北京市海淀区2019_2020学年度高三年级四月份测试高三数学试卷(A)含答案
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1、 高三数学试卷 第 1 页(共 17 页 高三年级四月份测高三年级四月份测数学试卷数学试卷 A (考试时间 120 分钟满分 150 分) 本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分 考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分(选择题共 40 分) 一、选择题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 (1)已知命题p:x R,e1 x ,那么命题p的否定为 (A) 0 Rx, 0 e1 x (B)Rx ,e1 x (C) 0 Rx, 0 e1 x (D)Rx ,e
2、1 x (2)下列函数中既是奇函数,又在区间(0,1)上单调递减的是 (A) 3 ( )2f xx(B) 1 2 ( )log |f xx(C) 3 ( )3f xxx(D)( )sinf xx (3)设集合 2 340AxxxZ|, 2 |e1 x Bx ,则以下集合P中,满足()PAB R 的是 (A) 1,0,1,2 (B)1,2(C)1(D)2 (4)已知 3 log2a, 0.2 log0.3b, 11 tan 3 c ,则a,b,c的大小关系是 (A)bac(B)cba(C)cab(D)bca (5)若一个n面体有m个面是直角三角形,则称这个n面体的直度为 m n ,如图是某四面体
3、的三视图,则这 个四面体的直度为 (A) 1 4 (B) 1 2 (C) 3 4 (D)1 (6)已知向量(2,2 3)a,若(3 )aba,则b在a上的投影是 高三数学试卷 第 2 页(共 17 页 (A) 3 4 (B) 3 4 (C) 4 3 (D) 4 3 (7)已知ABC,则“sincosAB”是“ABC是直角三角形”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (8)“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就, 它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如图是由“杨 辉三角”拓展而成的三角形数阵,记 n a为图中虚线上的数1, 3,
4、6,10, 构成的数列 n a的第n项, 则 100 a的值为 (A)5049 (B)5050 (C)5051 (D)5101 (9)已知双曲线 2 2 1 2 y x的渐近线与抛物线 2 :2(0)M ypx p交于点(2, )Aa,直线AB过抛物线M 的焦点,交抛物线M于另一点B,则AB等于 (A) 3.5(B)4(C)4.5(D)5 (10)关于函数 2 ( )(1)exf xxax,有以下三个结论: 函数恒有两个零点,且两个零点之积为1; 函数的极值点不可能是1; 函数必有最小值. 其中正确结论的个数有 (A)3 个 (B)2 个(C)1 个(D)0 个 第二部分(非选择题共 110
5、分) 二、填空题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 高三数学试卷 第 3 页(共 17 页 (11)在 5 2 ()x x 的二项展开式中, 2 x的系数为_ (用数字作答) (12)设复数z在复平面内对应的点位于第一象限,且满足| | 5z ,6zz,则z的虚部为, 1 z (13)设无穷等比数列 n a 的各项为整数,公比为q,且 1q , 231 2aaa,写出数列 n a 的一个 通项公式_ (14)在平面直角坐标系中,已知点(0,1)A,(1,1)B,P为直线AB上的动点,A关于直线OP的对称点记 为Q,则线段BQ的长度的最大值是_ (15)关于曲线 22 :4C xxyy
6、,给出下列四个结论: 曲线C关于原点对称,但不关于x轴、y轴对称; 曲线C恰好经过 4 个整点(即横、纵坐标均为整数的点); 曲线C上任意一点都不在圆 22 3xy的内部; 曲线C上任意一点到原点的距离都不大于2 2 其中,正确结论的序号是_ 注:本题给出的结论中,有多个符合题目要求。全部选对得5 分,不选或有错选得分,其他得3 分。 三、解答题共 6 小题,共 85 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (16) (本小题 13 分) 已知 ( )2 3sin cos2cos()cos() 44 f xxxxx ()求( )f x的最小正周期和单调递增区间; ()当0, x时,若(
7、)( 1,1f x ,求x的取值范围 (17) (本小题 14 分) 体温是人体健康状况的直接反应,一般认为成年人腋下温度T(单位:C)平均在36 C37 C之间 0 高三数学试卷 第 4 页(共 17 页 即为正常体温, 超过37.1 C即为发热 发热状态下, 不同体温可分成以下三种发热类型: 低热:37.138T; 高热:3840T;超高热(有生命危险) :40T. 某位患者因患肺炎发热,于 12 日至 26 日住院治疗. 医生根据病情变化,从 14 日开始,以 3 天为一个 疗程,分别用三种不同的抗生素为该患者进行消炎退热. 住院期间,患者每天上午 8:00 服药,护士每天下 午 16:
8、00 为患者测量腋下体温记录如下: 抗生素使用 情况 没有使用 使用“抗生素抗生素 A”治疗 使用“抗生素抗生素 B”治疗 日期 12 日 13 日 14 日 15 日 16 日 17 日 18 日 19 日 体温(C) 38.7 39.4 39.7 40.1 39.9 39.2 38.9 39.0 抗生素使用 情况 使用“抗生素抗生素 C”治疗 没有使用 日期 20 日 21 日 22 日 23 日 24 日 25 日 26 日 体温(C) 38.4 38.0 37.6 37.1 36.8 36.6 36.3 ()请你计算住院期间该患者体温不低于39 C的各天体温平均值; () 在19日23
9、日期间, 医生会随机选取3天在测量体温的同时为该患者进行某一特殊项目 “项目” 的检查,记X为高热体温下做“项目”检查的天数,试求X的分布列与数学期望; ()抗生素治疗一般在服药后 2-8 个小时就能出现血液浓度的高峰,开始杀灭细菌,达到消炎退热效果. 假设三种抗生素治疗效果相互独立, 请依据表中数据, 判断哪种抗生素治疗效果最佳, 并说明理由 (18) (本小题 15 分) 在四棱锥PABCD中, 平面ABCD平面PCD, 底面ABCD为梯形,/ /ABCD,ADDC, 且1AB, 高三数学试卷 第 5 页(共 17 页 2ADDCDP,120PDC. ()求证:ADPC; ()求二面角_的
10、余弦值; 从PABC,PBDC,PBCD这三个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答. 注:注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. ()若M是棱PA的中点,求证:对于棱BC上任意一点F, MF与PC都不平行. (19) (本小题 14 分) 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 1 2 , 过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于A,B两 点,当直线l与x轴垂直时,| 3AB . ()求椭圆C的标准方程; () 当直线l与x轴不垂直时, 在x轴上是否存在一点P(异于点F) , 使x轴上任意点到直线PA,PB 的距离均相等?若存在,求P点坐标;若不存在,请说明理由.
11、 (20) (本小题 15 分) 已知函数 2 ( )e() x f xaxaR ()若曲线 ( )yf x 在(1, (1)f 处的切线与x轴平行,求a; 高三数学试卷 第 6 页(共 17 页 ()已知 ( )f x在0,1上的最大值不小于2,求a的取值范围; ()写出 ( )f x所有可能的零点个数及相应的a的取值范围 (请直接写出结论) (21) (本小题 14 分) 已知集合 12 |( ,),0,1,1,2, (2) nni SX Xx xxxin n,对于 12 ( ,) n Aa aa n S, 12 ( ,) nn Bb bbS,定义A与B的差为 1122 (|,|,|) n
12、n ABababab;A与B之间的距 离为 1122 ( , )=|+| nn d A Bababab ()若(0,1)AB,试写出所有可能的,A B; (), , n A B CS,证明:(i)(,)( ,)d AC BCd A B; (ii)( , ), ( ,), ( ,)d A B d A C d B C三个数中至少有一个是偶数; ()设, n PSP中有(2m m ,且为奇数)个元素,记P中所有两元素间距离的平均值为 P d, 证明: (1) 2 P n m m d 高三数学试卷 第 7 页(共 17 页 20192020 学年度学年度高三年级四月份高三年级四月份测试题测试题 数学数
13、学 A 参考答案参考答案2020.4 第一部分(选择题共第一部分(选择题共 40 分)分) 一、选择题(共一、选择题(共 10 小题,每小题小题,每小题 4 分,共分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项) (1)A(2)C(3)C(4)B(5)D (6)D(7)D(8)B(9)C(10)A 第二部分(非选择题共第二部分(非选择题共 110 分)分) 二、填空题(共二、填空题(共 5 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 25 分)分) (11)80(12)4, 34 i 2525 (13) 1* 2() n
14、 n an N(答案不唯一) (14)2 1(15) 三、解答题(共三、解答题(共 6 小题,共小题,共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程) (16) (本小题 13 分) 解: ()因为 ( )3sin22cos()cos() 424 f xxxx 3sin22sin()cos() 44 xxx 3sin2sin(2) 2 xx 3sin2cos2xx 31 2(sin2cos2 ) 22 xx 2sin(2) 6 x, 3 分 (另解: ( )3sin22(cos cossin sin)(cos cossin sin) 4444
15、f xxxxxx 高三数学试卷 第 8 页(共 17 页 2222 3sin22(cossin )(cossin ) 2222 xxxxx 22 3sin2(cossin)3sin2cos2xxxxx 31 2(sin2cos2 )2sin(2) 226 xxx, 3 分 所以 22 2 T . 4 分 由 2 22 , 262 kxkkZ,得 , 63 kxkkZ. 故( )f x的单调递增区间为: , 63 kkkZ. 6 分 ()令2sin(2)1 6 x ,有 1 sin(2) 62 x , 即 22 , 66 xkkZ或 5 22 , 66 xkkZ, 也即 , 6 xkkZ或 ,
16、2 xkkZ. 因为0,x, 所以 6 x 或 2 x . 9 分 令 2sin(2)1 6 x ,得 1 sin(2) 62 x . 即 22 , 66 xkk Z或 5 22 , 66 xkk Z, 也即,xkkZ或 , 3 xkk Z. 因为0,x,所以x或 2 3 x . 11 分 又因为( )f x的单调递增区间为: 0, 3 和 5 , 6 , ( )f x的单调递减区间为: 5 (,) 36 , 12 分 高三数学试卷 第 9 页(共 17 页 所以当( )( 1,1f x 时,x的取值范围为 2 (0,) 62 3 13 分 (17) (本小题 14 分) 解:()由表可知,该
17、患者共 6 天的体温不低于39 C,记平均体温为x, 1 分 1 (39.439.740.1 39.939.2+39.0)39.55 C 6 x 4 分 所以,患者体温不低于39 C的各天体温平均值为39.55 C. ()X的所有可能取值为0,1,2 5 分 30 32 3 5 1 (0) 10 C C P X C , 6 分 21 32 3 5 63 (1) 105 C C P X C , 7 分 12 32 3 5 3 (2) 10 C C P X C 8 分 则X的分布列为: 9 分 X 0 1 2 P 1 10 3 5 3 10 所以 1336 ()012 105105 E X 11
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