【精品】六年级奥数培优教程讲义第22讲行程问题(教师版)
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1、第第 2222 讲讲 行程问题行程问题 环形路线上的相遇和追及问题; 速度行程问题与比例关系; 钟面上的行程问题。 问题问题回顾回顾 例例 1 1、一条船顺水航行 48 千米,再逆水航行 16 千米,共用了 5 小时;这知船顺水航行 32 千米,再逆水航 行 24 千米,也用 5 小时。求这条船在静水中的速度。 【解析】这道题的数量关系比较隐蔽,我们条件摘录整理如下: 顺水 逆水 时间 48 千米 16 千米 5 小时 32 千米 24 千米 5 小时 比较条件可知,船顺水航行 48 千米,改为 32 千米,即少行了 48-32=16(千米),那么逆水行程就由 16 千 米增加到 24 千米,
2、这就是在相同的时间里,船顺水行程是逆水行程的 168=2 倍。所以“逆水航行 16 千 米”,可转换为“顺水航行 162=32(千米),这样船 5 小时一共顺水航行 48+32=80(千米),船顺水速 为 805=16 千米,船逆水速为 162=8(千米)。船静水速为(16+8)2=12(千米)。 例例 2 2、甲、乙二人分别从A、B两地同时出发,往返跑步。甲每秒跑 3 米,乙每秒跑 7 米。如果他们的第四 次相遇点与第五次相遇点的距离是 150 米,求A、B两点间的距离为多少米? BDECA 教学目标 知识梳理 【解析】(法一)画图分析知甲、乙速度比为::3:7SSVV 乙乙甲甲 ,第四次相
3、遇甲乙共走:4217 (个全程),甲走了:3721(份)在C点,第五次相遇甲乙共走:5219(个全程),甲走了:39 27(份)在D点,已知CD是 150 米,所以AB的长度是 1506(3+7)250(米)。 (法二)也有不画图又比较快的方法:第四次相遇:(241)320 余数为 1 则在x的位置,第五次 相遇:(251)320 余数为 7 则在7x的位置,x表示速度基数716xxx, 6150x , 1010 1506250x (米),即全程AB为 250 米。 考点一:环型跑道考点一:环型跑道行程问题行程问题 例例 1、如下图所示,某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长 300 米的正方形
4、。甲、乙两人分别从两个对角 处沿逆时针方向同时出发。如果甲每分走 90 米,乙每分走 70 米,那么经过多少时间甲才能看到乙? 乙乙 甲甲 【解析】当甲看到乙的时候,甲和乙在同一条边上,甲乙两人之间的距离最多有300米长。 当甲、乙之间的距离等于 300 米时,即甲追上乙一条边(300米)需300907015(分), 此时甲走了90 153004.5(条)边, 所以甲、乙不在同一条边上,甲看不到乙。但是甲只要再走0.5条边就可以看到乙了,即甲从出发走5条边 后可看到乙,共需 2 30059016 3 (分),即16分40秒。 例例 2 2、甲乙两名选手在一条河中进行划船比赛,赛道是河中央的长方
5、形ABCD,其中100AD 米,80AB 米,已知水流从左到右,速度为每秒 1 米,甲乙两名选手从A处同时出发,甲沿顺时针方向划行,乙沿逆 典例分析 时针方向划行,已知甲比乙的静水速度每秒快 1 米, (AB、CD边上视为静水),两人第一次相遇在CD边 上的P点,4CPCD,那么在比赛开始的 5 分钟内,两人一共相遇几次?(5 次) P C DA B 【解析】设乙的速度为x米/秒,则可列得方程: 8080410010080-804 +1+1+1+1xxxx 解得:3x 。所以甲的速度为4米/秒。 甲游一圈需要 1 93 3 秒,乙游一圈需要 1 128 3 秒。5 分钟内,甲游了 3 圈还多
6、20 秒,乙游了 2 圈还多 1 43 3 秒。 多余的时间不够合游一圈,所以两人合游了 5 圈。所以两人共相遇了 5 次。 例例 3 3、如图,在长为 490 米的环形跑道上,A、B两点之间的跑道长 50 米,甲、乙两人同时从A、B两点 出发反向奔跑 两人相遇后, 乙立刻转身与甲同向奔跑, 同时甲把速度提高了 25, 乙把速度提高了 20 结 果当甲跑到点A时,乙恰好跑到了点B如果以后甲、乙的速度和方向都不变,那么当甲追上乙时,从一 开始算起,甲一共跑了多少米。 【解析】相遇后乙的速度提高 20,跑回B点,即来回路程相同,乙速度变化前后的比为5:6,所以所花 时间的比为6:5。 设甲在相遇时
7、跑了 6 单位时间,则相遇后到跑回A点用了 5 单位时间。设甲原来每单位时间的速度V甲,由 题意得:651 25%490VV 甲甲 解得:40V 甲 。 从A点到相遇点路程为406240,所以 100 490502406 3 V 乙 。 B A 两人速度变化后,甲的速度为40125%50,乙的速度为 100 120%40 3 ,从相遇点开始,甲追上 乙时,甲比乙多行一圈, 甲一共跑了 490(5040)502402690(米)。 注:对于环形跑道问题,抓住相遇(或追及的)的路程和(或路程差)恰好都是一圈。(这是指同地出发 的情况,不同地,则注意两地距离在其中的影响)。 另外,本题涉及量化思想,
8、即将比中的每一份看作一个单位,进一步来说,一个时间单位乘以一个速度单 位,得到一个路程单位。 考点二:钟面行程问题考点二:钟面行程问题 例例 1 1、某小组在下午 6 点多开了一个会,刚开会时小张看了一下手表,发现那时手表的分针和时针垂直。下 午 7 点之前会就结束了,散会时小张又看了一下手表,发现分针与时针仍然垂直,那么这个小组会共开了 分钟。 【解析】 分针每分钟转 1 60 圈, 时针每分钟转 1 720 圈。 分针要比时针多转 1 2 圈, 需要 111360 26072011 (分) 。 例例 2 2、某工厂的一只走时不够准确的计时钟需要 69 分钟(标准时间)时针与分针才能重合一次
9、。工人每天 的正常工作时间是 8 小时,在此期间内,每工作一小时付给工资 4 元,而若超出规定时间加班,则每小时 付给工资 6 元。如果一个工人照此钟工作小时,那么他实际上应得工资多少元? 【解析】时钟的一圈有 60 小格,分针每分钟走 1 格,时针每分钟走 5 60 1 12 格。 时针和分针从一次重合到下一次重合,分针应比时针多走一圈,因此需要时间 1720 601 1211 (分钟)。 于是依题设可知,计时钟的 720 11 分钟相当于标准时间的 69 分钟。 从而用此钟计时的 8 小时,实际上应该是 72013 8698 1130 (小时), 那么工人实际上应得的工资为 13 8463
10、4.6 30 元。 例例 3 3、一个挂钟每天慢 30 秒。一个人在 3 月 23 日 12 时校正了挂钟,到 4 月 2 日 14 时至 15 时之间,挂钟 的时针与分针重合在一起时,标准时间应该是 4 月 2 日_时_分_秒(精确到秒)。 【解析】从 3 月 23 日 12 时到 4 月 2 日 12 时共 10 天,挂钟慢了 301060=5(分)此时挂钟显示 11 时 55 分。 因为时针与分针两次重合时间为 1720 601 1211 (分); 所以从标准时间 4 月 2 日 12 时到所求时刻,挂钟走的时间为 510 5652135 1111 (分); 相当于标准时间 106060
11、24 135135.956 1160602430 (分)2 时 15 分 57 秒 所求时刻为 14 时 15 分 57 秒。 课堂狙击课堂狙击 1、王新从教室去图书馆还书,如果每分钟走 70 米,能在图书馆闭馆前 2 分钟到达,如果每分钟走 50 米, 就要超过闭馆时间 2 分钟,求教室到图书馆的路程有多远? 【解析】设从教室去图书馆闭馆时所用时间是 x 分钟 702502 7014050100 7050100140 12 xx xx xx x ()() 70122700() (米)。 2、甲、乙二人分别从山顶和山脚同时出发,沿同一山道行进。两人的上山速度都是20米/分,下山的速度 都是30
12、米/分。甲到达山脚立即返回,乙到达山顶休息30分钟后返回,两人在距山顶480米处再次相遇。 山道长 米。 【解析】甲、乙两人相遇后如果甲继续行走4802024(分钟)后可以返回山顶,如果乙不休息,那么这 个时候乙应该到达山脚, 所以这个时候乙还需要30分钟到达山脚, 也就是距离山脚还有30 30900(米) , 所以山顶到山脚的距离为90024203090012002100()(米)。 3、小明在 1 点多钟时开始做奥数题,当他做完题时,发现还没到 2:30,但此时的时针和分针与开始做题 时正好交换了位置,你知道小明做题用了多长时间,做完题时是几点吗? 【解析】在不到 1.5 小时的时间内,时
13、针与分针正好交换了一下位置,说明两针在此时间内共转了一圈, 则经 15 60155 1213 分钟。 两针在此时间内共转了一圈,所以时针实际转了 11 1 1213 圈,所以开始做作业时分针在时针前 1 13 圈,做 实战演练 完作业时时针在分针前 1 13 圈, 2 点的时候, 时针在分针前 1 6 圈, 所以还要经过 11114 1 61312143 小时, 即 125 5143分,小明所以做完作业时是 2 点 125 5143分。 4、有一种机器人玩具装置,配备长、短不同的两条跑道,其中长跑道长400厘米,短跑道长300厘米,且有 200厘米的公用跑道(如下图)。机器人甲按逆时针方向以每
14、秒6厘米的速度在长跑道上跑动,机器人乙按顺 时针方向以每秒4厘米的速度在短跑道上跑动。如果甲、乙两个机器人同时从点A出发,那么当两个机器人 在跑道上第3迎面相遇时,机器人甲距离出发点A点多少厘米? 200100200 A 【解析】第一次在 1 B点相遇,甲、乙共跑了 400 厘米(见左下图)。 B1 A B2B1 A 第二次在 2 B点相遇(要排除甲还没有第二次上长跑道时可能发生的相遇事件),甲、乙共跑了 700 厘米(见 右上图)。同理,第三次相遇,甲、乙又共跑了 700 厘米。共用时间(400+700+700)(6+4)=180(秒), 甲跑了 6180=1080(厘米),距A点 4003
15、1080=120(厘米)。 5、一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站,每隔 5 分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站,全程 要走 15 分钟 有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站 他出发的时候, 恰好有一辆电车到达乙站 在 路上他又遇到了 10 辆迎面开来的电车到达甲站时,恰好又有一辆电车从甲站开出问他从乙站到甲站用 了多少分钟? 【解析】先让学生用分析间隔的方式来解答: 骑车人一共看到 12 辆车,他出发时看到的是 15 分钟前发的车,此时第 4 辆车正从甲发出骑车中,甲站 发出第 4 到第 12 辆车,共 9 辆,有 8 个 5 分钟的间隔,时间是5 840 (分钟) 再引导学生用
16、柳卡的运行图的方式来分析: 第一步:在平面上画两条平行线分别表示甲站与乙站由于每隔 5 分钟有一辆电车从甲站出发,所以把表 示甲站与乙站的直线等距离划分,每一小段表示 5 分钟 第二步:因为电车走完全程要 15 分钟,所以连接图中的 1 号点与P点(注意:这两点在水平方向上正好有 3 个间隔,这表示从甲站到乙站的电车走完全程要 15 分钟),然后再分别过等分点作一簇与它平行的平行 线表示从甲站开往乙站的电车 第三步:从图中可以看出,要想使乙站出发的骑车人在途中遇到十辆迎面开来的电车,那么从P点引出的 粗线必须和 10 条平行线相交,这正好是图中从 2 号点至 12 号点引出的平行线 从图中可以
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