2020年5月山西晋中市高考(文科)数学模拟试卷(A卷)含答案解析
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1、2020 年年 5 月高考(文科)数学模拟试卷(月高考(文科)数学模拟试卷(A 卷)卷) 一、选择题(共 12 小题) 1集合 Ax|x2+x20,则 AB( ) A0,2) B(1,+) C0,1) D(2,1) 2若复数 z(2i)i(i 为虚数单位),则 的值为( ) A2+i B1+2i C1+2i D12i 3若| |2,| |1,且 ( 4 ),则向量 , 的夹角为( ) A30 B60 C120 D150 4若 xy,则下列不等式恒成立的是( ) A Btanxtany Cln(xy)0 D 5给定下列四个命题,其中真命题是( ) A垂直于同一直线的两条直线相互平行 B若一个平面
2、内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行 C垂直于同一平面的两个平面相互平行 D 若两个平面垂直, 那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 6已知抛物线的焦点在 y 轴上,顶点在坐标原点 O,且经过点 P(x0,2),若点 P 到该抛 物线焦点的距离为 3,则|OP|等于( ) A2 B2 C4 D2 7某同学 10 次测评成绩的数据如茎叶图所示,总体的中位数为 12,则该同学 10 次测评的 平均成绩为( ) A12 B11.4 C11.3 D11 8 已知函数的最小正周期为 , 若将其图象沿 x 轴向右平移 a (a0)个单位,所得图象关于对称,则实数 a
3、 的最小值为( ) A B C D 9酒驾是严重危害交通安全的违法行为根据规定:100mL 血液中酒精含量达到20,80) mg 的驾驶员即为酒后驾车,80mg 及以上为醉酒驾车某驾驶员喝了一定量的酒后,其 血液中的酒精含量上升到了 1.6mg/mL,若在停止喝酒后,他血液中酒精含量会以每小时 30%的速度减少,要想安全驾驶,那么他至少经过( ) A2 小时 B4 小时 C6 小时 D8 小时 10 已 知 a 为 正 整 数 , tan 1+1ga , tan 1ga , 且 +, 则 当 函 数 (0,)取得最大值时,( ) A B C D 11已知双曲线,点 F 是双曲线 C 的左焦点,
4、过原点的直 线交双曲线 C 于 A,B 两点,且|AF|3|BF|,ABBF,如图所示,则双曲线 C 的离心率 为( ) A B C2 D 12函数,若存在正实数 x1 ,x2,xn,其中 nN*且 n2,使得 h(xn) h(x1)+h(x2)+h(xn1),则 n 的最大值为( ) A6 B7 C8 D9 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13某小区计划在一正六边形花园内均匀地栽种 900 株花卉,如图所示,则阴影部分能栽种 的株数为 14已知函数 f(x)是奇函数,当 x0 时,f(x)1oga(x1)(a0 且 a1),且 f(1og0.516)2,则 a 1
5、5在ABC 中,内角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,且 asin2B+bsinA0,若ABC 的面积 Sb,则ABC 面积的最小值为 16现有一副斜边长为 10 的直角三角板,将它们斜边 AB 重合,若将其中一个三角板沿斜 边折起形成三棱锥 ABCD,如图所示,已知DAB,BAC,则三棱锥 A BCD 的外接球的表面积为 ;该三棱锥体积的最大值为 三、 解答题: 共 70 分 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 第 1721 题为必考题, 每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答 17已知三棱锥 PABC 中,ABC 为等腰直角三角形,BAC90,P
6、B平面 ABC, 且 PBAB4,ECPB 且,D 为 PA 的中点 (1)求证:直线 DE平面 ABC; (2)求多面体 ABCEP 的体积 182020 年新年伊始,新型冠状病毒来势汹汹,疫情使得各地学生在寒假结束之后无法返 校,教育部就此提出了线上教学和远程教学,停课不停学的要求也得到了家长们的赞 同各地学校开展各式各样的线上教学,某地学校为了加强学生爱国教育,拟开设国学 课,为了了解学生喜欢国学是否与性别有关,该学校对 100 名学生进行了问卷调查,得 到如下列联表: 喜欢国学 不喜欢国学 合计 男生 20 50 女生 10 合计 100 (1)请将上述列联表补充完整,并判断能否在犯错
7、误的概率不超过 0.001 的前提下认为 喜欢国学与性别有关系? (2)针对问卷调查的 100 名学生,学校决定从喜欢国学的人中按分层抽样的方法随机抽 取 6 人成立国学宣传组,并在这 6 人中任选 2 人作为宣传组的组长,求选出的两人均为 女生的概率 参考数据: P(K2 k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ,na+b+c+d 19已知等差数列an前 n 项和为 Sn,a59,S525 (1)求数列an的通项公式及前 n 项和 Sn; (2)设,求bn
8、前 2n 项和 T2n 20设椭圆 E:长轴长为 4,右焦点 F 到左顶点的距离为 3 (1)求椭圆 E 的方程; (2)设过原点 O 的直线交椭圆于 A,B 两点(A,B 不在坐标轴上),连接 AF 并延长交 椭圆于点 C,若+,求四边形 ABCD 面积的最大值 21已知函数 (1)讨论 f(x)的单调性; (2)当 a1 时,证明: (i)xf(x)x1; (ii)证明: 选考题:共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一题计 分选修 4-4:坐标系与参数方程 22在直角坐标系中,曲线 C1的参数方程为,( 为参数)以原点 O 为 极点,x 轴正半轴为极轴
9、建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 (1)求曲线 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程; (2)已知曲线 C3的极坐标方程为 4cos,点 A 是曲线 C2与 C1的交点,点 B 是曲线 C3与 C2的交点,且 A,B 均异于极点 O,求|AB|的值 选修 4-5:不等式选讲 23已知关于 x 的函数 f(x)|x+1|+|xa| (1)若存在 x 使得不等式 f(x)3a1 成立,求实数 a 的取值范围; (2)若 f(x)|x+3|的解集包含,求 a 的取值范围 参考答案 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的
10、1集合 Ax|x2+x20,则 AB( ) A0,2) B(1,+) C0,1) D(2,1) 【分析】求出集合 A,B,由此能求出 AB 解:因为集合 Ax|x2+x20x|2x1, 集合, 所以 AB0,1) 故选:C 2若复数 z(2i)i(i 为虚数单位),则 的值为( ) A2+i B1+2i C1+2i D12i 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,再由共轭复数的概念得答案 解:z(2i)i1+2i, 故选:D 3若| |2,| |1,且 ( 4 ),则向量 , 的夹角为( ) A30 B60 C120 D150 【分析】由题意利用两个向量垂直的性质,两个向量的数量积的定义,求
11、得向量 , 的 夹角 解:若| |2,| |1,且 ( 4 ),设向量 , 的夹角为 ,0,180, 则 ( 4 )444 2 1 cos0, 求得 cos,60, 故选:B 4若 xy,则下列不等式恒成立的是( ) A Btanxtany Cln(xy)0 D 【分析】利用幂函数的性质可知选项 D 正确 解:由幂函数的性质可知,函数在 R 上单调递增, 又 xy, , 故选:D 5给定下列四个命题,其中真命题是( ) A垂直于同一直线的两条直线相互平行 B若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行 C垂直于同一平面的两个平面相互平行 D 若两个平面垂直, 那么一个平面内
12、与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 【分析】画出一个长方体,举例可以排除 ABC,从而得到答案 解:如图所示,在长方体中: CC1B1C1,CC1D1C1,但是 B1C1与 D1C1不平行,所以 A 错; 平面 BC1与平面 DC1相交,但是 BC1内平行于 BB1的直线都平行于 DC1,所以 B 错; 平面 BC1平面 A1C1,平面 DC1平面 A1C1,但是这两个平面不平行,所以 C 错; 故选:D 6已知抛物线的焦点在 y 轴上,顶点在坐标原点 O,且经过点 P(x0,2),若点 P 到该抛 物线焦点的距离为 3,则|OP|等于( ) A2 B2 C4 D2 【分析】先由抛物
13、线的定义建立关于 p 的方程,解之可得 p 的值以及抛物线的方程,再 把点 P 的坐标代入可求得,最后利用两点间距离公式即可得解 解:设抛物线的方程为 x22py(p0), 由抛物线定义知,p2,抛物线方程为 x24y, 点 P(x0,2)在抛物线上, , |OP| 故选:B 7某同学 10 次测评成绩的数据如茎叶图所示,总体的中位数为 12,则该同学 10 次测评的 平均成绩为( ) A12 B11.4 C11.3 D11 【分析】由中位数求出 x+y,整体代换求平均值 解:因为中位数为 12,所以,x+y4 所以该组数据的平均数为:, 故选:B 8 已知函数的最小正周期为 , 若将其图象沿
14、 x 轴向右平移 a (a0)个单位,所得图象关于对称,则实数 a 的最小值为( ) A B C D 【分析】直接利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果 解:函数,整理得 f(x)2x,由于函数的最小 正周期为 , 所以 1, 故 f(x) 将其图象沿 x 轴向右平移 a(a0)个单位,所得 g(x)图象, 由于函数的图象关于对称, 所以,解得 a(kZ), 当 k0 时,a 故选:B 9酒驾是严重危害交通安全的违法行为根据规定:100mL 血液中酒精含量达到20,80) mg 的驾驶员即为酒后驾车,80mg 及以上为醉酒驾车某驾驶员喝了一定量的酒后,其 血液中的酒精含量上升到
15、了 1.6mg/mL,若在停止喝酒后,他血液中酒精含量会以每小时 30%的速度减少,要想安全驾驶,那么他至少经过( ) A2 小时 B4 小时 C6 小时 D8 小时 【分析】先计算出某驾驶员每 100mL 血液中酒精含量,再计算 n 小时后的血液中酒精含 量,然后解不等式求出结果 解:1.6100160mg,则 n 小时后的血液中酒精含量为 160(130%) n1600.7n, 由 1600.7n20,解得 n6, 故选:C 10 已 知 a 为 正 整 数 , tan 1+1ga , tan 1ga , 且 +, 则 当 函 数 (0,)取得最大值时,( ) A B C D 【分析】首先
16、利用差角公式的的应用和对数的运算的应用求出 a 的值,进一步利用三角 函数关系的运算的应用和正弦型函数的性质的应用求出结果 解:已知 +,所以, 所以 tan()11, 解得 a1 或 a(舍去) 则 f(x)sin , 由于 0,所以 则当,即时,函数 f(x)取得最大值 故选:C 11已知双曲线,点 F 是双曲线 C 的左焦点,过原点的直 线交双曲线 C 于 A,B 两点,且|AF|3|BF|,ABBF,如图所示,则双曲线 C 的离心率 为( ) A B C2 D 【分析】 由双曲线的对称性, 连接 A, B 与右焦点 F2的连线, 可得 AFBF2是平行四边形, 对应边平行且相等,|AF
17、|3|BF|,所以|AF|AF2|3|BF|BF|2|BF|2a,即|BF|a, 在直角三角形 OBF 中可得|OB|b,再在三角形 ABF 中可得 a,b 的关系,再由 a,b,c 之间的关系求出离心率 解:设双曲线的右焦点为 F2,根据对称性知 AFBF2是平行四边形,所以有|AF2|BF|, 又点 A 在双曲线上,所以|AF|AF2|2a, 因为|AF|3|BF|,所以|AF|AF2|3|BF|BF|2|BF|2a,即|BF|a, 而在三角形 OFB 中,OBF90,|FB|a,|OF|c,|OB|b, 在三角形 AFB 中,|AF|3a,|BF|a,|AB|2b,ABF90,所以 9a
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