2018-2019学年上海市闵行区高二(下)期末数学试卷(含详细解答)
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1、若一个圆锥的底面面积为 9,母线长为 5,则它的侧面积为 5 (4 分)参数方程(R)所表示的曲线与 x 轴的交点坐标是 6 (4 分)在平面几何中,以下命题都是真命题: 过一点有且仅有一条直线与已知直线平行; 过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直; 平行于同一条直线的两直线平行; 垂直于同一条直线的两直线平行; 两组对边分别相等的四边形是平行四边形; 则在立体几何中,上述命题仍为真命题的是 (写出所有符合要求的序号) 7 (5 分)已知关于 x 的实系数方程 x2+ax+b0 有一个模为 1 的虚根,则 a 的取值范围 是 8 (5 分)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 9
2、 (5 分)已知地球的半径约为 6371 千米,上海的位置约为东经 121、北纬 31,开罗 的位置约为东经 31、 北纬 31, 两个城市之间的距离为 (结果精确到 1 千米) 第 2 页(共 20 页) 10 (5 分)在空间中,已知一个正方体是 12 条棱所在的直线与一个平面所成的角都等于 , 则 sin 11 (5 分)若复数 z 满足|z2|Rez+2|,则|z32i|+|z2|的最小值 12 (5 分)在长方体 ABCDA1B1C1D1中,AB,BCAA11,点 M 为线段 AB1的中 点,点 P 为对角线 AC1上的动点,点 Q 为底面 ABCD 上的动点,则 MP+PQ 的最小
3、值 为 二、选择题(本大题共二、选择题(本大题共 4 题,每题题,每题 5 分,共分,共 20 分)分) 13 (5 分)已知空间三条直线 l、m、n若 l 与 m 异面,且 l 与 n 异面,则( ) Am 与 n 异面 Bm 与 n 相交 Cm 与 n 平行 Dm 与 n 异面、相交、平行均有可能 14 (5 分)若一个直三棱柱的所有棱长都为 1,且其顶点都在一个球面上,则该球的表面积 为( ) A B C D5 15 (5 分)定义:复数 z 与 i 的乘积 zi 为复数 z 的旋转复数”设复数 zx+yi(x,yR)对 应的点 (x, y) 在曲线 x22xyy0 上, 则 z 的 “
4、旋转复数” 对应的点的轨迹方程为 ( ) Ay2+2xyx0 By22xy+x0 Cy2+2xy+x0 Dy22xyx0 16 (5 分)已知直线 l 与抛物线 x24y 交于 A、B 两点,若四边形 OAMB 为矩形,记直线 OM 的斜率为 k,则|k|的最小值为( ) A4 B2 C2 D 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 5 题,共题,共 76 分)分) 17 (14 分)如图,正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面边长 AB2,若 BD1与底面 ABCD 所成的角的正切值为 (1)求正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的体积; 第 3 页(共 20 页) (2)求异面直线 A1
5、A 与 B1C 所成的角的大小 18 (14 分)设 z+1 为关于 x 的方程 x2+px+q0(p,qR)的虚根,i 是虚数单位 (1)当 z1+i 时,求 p、q 的值; (2)若 q1,在复平面上,设复数 z 所对应的点为 M,复数 24i 所对应的点为 N,试 求|MN|的取值范围 19 (14 分)如图,圆锥的展开侧面图是一个半圆,BC、EF 是底面圆 O 的两条互相垂直的 直径,D 为母线 AC 的中点,已知过 EF 与 D 的平面与圆锥侧面的交线是以 D 为顶点、 DO 为对称轴的抛物线的一部分 (1)证明:圆锥的母线与底面所成的角为; (2)若圆锥的侧面积为 8,求抛物线焦点
6、到准线的距离 20 (16 分)我国古代数学名著九章算术中,将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的 三棱柱称之为堑堵:将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称之为阳马;将四个面 均为直角三角形的四面体称之为鳖臑bi no某学校科学小组为了节约材料,拟依托 第 4 页(共 20 页) 校园内垂直的两面墙和地面搭建一个堑堵形的封闭的实验室 ABCA1B1C1(图 1) , A1ABB1是边长为 2 的正方形 (1)若ABC 是等腰三角形,在图 2 的网格中(每个小方格都是边长为 1 的正方形)画 出堑堵的三视图; (2)若 C1DA1B1,D 在 A1B1上,证明:C1DDB,并回答四面体 DBB1
7、C1是否为鳖 臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论) ;若不是,请说明理由; (3)当阳马 A1C1CBB1的体积最大时,求点 B1到平面 A1BC 的距离 21 (18 分)设点 P(x0,y0)是抛物线:y24x 上异于原点 O 的一点,过点 P 作斜率为 k1、k2的两条直线分别交于 A(x1,y1) 、B(x2,y2)两点(P、A、B 三点互不相同) (1)已知点 Q(3,0) ,求|PQ|的最小值; (2)若 y06,直线 AB 的斜率是 k3,求的值; (3)若 y02,当0 时,B 点的纵坐标的取值范围 第 5 页(共 20 页) 2018-2019 学年上海市闵行区高二(
8、下)期末数学试卷学年上海市闵行区高二(下)期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题(本大题共一、填空题(本大题共 12 题,题,1-6 题每题题每题 4 分,分,7-12 题每题题每题 5 分,共分,共 54 分)分) 1 (4 分)复数(i 是虚数单位)的虚部是 1 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解:z, z 的虚部为1 故答案为:1 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题 2 (4 分)抛物线 y2x2的准线方程为 【分析】先将抛物线方程化为标准形式,再根据抛物线的性质求出其准线方程即可 【解答】解:抛物线的方
9、程可变为 x2y 故 p 其准线方程为 故答案为 【点评】本题考查抛物线的简单性质,解题关键是记准抛物线的标准方程,别误认为 p 1,因看错方程形式马虎导致错误 3 (4 分) 在复平面上, 复数 z11+2i、 z234i 分别对应点 A、 B, O 为坐标原点, 则 5 【分析】由条件得,然后计算两向量的数量积即可 【解答】解:由复数 z11+2i、z234i 分别对应点 A、B,O 为坐标原点,得 , 385 故答案为:5 【点评】本题考查了复数与向量的关系和向量的数量积,属基础题 第 6 页(共 20 页) 4 (4 分)若一个圆锥的底面面积为 9,母线长为 5,则它的侧面积为 15
10、【分析】由已知中圆锥的底面面积及母线长,求出圆锥的底面半径,代入侧面积公式, 可得答案 【解答】解:一个圆锥的底面面积为 9,母线长为 5,可得圆锥的底面半径为:3,周长 为 6, 它的侧面积为:15 故答案为:15 【点评】本题考查的知识点是旋转体,其中根据已知求出圆锥的底面半径和高,是解答 的关键 5 (4 分)参数方程(R)所表示的曲线与 x 轴的交点坐标是 (3,0) 【分析】取 y0 求得 ,代入 x4sin2 求得 x 值,则答案可求 【解答】解:对于(R) ,取 y0,得 cos0,则 ,kZ x4sin243 参数方程(R)所表示的曲线与 x 轴的交点坐标是(3,0) 故答案为
11、: (3,0) 【点评】本题考查参数方程化普通方程,考查由已知三角函数值求角,是基础题 6 (4 分)在平面几何中,以下命题都是真命题: 过一点有且仅有一条直线与已知直线平行; 过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直; 平行于同一条直线的两直线平行; 垂直于同一条直线的两直线平行; 两组对边分别相等的四边形是平行四边形; 则在立体几何中,上述命题仍为真命题的是 (写出所有符合要求的序号) 【分析】利用平面直线与直线的位置关系以及点与直线的位置关系,判断空间点与直线, 直线与直线的位置关系的真假即可 【解答】解:过一点有且仅有一条直线与已知直线平行;在空间内也成立; 第 7 页(共 20 页) 过
12、一点有且仅有一条直线与已知直线垂直;在空间内,与经过这一点直线垂直的直线 有无数条,所以不正确; 平行于同一条直线的两直线平行;这是平行公理,正确; 垂直于同一条直线的两直线平行;在空间中,不成立,因为转化两条直线可以是异面 直线;所以不正确; 两组对边分别相等的四边形是平行四边形;可以是空间四边形,所以不正确 故答案为: 【点评】本题考查平面内直线与直线的位置关系以及空间中直线与直线的位置关系的应 用,是基本知识的考查 7 (5 分)已知关于 x 的实系数方程 x2+ax+b0 有一个模为 1 的虚根,则 a 的取值范围是 (2,2) 【分析】设出复数 z,利用已知条件,结合韦达定理,及|z
13、|1,求得 b,在根据0 求 出 a 的范围 【解答】解:设 zm+ni,则方程的另一个根为 mni, 方程有一个模为 1 的虚根,m2+n21, 由韦达定理有, 又a24ba240,2a2, a 的取值范围为(2,2) 【点评】本题考查了实系数方程虚根成对定理和复数的运算性质,考查了方程思想和转 化思想,属基础题 8 (5 分)一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 【分析】几何体是一个简单组合体,上面是一个四棱锥,四棱锥的底面是一个正方形, 第 8 页(共 20 页) 对角线长是 2,侧棱长是 2,高是下面是一个圆柱,圆柱的底面直径是 2,高是 2, 组合体的体积包括两部分,写
14、出公式得到结果 【解答】解:由三视图知几何体是一个简单组合体, 上面是一个四棱锥,四棱锥的底面是一个正方形,对角线长是 2, 侧棱长是 2,高是 下面是一个圆柱,圆柱的底面直径是 2, 高是 2, 组合体的体积是+122, 故答案为:, 【点评】本题考查由三视图求几何体的体积,考查由三视图还原直观图,考查圆柱的体 积和四棱锥的体积,本题是一个基础题,题目只有四棱锥的高需要求出,运算量比较小 9 (5 分)已知地球的半径约为 6371 千米,上海的位置约为东经 121、北纬 31,开罗 的位置约为东经 31、 北纬 31, 两个城市之间的距离为 6571 (结果精确到 1 千米) 【分析】根据题
15、意画出图形,结合图形求出球面上两点间的距离即可 【解答】解:如图所示, 设地球的半径为 R,则AOB 中,AOB1213190, AOBORcos30R, ABAOR, AOB 中,cosAOB; AOB1.0314, |R1.031463716571(千米) , 即上海和开罗两个城市之间的距离为 6571 千米 第 9 页(共 20 页) 【点评】本题考查了球面上两点之间的距离计算问题,是基础题 10 (5 分)在空间中,已知一个正方体是 12 条棱所在的直线与一个平面所成的角都等于 , 则 sin 【分析】棱 A1A,A1B1,A1D1与平面 AB1D1所成的角相等,平面 AB1D1就是与
16、正方体的 12 条棱的夹角均为 的平面则A1AO,即可得出 【解答】解:棱 A1A,A1B1,A1D1与平面 AB1D1所成的角相等, 平面 AB1D1就是与正方体的 12 条棱的夹角均为 的平面则A1AO, 设棱长为:1,A1O,AO, sin 故答案为: 【点评】本题考查线面角的正弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系 等基础知识,考查运算求解能力,是中档题 11 (5 分)若复数 z 满足|z2|Rez+2|,则|z32i|+|z2|的最小值 5 第 10 页(共 20 页) 【分析】设 zx+yi,x,yR由满足|z2|Rez+2|,可得|x+2|,化为: y28x可得 F
17、(2,0) ,Q(3,2) ,抛物线的准线 l:x2过点 P 作 PHl,垂足 为 H可得|z32i|+|z2|PF|+|PQ|QH| 【解答】解:设 zx+yi,x,yR 满足|z2|Rez+2|,|x+2|, 化为:y28x 可得 F(2,0) ,Q(3,2) ,抛物线的准线 l:x2 过点 P 作 PHl,垂足为 H 则|z32i|+|z2|PF|+|PQ|QH|5,当且仅当三点 Q,P,H 三点共线时取等号 故答案为:5 【点评】本题考查了复数的几何意义、抛物线的定义标准方程及其性质、三角形三边大 小关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题 12 (5 分)在长方体 ABCDA1B1
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