2020年广东省深圳市宝安区高考数学模拟试卷(理科)(4月份)含详细解答
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1、已知集合 Ax|x22x30,Bx|log2x2,则集合 AB( ) Ax|1x4 Bx|0x3 Cx|0x2 Dx|0x1 2 (5 分)设复数 z 满足|z+i|1,z 在复平面内对应的点为(x,y) ,则( ) A (x+1)2+y21 B (x1)2+y21 Cx2+(y+1)21 Dx2+(y1)21 3 (5 分)已知 a,blo,clog2,则( ) Aabc Bbca Ccba Dbac 4 (5 分)已知某样本的容量为 50,平均数为 70,方差为 75现发现在收集这些数据时, 其中的两个数据记录有误,一个错将 80 记录为 60,另一个错将 70 记录为 90在对错误 的数
2、据进行更正后,重新求得样本的平均数为 ,方差为 s2,则( ) A 70,s275 B 70,s2 75 C 70,s275 D 70,s2 75 5 (5 分)函数 f(x)Asin(x+) (A0,0)的最小正周期为 ,其图象关于直线 x对称,则|的最小值为( ) A B C D 6 (5 分)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时,发现有这样的一列数:1, 1,2,3,5,8,该数列的特点是:前两个数均为 1,从第三数起,每一个数都等 于它前面两个数的和,人们把这样的一列数所组成的数列an称为“斐波那契数列” ,则 (a1a3a22)+(a2a4a32)+(a3a5a42)+(a
3、2013a2015a20142)( ) A1 B0 C1007 D1006 7 (5 分)已知变量 x,y 满足,则 z2x+y 的取值范围为( ) A2,2 B (,2) C (,2 D2,+) 第 2 页(共 23 页) 8 (5 分)已知三个向量 , , 共面,且均为单位向量, 0,则| + |的取值范 围是( ) A1,+1 B1, C, D1,1 9 (5 分)已知双曲线 C:1(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,O 为 坐标原点,P 是双曲线在第一象限上的点,直线 PO,PF2分别交双曲线 C 左、右支于另 一点 M,N,|PF1|2|PF2|,且MF2N60,则双曲线
4、C 的离心率为( ) A B C D 10 (5 分)设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x0 时,f(x)ex若对任意的 xa, a+1,不等式 f(x+a)f2(x)恒成立,则实数 a 的最大值是( ) A B C D2 11 (5 分)已知 P,A,B,C 是半径为 2 的球面上的点,O 为球心,PAPBPC2, ABC90,则三棱锥 OABC 体积的最大值是( ) A B1 C D 12 (5 分)已知函数,对于函数 f(x)有下述四个结论: (1)函数 f(x)在其定义域上为增函数; (2)对于任意的 a0,a1,都有成立; (3)f(x)有且仅有两个零点; (4)若 f(x
5、0)0,则 ylnx 在点(x0,lnx0)处的切线与 yex在点处 的切线为同一直线 其中所有正确的结论有( ) A (1) (2) (3) B (1) (3) C (2) (3) (4) D (3) (4) 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13 (5 分)在(x1) (x+1)8的展开式中,x5的系数是 14 (5 分)记 Sn为等差数列an的前 n 项和若 a10,a23a1,则 15 (5 分)已知点 A(0,1) ,B(1,0) ,C(t,0) ,点 D 是直线 AC 上的动点,若| 第 3 页(共 23 页) 2|
6、恒成立,则最小正整数 t 16 (5 分)已知点 F 是抛物线 C:y22px(p0)的焦点,过点 F 的直线与抛物线相交于 A,B 两点(点 A 在 x 轴上方) ,与 y 轴的正半轴相交于点 N,点 Q 是抛物线不同于 A,B 的点,若 2+,则|BF|:|BA|:|BN| 三、解答题: 共三、解答题: 共 70 分分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题,题为必考题, 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共(一)必考题:
7、共 60 分分 17在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 (1)求的值; (2)若,b2,求ABC 的面积 S 18 四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 a 的菱形, PA面 ABCD,BAD120, E, F 分别是 CD,PC 的中点 (1)求证:平面 AEF平面 PAB; (2)M 是 PB 上的动点,EM 与平面 PAB 所成的最大角为 45,求二面角 FAED 的 余弦值 19已知椭圆+y21,P 是椭圆的上顶点,过 P 作斜率为 k(k0)的直线 l 交椭圆于另 一点 A,设点 A 关于原点的对称点为 B (1)求PAB 面积的最大值; (2)
8、设线段 PB 的中垂线与 y 轴交于点 N,若点 N 在椭圆内部,求斜率 k 的取值范围 20设函数(xR,实数 a0,+) ,e2.71828是自然对数的底数, ) 第 4 页(共 23 页) ()若 f(x)0 在 xR 上恒成立,求实数 a 的取值范围; ()若 exlnx+m 对任意 x0 恒成立,求证:实数 m 的最大值大于 2.3 21某医院为筛查某种疾病,需要检验血液是否为阳性,现有 n(nN*)份血液样本,有以 下两种检验方式: (1)逐份检验,则需要检验 n 次; (2)混合检验,将其中 k(kN*且 k 2) 份血液样本分别取样混合在一起检验 若检验结果为阴性, 这 k 份
9、的血液全为阴性, 因而这 k 份血液样本只要检验一次就够了,如果检验结果为阳性,为了明确这 k 份血液 究竟哪几份为阳性,就要对这 k 份再逐份检验,此时这 k 份血液的检验次数总共为 k+1 次假设在接受检验的血液样本中,每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的, 且每份样本是阳性结果的概率为 p(0p1) ()假设有 5 份血液样本,其中只有 2 份样本为阳性,若采用逐份检验方式,求恰好 经过 4 次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率 ()现取其中 k(kN*且 k2)份血液样本,记采用逐份检验方式,样本需要检验的 总次数为 1,采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为 2 ()试运用
10、概率统计的知识,若 E1E2,试求 p 关于 k 的函数关系式 pf(k) ; ()若,采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份 检验的总次数期望值更少,求 k 的最大值 参考数据:ln20.6931,ln31.0986,ln41.3863,ln51.6094,ln61.7918 (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分分选考选考 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程( 为参数) ,以 O 为极点,x 轴 的非负半轴为极轴建立极坐标系 (1)求圆 C 的极坐标方程; (2)直线 l 的极坐标方程是 2sin(+)3,射
11、线 OM:与圆 C 的交点为 O、P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长 选考选考 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23已知定义域在 R 上的函数 f(x)|x+1|+|x2|的最小值为 a (1)求 a 的值; (2)若 p,q,r 为正实数,且 p+q+ra,求证:p2+q2+r23 第 5 页(共 23 页) 2020 年广东省深圳市宝安中学高考数学模拟试卷(理科) (年广东省深圳市宝安中学高考数学模拟试卷(理科) (4 月月 份)份) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分在每小题
12、给出的四个选项中,只有一分在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 (5 分)已知集合 Ax|x22x30,Bx|log2x2,则集合 AB( ) Ax|1x4 Bx|0x3 Cx|0x2 Dx|0x1 【分析】解不等式求得集合 A、B,根据交集的定义写出 AB 【解答】解:集合 Ax|x22x30x|1x3, Bx|log2x2x|0x4, 则集合 ABx|0x3 故选:B 【点评】本题考查了交集的定义与运算问题,是基础题 2 (5 分)设复数 z 满足|z+i|1,z 在复平面内对应的点为(x,y) ,则( ) A (x+1)2+y21 B (x1)2+y
13、21 Cx2+(y+1)21 Dx2+(y1)21 【分析】设 zx+yi(x,yR) ,代入|z+i|1,再由复数模的计算公式求解 【解答】解:设 zx+yi(x,yR) , 由|z+i|1,得|x+(y+1)i|1, 即, z 在复平面内对应的点的轨迹为 x2+(y+1)21 故选:C 【点评】本题考查复数模的求法,考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题 3 (5 分)已知 a,blo,clog2,则( ) Aabc Bbca Ccba Dbac 【分析】分别判断 a,b,c 的取值范围即可得到结论 第 6 页(共 23 页) 【解答】解:a1,blo(0,1) ,clog20, ab
14、c 故选:A 【点评】本题主要考查函数值的大小比较,根据指数函数和对数函数的单调性是解决本 题的关键,比较基础 4 (5 分)已知某样本的容量为 50,平均数为 70,方差为 75现发现在收集这些数据时, 其中的两个数据记录有误,一个错将 80 记录为 60,另一个错将 70 记录为 90在对错误 的数据进行更正后,重新求得样本的平均数为 ,方差为 s2,则( ) A 70,s275 B 70,s2 75 C 70,s275 D 70,s2 75 【分析】根据题意,分析可得:数据更正前后,数据的总和不变,其波动变小了,结合 平均数、方差的定义分析可得结论 【解答】解:根据题意,两个数据记录有误
15、,一个错将 80 记录为 60,另一个错将 70 记 录为 90,则这些数据的总和不变, 则在对错误的数据进行更正后,重新求得样本的平均数为 不变,即 70, 但数据的波动变小了,故 s275; 故选:A 【点评】本题考查数列的平均数、方差的计算,注意分析平均数、方差的定义与统计意 义 5 (5 分)函数 f(x)Asin(x+) (A0,0)的最小正周期为 ,其图象关于直线 x对称,则|的最小值为( ) A B C D 【分析】利用正弦函数的周期性求得 的值,再利用它的图象的对称性,求得|的最小 值 【解答】解:函数 f(x)Asin(x+) (A0,0)的最小正周期为, 2 根据其图象关于
16、直线 x对称,可得 2+k+,kZ,即 k, 第 7 页(共 23 页) 则|的最小值为, 故选:B 【点评】本题主要考查正弦函数的周期性以及它的图象的对称性,属于基础题 6 (5 分)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时,发现有这样的一列数:1, 1,2,3,5,8,该数列的特点是:前两个数均为 1,从第三数起,每一个数都等 于它前面两个数的和,人们把这样的一列数所组成的数列an称为“斐波那契数列” ,则 (a1a3a22)+(a2a4a32)+(a3a5a42)+(a2013a2015a20142)( ) A1 B0 C1007 D1006 【分析】直接利用数列的关系式的应用求出
17、关系式所表现的规律,进一步求出结果 【解答】解:由于 a1a3a221211, a2a4a3213221, a3a5a4225321 所以: (a1a3a22)+(a2a4a32)+(a3a5a42)+(a2013a2015a20142)1+(1) +1+(1)+11 故选:A 【点评】本题考查的知识要点:数列的递推关系式的应用,主要考查学生的运算能力和 转换能力及思维能力,属于中档题型 7 (5 分)已知变量 x,y 满足,则 z2x+y 的取值范围为( ) A2,2 B (,2) C (,2 D2,+) 【分析】作出不等式组表示的平面区域;作出目标函数对应的直线;结合图象知当直线 过 A
18、时,最大,从而得出目标函数 z2x+y 的取值范围 【解答】解:画出变量 x,y 满足表示的平面区域: 将目标函数变形为 z2x+y,作出目标函数对应的直线, 直线过 A(0,2)时,直线的纵截距最大,z 最大,最大值为 2; 则目标函数 z2x+y 的取值范围是(,2 故选:C 第 8 页(共 23 页) 【点评】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值 8 (5 分)已知三个向量 , , 共面,且均为单位向量, 0,则| + |的取值范 围是( ) A1,+1 B1, C, D1,1 【分析】根据题意,可设(1,0) ,(0,1) ,(x,y) ,得|+| ,结合图形求出
19、它的最大、最小值 【解答】解:三个向量 , , 共面,且均为单位向量, 0, 可设 (1,0) , (0,1) , (x,y) , 则 + (1x,1y) ,| |1; | + |, 它表示单位圆上的点到定点 P(1,1)的距离, 其最大值是 PNr+|OP|1+,最小值是|OP|r1, | + |的取值范围是1,+1 第 9 页(共 23 页) 故选:A 【点评】本题考查了向量的垂直与数量积的关系、数量积的运算性质、点与圆上的点的 距离大小关系,考查了推理能力和计算能力,是中档题 9 (5 分)已知双曲线 C:1(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,O 为 坐标原点,P 是双曲线在第
20、一象限上的点,直线 PO,PF2分别交双曲线 C 左、右支于另 一点 M,N,|PF1|2|PF2|,且MF2N60,则双曲线 C 的离心率为( ) A B C D 【分析】由题意,|PF1|2|PF2|,|PF1|PF2|2a,可得|PF1|4a,|PF2|2a,由MF2N 60,可得F1PF260,由余弦定理可得 4c216a2+4a224a2acos60,即可 求出双曲线 C 的离心率 【解答】解:由题意,|PF1|2|PF2|,|PF1|PF2|2a, |PF1|4a,|PF2|2a, MF2N60,F1PF260, 由余弦定理可得 4c216a2+4a224a2acos60, ca,
21、 e 故选:B 【点评】本题考查双曲线 C 的离心率,考查余弦定理,考查学生的计算能力,属于中档 题 10 (5 分)设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x0 时,f(x)ex若对任意的 xa, a+1,不等式 f(x+a)f2(x)恒成立,则实数 a 的最大值是( ) 第 10 页(共 23 页) A B C D2 【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式等价转化为 f(|x+a|)f2(|x|)恒成 立,然后利用指数函数的单调性建立条件关系即可得到结论 【解答】解:f(x)是定义在 R 上的偶函数, 不等式 f(x+a)f2(x)恒成立等价为 f(|x+a|)f2(|x|)恒成
22、立, 当 x0 时,f(x)ex 不等式等价为 e|x+a|(e|x|)2e2|x|恒成立, 即|x+a|2|x|在a,a+1上恒成立, 平方得 x2+2ax+a24x2, 即 3x22axa20 在a,a+1上恒成立, 设 g(x)3x22axa2, 则满足, , 即, a, 故实数 a 的最大值是 故选:C 【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用,将不等式转化为函数问题是解决本 题的关键综合性较强,运算量较大,有一定的难度 11 (5 分)已知 P,A,B,C 是半径为 2 的球面上的点,O 为球心,PAPBPC2, ABC90,则三棱锥 OABC 体积的最大值是( ) A B1 C
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