江苏省镇江市2019届高三第一次模拟考试数学试卷(含答案)
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1、2019 届高三年级第一次模拟考试数学(满分 160 分,考试时间 120 分钟)参考公式:锥体体积公式:V Sh,其中 S 为底面积,h 为高13圆锥侧面积公式:Srl,其中 r 为底面半径,l 为母线长一、 填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分1. 已知集合 A0,1,2,集合 B1,0,2,3 ,则 AB_2. 函数 f(x) 的定义域为_lg(3 x)3. 从 1,2,3,4,5 这 5 个数中,随机抽取 2 个不同的数,则这 2 个数的和为6 的概率是_4. 根据如图所示的伪代码,最后输出的 i 的值为_5. 已知一个圆锥的底面积为 ,侧面积为 2,则该圆锥的
2、体积为 _6. 抛物线 y28x 的焦点到双曲线 1 渐近线的距离为_x216 y297. 设 Sn 是等比数列a n的前 n 项的和,若 ,则 _a6a3 12 S6S38. 已知函数 f(x) 2 x,则满足 f(x25x)f(6)0 的实数 x 的取值范围是_12x9. 若 2cos 2sin , ,则 sin 2_(4 ) (2,)10. 已知 ABC 是边长为 2 的等边三角形,D ,E 分别是边 AB,BC 的中点,连结 DE 并延长到点 F,使得 DE3EF,则 的值为_AF BC 11. 已知等差数列a n的公差为 d(d0),前 n 项和为 Sn,且数列 也为公差为 d 的等
3、差Sn n数列,则 d_12. 已知 x0,y0 ,xy ,则 xy 的最小值为_1x 4y13. 已知圆 O: x2y 21,圆 M:(xa) 2(y 2) 22.若圆 M 上存在点 P,过点 P 作圆 O 的两条切线,切点为 A,B,使得 PAPB,则实数 a 的取值范围为_14. 设函数 f(x)ax 3bx 2cx(a,b,cR,a0) 若不等式 xf(x)af (x)2 对一切 xR 恒成立,则 的取值范围为_b ca二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤15. (本小题满分 14 分)在ABC 中,角 A,B ,C 所对的边分别为 a
4、,b,c ,且 ccos Bbcos C3acos B.(1) 求 cos B 的值;(2) 若| |2,ABC 的面积为 2 ,求边 b.CA CB 216. (本小题满分 14 分)如图,在四棱锥 VABCD 中,底面 ABCD 是矩形,VD 平面 ABCD,过 AD 的平面分别与VB,VC 交于点 M,N.(1) 求证:BC平面 VCD;(2) 求证:ADMN.17. (本小题满分 14 分)某房地产商建有三栋楼宇 A,B,C,三楼宇间的距离都为 2 千米,拟准备在此三楼宇围成的区域 ABC 外建第四栋楼宇 D,规划要求楼宇 D 对楼宇 B,C 的视角为 120,如图所示,假设楼宇大小高
5、度忽略不计(1) 求四栋楼宇围成的四边形区域 ABDC 面积的最大值;(2) 当楼宇 D 与楼宇 B,C 间距离相等时,拟在楼宇 A, B 间建休息亭 E,在休息亭 E 和楼宇A,D 间分别铺设鹅卵石路 EA 和防腐木路 ED,如图已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为a,2a(单位:元/千米,a 为常数) 记BDE,求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值18. (本小题满分 16 分)已知椭圆 C: 1(ab0)的长轴长为 4,两准线间距离为 4 .设 A 为椭圆 C 的左顶x2a2 y2b2 2点,直线 l 过点 D(1,0) ,且与椭圆 C 相交于 E,F 两点(1) 求椭圆 C 的
6、方程;(2) 若AEF 的面积为 ,求直线 l 的方程;10(3) 已知直线 AE,AF 分别交直线 x3 于点 M,N ,线段 MN 的中点为 Q,设直线 l 和 QD 的斜率分别为 k(k0),k.求证:kk为定值19. (本小题满分 16 分)设数列a n是各项均为正数的等比数列, a12,a 2a464,数列b n满足:对任意的正整数n,都有 a1b1 a1b2a nbn(n 1)2 n1 2.(1) 分别求数列a n与b n的通项公式;(2) 若不等式 0)恒成立,求实数 m 的取值范围.2019 届高三年级第一次模拟考试(二)数学附加题(本部分满分 40 分,考试时间 30 分钟)
7、21. (本小题满分 10 分)求函数 y3cos 的图象在 x 处的切线方程(2x 3) 51222. (本小题满分 10 分)已知定点 A(2,0) ,点 B 是圆 x2y 28x120 上一动点,求 AB 中点 M 的轨迹方程. 23. (本小题满分 10 分)在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,已知 ABAC,AB2,AC4,AA 13,D 是 BC 的中点(1) 求直线 DC1 与平面 A1B1D 所成角的正弦值;(2) 求二面角 B1DC1A1 的余弦值24. (本小题满分 10 分)已知 x,y 为整数,且 xy0, ,n 为正整数,cos ,sin ,记(0,2) x2 y2x
8、2 y2 2xyx2 y2An(x 2y 2)ncos n,B n(x 2y 2)nsin n.(1) 试用 x,y 分别表示 A1, B1;(2) 用数学归纳法证明:对一切正整数 n,A n 均为整数2019 届高三年级第一次模拟考试(二)(镇江)数学参考答案1. 0,2 2. x|x2 3. 4. 8 5. 6. 7. 8. (2,3) 9. 10. 11. 12. 3 13. 15 33 65 12 78 13 122,2 14. 16, )15. (1) 由正弦定理 ,(1 分)asin A bsin B csin C且 ccos Bbcos C 3a cos B,得 sin Ccos
9、 Bsin Bcos C3sin Acos B,(3 分)则 3sin Acos Bsin(BC) sin (A)sin A,(5 分)又 A(0, ),则 sin A0,(6 分)则 cos B .(7 分)13(2) 因为 B(0,),则 sin B0,sin B .(9 分)1 cos2B1 (13)2 223因为| | |c 2, (10 分)CA CB BA 又 S acsin B a2 2 ,12 12 223 2解得 a3.(12 分)由余弦定理得,b 2a 2c 22accos B94232 9,则 b3.(14 分)13故边 b 的值为 3.16. (1) 在四棱锥 VABC
10、D 中,因为 VD平面 ABCD,BC平面 ABCD,所以 VDBC.(3 分)因为底面 ABCD 是矩形,所以 BCCD.(4 分)又 CD平面 VCD,VD平面 VCD,CDVDD,则 BC平面 VCD.(7 分)(2) 因为底面 ABCD 是矩形,所以 ADBC,(8 分)又 AD平面 VBC,BC 平面 VBC,则 AD平面 VBC,(11 分)又平面 ADNM平面 VBC MN,AD平面 ADNM,则 ADMN.(14 分)17. (1) 因为三楼宇间的距离都为 2 千米,所以 ABAC BC2,(1 分)因为楼宇 D 对楼宇 B,C 的视角为 120,所以BDC120,(2 分)在
11、BDC 中,因为 BC2BD 2DC 22BDDCcos BDC,(3 分)所以 22BD 2CD 22BDCDcos 120oBD 2CD 2BDCD2BDCDBDCD3BDCD,则 BDCD ,(4 分)43当且仅当 BDCD 时等号成立,此时DBCDCB 30,BDCD .1cos 30 233区域最大面积 SS ABC S BCD 22sin 60 BDCDsin 120 (平方千米)(7 分)12 12 433(或者:因为直角三角形ABD,ACD 全等,区域最大面积 SS ABD S ACD 2S ABD 2 ABBD (平方千米)(7 分)12 433(2)设铺设此鹅卵石路和防腐木
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