浙江省温州市普通高中2024届高三上第一次适应性考试数学试卷(含答案解析)
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1、温州市普通高中2024届高三第一次适应性考试数学试卷一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.1. 设集合,则( )A. B. C. D. 2. 设复数对应的点在第四象限,则复数对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 动点到定点的距离与到定直线:的距离的比等于,则动点的轨迹方程是( )A. B. C. D. 4. 已知向量,则在上的投影向量的坐标是( )A. B. C. D. 5. 已知离散型随机变量的分布列如下表所示.则( )A. B. C. D. 6. 若函数,的值域为,则的取值范围是( )A. B. C. D. 7. 已知为等比数列,则“”是
2、“,是任意正整数”( )A. 充分条件但不是必要条件B. 必要条件但不是充分条件C. 充要条件D. 既不是充分条件也不是必要条件8. 如图,所有棱长都为1的正三棱柱,点是侧棱上的动点,且,为线段上的动点,直线平面,则点的轨迹为( )A. 三角形(含内部)B. 矩形(含内部)C. 圆柱面的一部分D. 球面的一部分二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9. 在一次数学考试中,某班成绩的频率分布直方图如图所示,则下列说法正确的是( ) A. 图中所有小长方形的面积之和等于1B. 中位数的估计值介于
3、100和105之间C. 该班成绩众数的估计值为97.5D. 该班成绩的极差一定等于4010. 已知平面平面,则下列结论一定正确的是( )A. 存在直线平面,使得直线平面B. 存在直线平面,使得直线平面C. 存在直线平面,直线平面,使得直线直线D. 存在直线平面,直线平面,使得直线直线11. 若圆与直线相切,且与圆相切于点,则圆的半径为( )A. 5B. 3C. D. 12. 定义在上的函数的导函数为,对于任意实数,都有,且满足,则( )A. 函数为奇函数B. 不等式解集为C. 若方程有两个根,则D. 在处的切线方程为非选择题部分(共90分)三、填空题:本大题共4小题,每题5分,共20分.把答案
4、填在题中的横线上.13. 已知,则_(用表示).14. _.15. 与圆台上、下底面及侧面都相切的球,称为圆台的内切球,若圆台的上下底面半径为,且,则它的内切球的体积为_.16. 斜率为1的直线与双曲线()交于两点,点是曲线上的一点,满足,和的重心分别为,的外心为,记直线,的斜率为,若,则双曲线的离心率为_.四、解答题:本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知四棱锥底面为等腰梯形,平面.(1)求证:;(2)若四棱锥的体积为2,求平面与平面夹角的余弦值.18. 设的三个内角,所对的边分别为,且.(1)若,求的最小值;(2)求的值.19. 等差数列的前项和为,
5、.(1)求;(2)记为数列的前项和,若,且是以2为公差的等差数列,求数列的通项公式.20. 已知().(1)求导函数的最值;(2)试讨论关于的方程()的根的个数,并说明理由.21. 已知抛物线焦点为,抛物线上的点处的切线为.(1)求的方程(用,表示);(2)若直线与轴交于点,直线与抛物线交于点,若为钝角,求的取值范围.22. 某电子器件由若干个相同的电子模块构成,每个电子模块由4个电子元件按如图所示方式联接,其中每个电子元件导通的概率均为0.9.(1)求每个电子模块导通的概率(保留两位有效数字);(2)已知某电子器件由20个相同的电子模块构成,系统内不同电子模块彼此独立,是否导通互不影响,当且
6、仅当电子器件中不低于50%的电子模块处于导通状态时,电子器件才能正常工作.若在该电子器件中再添加两个相同的电子模块,试判断新电子器件较原电子器件正常工作的概率是增加还是减小?请说明理由.温州市普通高中2024届高三第一次适应性考试数学试卷一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.1. 设集合,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据分式不等式化简集合,即可由交运算求解.【详解】,所以,故选:B2. 设复数对应点在第四象限,则复数对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】由的周期性化简,计算后判断所求复数对应点
7、的象限.【详解】由复数对应的点在第四象限,则设,由得,由,得复数对应的点在第二象限.故选:B.3. 动点到定点的距离与到定直线:的距离的比等于,则动点的轨迹方程是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据距离公式即可化简求解.【详解】根据题意可得,平方化简可得,进而得,故选:A4. 已知向量,则在上的投影向量的坐标是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】根据投影向量的定义,结合坐标运算即可求解.【分析】在上的投影向量为,故选:B5. 已知离散型随机变量的分布列如下表所示.则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据随机变量的方差公式可得.【
8、详解】由分布列可得,故选:D6. 若函数,的值域为,则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用可得,再由三角函数图像性质可得,解不等式即可求得的取值范围.【详解】根据题意可知若,则可得;显然当时,可得,由的值域为,利用三角函数图像性质可得,解得,即的取值范围是.故选:D7. 已知为等比数列,则“”是“,是任意正整数”的( )A. 充分条件但不是必要条件B. 必要条件但不是充分条件C. 充要条件D. 既不是充分条件也不是必要条件【答案】C【解析】【分析】根据等比数列性质,由递推公式可得出结论.【详解】因为为等比数列,则若,则,则所以,是的充分条件;又根据已知可知,
9、约去可得因为为等比数列,所以,所以,所以当为等比数列时,是的充分条件;故选:C8. 如图,所有棱长都为1的正三棱柱,点是侧棱上的动点,且,为线段上的动点,直线平面,则点的轨迹为( )A. 三角形(含内部)B. 矩形(含内部)C. 圆柱面的一部分D. 球面的一部分【答案】A【解析】【分析】根据题意首先保持在线段上不动(与重合),研究当点运动时的轨迹为线段,再根据点在线段上运动的轨迹即可得出点的轨迹为及其内部的所有点的集合.【详解】如下图所示:首先保持在线段上不动,假设与重合根据题意可知当点在侧棱上运动时,若点在点处时,为的中点,此时由可得满足,当点运动到图中位置时,易知,取,可得,取棱上的点,满
10、足,根据三角形相似可得三点共线,当点在侧棱上从点运动到点时,点轨迹即为线段;再研究当点在线段上运动,当点在线段上从点运动到点时,点的轨迹是线段,当点在线段上从点运动到点时,点的轨迹是线段,因此可得,当点是侧棱上运动时,在线段上运动时,点的轨迹为及其内部的所有点的集合;即可得的轨迹为三角形(含内部).故选:A二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9. 在一次数学考试中,某班成绩的频率分布直方图如图所示,则下列说法正确的是( ) A. 图中所有小长方形的面积之和等于1B. 中位数的估计值介于10
11、0和105之间C. 该班成绩众数的估计值为97.5D. 该班成绩的极差一定等于40【答案】ABC【解析】【分析】由频率分布直方图的性质可知A正确;由中位数定义以及图中频率计算可知B正确;由众数定义可得图中最高的区间即代表众数即可估计为97.5,即C正确;由于成绩高分和最低分不一定分别为,因此极差不一定为40,即D错误.【详解】对于A,由频率分布直方图的性质可知,图中所有小长方形的面积之和等于1,即A正确;对于B,易知组距为,前两组成绩所占的频率为,前三组成绩所占的频率为,由中位数定义可得其估计值介于100和105之间,即B正确;对于C,由图可知频率最高的成绩区间,取中间值为代表可知班成绩众数的
12、估计值为97.5,即C正确;对于D,由图可知成绩最高区间为,最低区间为,但最高分和最低分不一定分别为,所以其成绩极差不一定为40,即D错误;故选:ABC10. 已知平面平面,则下列结论一定正确的是( )A. 存在直线平面,使得直线平面B. 存在直线平面,使得直线平面C. 存在直线平面,直线平面,使得直线直线D. 存在直线平面,直线平面,使得直线直线【答案】BCD【解析】【分析】A.由面面垂直的判定定理判断;B.由时,利用线面平行的判定定理判断;C.由判断;D. 由判断.【详解】A. 若存在直线平面,使得直线平面,则,故错误;B.当时,又 ,所以 ,故正确;C.当时,故正确;D. 当时,故正确;
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