积基础达标1(2019嘉兴期中)某球的体积与表面积的数值相等，则球的半径是()A1B2C3D4解析：选C.设球的半径为r，则球的体积为r3，球的表面积为4r2.因为球的体积与其表面积的数值相等，所以r34r2，解得r3.2(2019义乌模拟)某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A124B188C28D208解析：选D.由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图则该几何体的表面积为S22242224208，故选D.3(2019浙江高校招生选考试题)如图(1)，把棱长为1的正方体沿平面AB1D1和平面A1BC1截去部分后，得到如图(。