2020年4月广东省东莞市高考数学模拟试卷(理科)含答案解析
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1、2020 年年 4 月广东省东莞市高考数学模拟试卷(理科)月广东省东莞市高考数学模拟试卷(理科) 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑. 1已知集合 Ax|x2+2x30,Bx|2x10,则 AB( ) A(3, 1 2) B (3,1) C(1 2,1) D(1 2,3) 2设复数 z 满足 iz1+i,则复数 z 的共轭复数在复平面内对应的点位于(
2、 ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3玫瑰花窗(如图)是哥特式建筑的特色之一,镶嵌着彩色玻璃的玫瑰花窗给人以瑰丽之 感构成花窗的图案有三叶形、四叶形、五叶形、六叶形和八叶形等右图是四个半圆 构成的四叶形,半圆的连接点构成正方形 ABCD,在整个图形中随机取一点,此点取自 正方形区域的概率为( ) A 2 :2 B 1 :1 C 4 :2 D 2 :1 4 已知定义在 R 上的奇函数 f (x) , 当 x0 时, f (x) log2x, 且 f (m) 2, 则 m ( ) A1 4 B4 C4 或1 4 D4 或 1 4 5已知平面向量 、 的夹角为 135,且 为单位向
3、量, = (1,1),则| + | =( ) 来源:学科网 ZXXK A5 B3 + 2 C1 D3 2 6已知 F1、F2分别为椭圆 C: 2 2 + 2 2 = 1(0)的左、右焦点,过 F1且垂直于 x 轴 的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,若AF2B 是边长为 4 的等边三角形,则椭圆 C 的方程 为( ) A 2 4 + 2 3 = 1 B 2 9 + 2 6 = 1 C 2 16 + 2 4 = 1 D 2 16 + 2 9 = 1 7定义运算 a*b 为执行如图所示的程序框图输出的 S 值,则(cos 12)*(sin 12)( ) A 3 2 B 3 2 C1 D1 8
4、 尘劫记中记载了这样一个问题:第 1 个月,有一对老鼠生了 6 对小老鼠,两代老鼠加 起来共有 7 对; 第 2 个月, 每对老鼠各生了 6 对小老鼠, 三代老鼠共有 49 对 由此类推, 父母、子女、孙子、曾孙辈的大小老鼠们,每个月每对老鼠都会生 6 对第 6 个月,共 有( )对老鼠 A66 B76 C6(6 6;1) 5 D7(7 6;1) 6 9为加强学生音乐素养的培育,东莞市某高中举行“校园十大歌手”比赛,比赛现场有 7 名评委给选手评分,另外,学校也提前发起了网络评分,学生们可以在网络上给选手评 分,场内数百名学生均参与网络评分某选手参加比赛后,现场评委的评分表和该选手 网络得分的
5、条形图如图所示: 评委序号 评分 10 8 9 8 9 10 9 记现场评委评分的平均分为1,网络评分的平均分为2,所有评委与场内学生评分的平 均数为,那么下列选项正确的是( ) A 1+2 2 B = 1+2 2 C 1+2 2 D与1:2 2 关系不确定 10已知函数() = ( + )(0, 2 2)的最小正周期为 ,将 f(x)的图象 向左平移 3个单位后,所得图象关于原点对称,则函数 f(x)的图象( ) A关于直线 = 2对称 B关于直线 = 3对称 C关于点( 2,0)对称 D关于点( 3,0)对称 11已知双曲线 C: 2 2 2 2 = 1(0,0)的一条渐近线被圆(xc)2
6、+y22a2截得的 弦长为 2b(其中 c 为双曲线的半焦距) ,则双曲线 C 的离心率为( ) A 2 2 B2 C3 D2 12 在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中, E、 F 分别为 AB 和 DD1的中点, 经过点 B1, E,F 的平面 交 AD 于 G,则 AG( ) A1 3 B1 4 C3 4 D2 3 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分.请把答案填在答题卡的相应位置上请把答案填在答题卡的相应位置上. 13各项均为正数的等比数列an中,2a2,a4,3a3成等差数列,则2:5 4:7 = 14已知
7、(1+ax) (1+x)4的展开式中 x2的系数为 18,则 a 15已知三棱锥 PABC 中,PA平面 ABC,PABC2,BAC= 3,则三棱锥 PABC 的外接球的表面积为 16已知() = +( 2) 2在 x(0,1)上恰有一个零点,则正实数 a 的取值范围 为 三、解答题:本大题共三、解答题:本大题共 5 小题,共小题,共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 17 至至 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答题为选考题,考生根据要求作答.
8、 (一)必考题:本大题共(一)必考题:本大题共 5 小题,每小题小题,每小题 12 分,共分,共 60 分分. 17ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 = 3 3 (1)求 A; (2)若 b4,c2,AM 为 BC 边上的中线,求 AM 的长 18如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,其中 ABBC,ADBC,AD 4,APABBC2,E 是 AD 的中点,AC 和 BE 交于点 O,且 PO平面 ABCD (1)证明:平面 PAC平面 PCD; (2)求直线 AB 与平面 PCD 所成角的大小 19已知抛物线 E:y24x,过抛物线焦点 F 的直
9、线 1 分别交抛物线 E 和圆 F: (x1)2+y2 1 于点 A、C、D、B(自上而下) (1)求证:|AC|BD|为定值; (2)若|AC|、|CD|、|DB|成等差数列,求直线 l 的方程 20已知函数 f(x)ex+3ax (1)讨论函数 f(x)的单调性: (2)若函数 f(x)在区间1,+)上的最小值为 0,求 a 的值 21在党中央的正确领导下,通过全国人民的齐心协力,特别是全体一线医护人员的奋力救 治,二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制甲、乙两个地区采取防护措施后,统计了从 2 月 7 日到 2 月 13 日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数,绘制成如图折线图: (1)根据图中甲、
10、乙两个地区折线图的信息,写出你认为最重要的两个统计结论; (2)治疗“新冠肺炎”药品的研发成了当务之急,某药企计划对甲地区的 A 项目或乙地 区的 B 项目投入研发资金,经过评估,对于 A 项目,每投资十万元,一年后利润是 l.38 万元、1.18 万元、l.14 万元的概率分别为1 6、 1 2、 1 3;对于 B 项目,利润与产品价格的调整 有关,已知 B项目产品价格在一年内进行 2 次独立的调整,每次价格调整中,产品价 格下调的概率都是 p(0p1) ,记 B 项目一年内产品价格的下调次数为 ,每投资十万 元, 取 0、1、2 时,一年后相应利润是 1.4 万元、1.25 万元、0.6
11、万元记对 A 项目投 资十万元,一年后利润的随机变量为 1,记对 B 项目投资十万元,一年后利润的随机变 量为 2 (i)求 1,2的概率分布列和数学期望 E1,E2; (ii)如果你是投资决策者,将做出怎样的决策?请写出决策理由 (二)选(二)选考题:共考题:共 10 分,请考生在第分,请考生在第 22,23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的题中任选一题作答,如果多做,则按所做的 第一题计分,作答时请写清题号第一题计分,作答时请写清题号.选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 = = 3 + 3 (为参数) ,以坐
12、标原点为 极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 2asin(a0) , 已知直线 l 与曲线 C 有且仅有一个公共点 (l)求 a; (2)A,B 为曲线 C 上的两点,且AOB= 2,求|OA|+|OB|的最大值 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23设函数 f(x)|3x+1|+|3xa|,xR (1)当 a1 时,求不等式 f(x)9 的解集; (2)对任意 xR,恒有 f(x)2a1,求实数 a 的取值范围 一、选择题:本大题共一、选择题:本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只分,在每小题给
13、出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑. 1已知集合 Ax|x2+2x30,Bx|2x10,则 AB( ) A(3, 1 2) B (3,1) C(1 2,1) D(1 2,3) 可以求出集合 A,B,然后进行交集的运算即可 = *| 31+, = *| 1 2+, = (1 2,1) 故选:C 本题考查了一元二次不等式的解法,描述法、区间的定义,交集的运算,考查了计算能 力,属于基础题 2设复数 z 满足 iz1+i,则复数 z 的共轭复数在复平面内对应的点位于( ) A第一象限 B第二象限
14、C第三象限 D第四象限 把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简,求出的坐标得答案 由 iz1+i,得 z= 1+ = (1+)() 2 = 1 , = 1 + , 则复数 z 的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为(1,1) ,位于第一象限 故选:A 本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题 3玫瑰花窗(如图)是哥特式建筑的特色之一,镶嵌着彩色玻璃的玫瑰花窗给人以瑰丽之 感构成花窗的图案有三叶形、四叶形、五叶形、六叶形和八叶形等右图是四个半圆 构成的四叶形,半圆的连接点构成正方形 ABCD,在整个图形中随机取一点,此点取自 正方形区域的概率为( ) A
15、2 :2 B 1 :1 C 4 :2 D 2 :1 首先这是一个几何概型,整个图形内部的每个点对应一个基本事件只需要算出整个图 形面积即两个圆与正方形的面积和用正方形面积除以总面积即可 由题意可知,整个图形内部的每个点对应一个基本事件,所以这是一个几何概型 设此点取自正方形区域为事件 A 设正方形的边长为 2r,则圆的半径为 rS()2r2+(2r)22r2+4r2 正方形面积为 S(A)4r2故() = 42 22+42 = 2 +2 故选:A 本题考查了几何概型的概率计算方法属于基础题 4 已知定义在 R 上的奇函数 f (x) , 当 x0 时, f (x) log2x, 且 f (m)
16、 2, 则 m ( ) A1 4 B4 C4 或1 4 D4 或 1 4 根据题意,分 m0 与 m0 两种情况讨论,结合函数的奇偶性与解析式分析,求出 m 的 值,综合即可得答案 根据题意,当 x0 时,f(x)log2x,此时若 f(m)2,必有 log2m2,解可得 m4; 当 x0,则x0,此时若 f(m)2,则有 f(m)2,即 log2(m)2, 解可得 m= 1 4; 综合可得:m4 或 1 4; 故选:D 本题考查函数的奇偶性的性质以及应用,涉及函数解析式以及函数值的计算,属于基础 题 5已知平面向量 、 的夹角为 135,且 为单位向量, = (1,1),则| + | =(
17、) A5 B3 + 2 C1 D3 2 根据平面向量的数量积计算模长即可 由题意知,平面向量 、 的夹角为 135,且| |1, = (1,1), 所以| |= 12+12= 2, =1 2 cos1351, ( + )2= 2 +2 + 2 =1+2(1)+21, 所以| + | =1 故选:C 本题考查了根据平面向量的数量积计算模长的应用问题,是基础题 6已知 F1、F2分别为椭圆 C: 2 2 + 2 2 = 1(0)的左、右焦点,过 F1且垂直于 x 轴 的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,若AF2B 是边长为 4 的等边三角形,则椭圆 C 的方程 为( ) A 2 4 + 2
18、3 = 1 B 2 9 + 2 6 = 1 C 2 16 + 2 4 = 1 D 2 16 + 2 9 = 1 由AF2B 是边长为 4 的等边三角形,及椭圆的定义可得 2a,及 2c 与 2a 的关系求出 c, 再由 a,b,c 之间的关系求出椭圆的方程 【解答】 解: 因为AF2B 是边长为 4 的等边三角形, 所以AF2F130, 2a|AF1|+|AF2| 2+46,2c|F1F2|= 3|AF1|23, 所以 b2a2c2936, 所以椭圆的方程为: 2 9 + 2 6 =1, 故选:B 本题考查椭圆的定义及椭圆的性质,属于中档题 7定义运算 a*b 为执行如图所示的程序框图输出的
19、S 值,则(cos 12)*(sin 12)( ) A 3 2 B 3 2 C1 D1 先判断 acos 12和 bsin 12的大小,然后代入框图的左边执行框计算即可 0 4 时, 12 12, = 22 12 23 12 12 1+ 6 3 6 1 故选:C 本题考查了程序框图的条件结构以及三角函数的二倍角公式等基础知识,同时考查了学 生的逻辑推理能力和数学运算能力难度不大 8 尘劫记中记载了这样一个问题:第 1 个月,有一对老鼠生了 6 对小老鼠,两代老鼠加 起来共有 7 对; 第 2 个月, 每对老鼠各生了 6 对小老鼠, 三代老鼠共有 49 对 由此类推, 父母、子女、孙子、曾孙辈的
20、大小老鼠们,每个月每对老鼠都会生 6 对第 6 个月,共 有( )对老鼠 A66 B76 C6(6 6;1) 5 D7(7 6;1) 6 由题意可得an是以 7 为首项,7 为公比的等比数列,即可求出 设第 n 个月小老鼠共有 an对,由题意可得an是以 7 为首项,7 为公比的等比数列, a677576, 故选:B 本题考查了等比数列在实际生活中的应用,属于基础题 9为加强学生音乐素养的培育,东莞市某高中举行“校园十大歌手”比赛,比赛现场有 7 名评委给选手评分,另外,学校也提前发起了网络评分,学生们可以在网络上给选手评 分,场内数百名学生均参与网络评分某选手参加比赛后,现场评委的评分表和该
21、选手 网络得分的条形图如图所示: 评委序号 评分 10 8 9 8 9 10 9 记现场评委评分的平均分为1,网络评分的平均分为2,所有评委与场内学生评分的平 均数为,那么下列选项正确的是( ) A 1+2 2 B = 1+2 2 C 1+2 2 D与1:2 2 关系不确定 根据题意求出平均数,然后估算求出总平均数 1= 10+8+9+8+9+10+9 7 =9, 2=0.17+0.18+0.29+0.6109.3, 则1:2 2 =9.15, 设场内人数为 a(a100) ,则 = 9.3+63 +7 = 9.3(+7)2.1 +7 = 9.3 2.1 +7 因为 a100,所以9.3 2.
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