2.2基本不等式 课件1
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1、人教人教A版版 必修必修 第一册第一册 2.2 基本不等式(第1课时) 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标 情境导学 思考思考1 1:这图案中含有怎样的几何图形:这图案中含有怎样的几何图形? 思考思考2 2:你能发现图案中的相等关系或不等关系吗:你能发现图案中的相等关系或不等关系吗? 三国时期吴国的数学家赵爽,用来证明勾股定理。三国时期吴国的数学家赵爽,用来证明勾股定理。 22222222)2(2)()214cbacaabbabcabab(证明: 情境导学 ab(1)大正方形边长为_, 面积S为_ (2)四个直角三角形_, 面积和S为_ (3)
2、S与S的大小关系是_,故有_ (4)S与S可能相等吗?满足什么条件时相等? 22ba 22ba 全等ab2SS abba222探究新知 ab上述结论可描述为: abbaba20, 022时,当成立吗?如何证明?为任意实数时,上式还、)当(ba5时取等)。当且仅当证明:baabbabababa(2020)(22222此不等式称为此不等式称为重要不等式重要不等式 探究新知 1 1、基本不等式、基本不等式 0,0, ,ababa b如果我们用分别代替可得到什么结论?22()()2abab2abab替换后得到:替换后得到: 即:即: ), 0, 0(时取等当且仅当baba2abab 即:即: 基本不等
3、式基本不等式 基本不等式 abba2注意:注意: 0, 01ba、时取等、取等条件:当且仅当ba 2叫几何平均数叫算术平均数,、abba23基本不等式 基本不等式的几何解释基本不等式的几何解释 A B C D E a b O 如图如图, AB是圆的直径是圆的直径, O为圆心,点为圆心,点C是是AB上一点上一点, AC=a, BC=b. 过点过点C作垂直于作垂直于AB的的弦弦DE,连接连接AD、BD、OD. 如何用如何用a, b表示表示CD? CD=_ 如何用如何用a, b表示表示OD? OD=_ 2ababOD与与CD的大小关系怎样的大小关系怎样? OD_CD 几何意义:半径不小于半弦长几何意
4、义:半径不小于半弦长 定理定理当点当点C C在什么位置在什么位置时时OD=CDOD=CD? 此时此时a a与与b b的关系是?的关系是? 基本不等式的证明基本不等式的证明 2abab证明:要证证明:要证 只要证只要证 _ab 只要证只要证 _0ab 只要证只要证 2(_ _)0显然显然, 上式是成立的上式是成立的.当且仅当当且仅当a=b时取等。时取等。 2abab)0, 0(ba证明不等式:证明不等式: 2 ab2 abba适用范围适用范围 文字叙述文字叙述 “=”成立条件成立条件 222abab2ababa=b a=b 两个正数的算术平均数不两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数小于它们
5、的几何平均数 两数的平方和不两数的平方和不小于它们积的小于它们积的2 2倍倍 a,bR a0,b0 的最小值。求)已知、(例baabba,36, 0, 011解:解: 222 3612(612abababababab+ ?=+Q当且仅当时取等)故的最小值为的最小值为定值时,求和当积常用变形:baababba2典例解析典例解析 的最大值。求)已知(abbaba,18, 0, 02解解: 819(81)218()2(222的最大值为故时取等)当且仅当abbabaabbaab的最大值为定值时,可以求积当和常用变形:abbabaab2)2(典例解析典例解析 1210,( )xf xxx=+例 、()已
6、知求函数的最小值. 22)1()(2)()(1)(:时有最小值即当且仅当解1xx1xx1xxxxxxf一正一正 典例解析典例解析 有最值,并求其最值。为何值时,函数当函数)已知、(例xxxyx,31, 3225331)3(233-x1)3-x(31y3xxxxx。最小值为时,函数有最小值,即当且仅当54,313xxx二定二定 解:解: 的最大值。求函数)若、(例)21 (,21032xxyx解解: 0 x0. 1 2 y=x(1- -2x)= 2x(1- -2x) 1 2 2 2x+(1- -2x) 2 1 2 1 8 = . 当且仅当当且仅当 时时, 取“取“=”号号. 2x=(1- -2x
7、), 即即 x= 1 4 当当 x = 时时, 函数函数 y=x(1- -2x) 的最大值是的最大值是 . 1 4 1 8 三等三等 30,4 (32 )2xyxx0, y0, 且且1x9y1, 则则 xy 的最小值为的最小值为_ 解析:解析:xy(xy) 1x9y 10yx9xy102yx9xy10616. 即即 x4,y12 时等号成立时等号成立,所以所以 xy 的最小值为的最小值为 16. 答案:答案:16 1 1、重要不等式与基本不等式的内容:、重要不等式与基本不等式的内容: 时取等),当且仅当、baRbaabba(222时取等)当且仅当babaabba, 0, 0(22 2、基本不等
8、式的应用条件:、基本不等式的应用条件: 一正、二定、三相等一正、二定、三相等 3 3、基本不等式的应用:、基本不等式的应用: 求最值求最值 课堂小结课堂小结 2.2 基本不等式(第2课时) 1判断正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)对任意的a, bR, 若a与b的和为定值, 则ab有最大值 ( ) (2)若 xy4,则 xy 的最小值为 4.( ) (3)函数 f(x)x22x21的最小值为 2 21.( ) 小试牛刀小试牛刀 2已知 xy1 且 x0,y0,则1x1y的最小值是( ) A2 B3 C4 D6 解析:法一:1x1yxyxy1xy1xy224, 当且仅当 xy12时取等号,
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