专题13 抛物线与压轴题(3)备战2020年中考数学典例精做题集(教师版)
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1、 1 五、抛物线与平行四边形五、抛物线与平行四边形 15如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y=x2+bx+c 与 轴相交于 A、B 两点,与 轴相交于点 C, OA=1,OC=3,连接 BC (1)求 b 的值; (2)点 D 是直线 BC 上方抛物线一动点(点 B、C 除外) ,当BCD 的面积取得最大值时,在 轴上是 否存在一点 P,使得|PBPD|最大,若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 (3)在(2)的条件下,若在平面上存在点 Q,使得以点 B、C、D、Q 为顶点的四边形为平行四边形, 请直接写出点 Q 坐标 【答案】 (1)b=2,c=3; (2)P(0,) ; (3
2、) (- ,) , ( ,- ) , ( , ) , 2 直线 BC 的解析式为:y=-x+3, 如图 1,作直线 lBC, 设直线 l 的解析式为:y=-x+b, 由题意可知:BCD 中边 BC 长一定,当BCD 的面积取得最大值时,即以 BC 为底边,其高最大, 也就是直线 l 与抛物线有一个交点时,三角形高最大,BCD 的面积最大, 则, 3 (3)如图 4,分三种情况: 4 当 CD 为平行四边形的对角线时, 【点睛】 本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质,待定系数法确定抛物线解析式、一次函数解析式, 平行四边形的判定,以及坐标与图形性质,确定点 D、P、B 共线是解决第(2)
3、小题的关键,画出以点 B、 C、D、Q 为顶点的四边形为平行四边形是解决第(3)小题的关键 16如图,抛物线经过两点,与 x 轴交于另一点 B点 P 是抛物线上的 动点。 (1)求抛物线的解析式; (2)是否存在点 P,使得BCP 是以 BC 为直角边的直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点 P 5 的坐标;若不存在,说明理由; (3)当 P 运动到第一象限时,过 P 作直线 PM 平行 y 轴,交直线 BC 于点 M。 求线段 PM 长度的最大值 D 为平面内任意一点,当线段 PM 最大时,是否存在以 C、P、M、D 为顶点的平行四边形。若存在, 直接写出所有符合条件的点 D 坐标. 【答
4、案】(1) ;(2)见解析;(3) 4; D1,D2 ,D3. (3)求出直线 BC 解析式, 根据PM 平行 y 轴用二次函数表示 P M 的长度从而表示出 PM 的最大值; 分 3 种情况:CM 为对角线;MP 为对角线;CP 为对角线. 解: (1)将两点代入到中得, 抛物线的解析式为. (2) 存在 6 第二种情况,当以 B 为直角顶点时, 过点 P 作 PHx 轴,垂足为 H.CBA=45 ,CBP=90 , OBP =45 HPB=45 , PH=HB 即:, 解得:(舍去) , 则 P2的坐标是 综上所述,P 的坐标是或 7 17已知,如图,抛物线 y=ax2+3ax+c(a0)
5、与 y 轴交于点 C,与 x 轴交于 A、B 两点,点 A 在点 B 左侧,点 B 的坐标为(1,0) 、C(0,3) 8 (1)求抛物线的解析式 (2)若点 D 是线段 AC 下方抛物线上的动点,求四边形 ABCD 面积的最大值 (3)若点 E 在 x 轴上,点 P 在抛物线上,是否存在以 A、C、E、P 为顶点且以 AC 为一边的平行四边 形?如存在,求点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 【答案】 (1)y= x2+ x3(2)(3)P1(3,3)或 P2(,3)或 P3(,3) 解: (1)解:将点 B、C 的坐标代入抛物线的解析式得: , 解得:a= ,c=3 抛物线的解析式为 y=
6、 x2+ x3. (2)解:令 y=0,则 x2+ x3=0,解得 x1=1,x2=4, A(4,0) 、B(1,0). 令 x=0,则 y=3, C(0,3) , SABC= 5 3= . 9 设 D(m, m 2+ m3) , 过点 D 作 DEy 轴交 AC 于 E直线 AC 的解析式为 y= x3,则 E(m, m3) , DE= m3( m2+ m3)= (m+2)2+3, 当 m=2 时,DE 有最大值为 3, 此时,SACD有最大值为 DE 4=2DE=6. 四边形 ABCD 的面积的最大值为 6+ = , 10 18在平面直角坐标系中,已知抛物线经过 A(4,0) ,B(0,4
7、) ,C(2,0)三点 (1)求抛物线的解析式; (2)若点 M 为第三象限内抛物线上一动点,点 M 的横坐标为 m,AMB 的面积为 S 求 S 关于 m 的函数关系式,并求出 S 的最大值 (3)若点 P 是抛物线上的动点,点 Q 是直线 y=x 上的动点,是否存在以点 P、Q、B、O 为顶点的 四边形为平行四边形?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由 【答案】 (1)y= x2+x4; (2)m=2 时,S 有最大值,S=4; (3)Q(4,4)或(2+2,22) 或(22,2+2)或(4,4) 【解析】 (1)先假设出函数解析式,利用三点法求解函数解析式 11 (2)M 点
8、的横坐标为 m,且点 M 在这条抛物线上, M 点的坐标为: (m, m2+m4) , S=SAOM+SOBMSAOB = 4 ( m2m+4)+ 4 (m) 4 4 =m22m+82m8 =m24m, =(m+2)2+4, 4m0, 当 m=2 时,S 有最大值为:S=4+8=4 答:m=2 时,S 有最大值,S=4 (3)设 P(x, x2+x4) 当 OB 为边时,根据平行四边形的性质知 PQOB,且 PQ=OB, Q 的横坐标等于 P 的横坐标, 又直线的解析式为 y=x, 则 Q(x,x) 由 PQ=OB,得|x( x2+x4)|=4, 解得 x=0,4,2 2 x=0 不合题意,舍
9、去 12 如图,当 BO 为对角线时,知 A 与 P 应该重合,OP=4四边形 PBQO 为平行四边形则 BQ=OP=4,Q 横坐标为 4,代入 y=x 得出 Q 为(4,4) 由此可得 Q(4,4)或(2+2,22)或(22,2+2)或(4,4) 点睛:考查了三点式求抛物线的方法,以及抛物线的性质和最值的求解方法 19如图,抛物线 y=ax2+bx 经过 A(1,0) ,B(5,0)两点 (1)求此抛物线的解析式; (2)在抛物线的对称轴上有一点 P,使得 PA+PC 的值最小时,求ABP 的面积; (3)点 M 为 x 轴上一动点,在抛物线上是否存在一点 N,使以 A,C,M,N 四点构成
10、的四边形为平 行四边形?若存在,直接写出点 N 的坐标;若不存在,请说明理由 【答案】 (1)y= x22x ; (2) ; (3)符合条件的点 N 的坐标为(4, ) 、 (2+, )或(2 , ) 13 种情况分别画出图形,从而得出答案 详解: (1)把 A(1,0) ,B(5,0)代入 y=ax2+bx , 得到,解得:, 即抛物线的解析式为 y= x22x ; 六、抛物线与动点问题六、抛物线与动点问题 20如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y =ax2+bx3(a0)与 x 轴交于点 A(2,0) 、B(4,0) 两点,与 y 轴交于点 C点 P、Q 分别是 AB、BC 上的动点,当点
11、 P 从 A 点出发,在线段 AB 上以每秒 3 个 14 单位长度的速度向 B 点运动, 同时点 Q 从 B 点出发, 在线段 BC 上以每秒 1 个单位长度的速度向 C 点运动, 其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动.设 P、Q 同时运动的时间为 t 秒(0t2). (1)求抛物线的表达式; (2)设PBQ 的面积为 S ,当 t 为何值时,PBQ 的面积最大,最大面积是多少? (3)当 t 为何值时,PBQ 是等腰三角形? 【答案】(1) y= 3 8 x2 3 4 x3;(2) 当 t=1 时, S PBQ 最大= 9 10 .;(3) 当 t 的值是 3 2 秒或 30 23 秒
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