2.4.2 圆锥曲线的共同特征-2.4.3 直线与圆锥曲线的交点 学案(含答案)
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1、42 圆锥曲线的共同特征圆锥曲线的共同特征 43 直线与圆锥曲线的交点直线与圆锥曲线的交点 学习目标 1.了解圆锥曲线的共同特征.2.会求曲线的交点.3.掌握直线与圆锥曲线位置关系 的判定.4.理解弦长公式及其求解应用 知识点一 圆锥曲线的共同特征统一定义 圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值 e.当 0e1 时,圆 锥曲线是椭圆;当 e1 时,圆锥曲线是抛物线;当 e1 时,圆锥曲线是双曲线此即为圆 锥曲线的统一定义 知识点二 直线与圆锥曲线的位置关系 设直线 l 的方程为 AxByC0, 圆锥曲线 M 的方程为 f(x, y)0, 则由 AxByC0, fx,y0
2、 消去 y,可得 ax2bxc0. (1)当 a0 时有: 位置关系 公共点个数 方程 相交 2 0 相切 1 0 相离 0 0 (2)当 a0 时,方程 ax2bxc0 只有一个解,即直线与圆锥曲线只有一个公共点,此时该 直线与圆锥曲线不是相切,而是相交 知识点三 两曲线的交点 已知两条曲线 C1,C2的方程分别为 F(x,y)0,G(x,y)0,则点 P0(x0,y0)是 C1,C2的交 点 Fx0,y00, Gx0,y00. 方程组有几组不同的实数解,两条曲线就有几个不同的交点;方程组没有实数解,两条曲线 就没有交点 1平面内到定点与到定直线的距离之比为常数的点的集合是圆锥曲线() 2对
3、于双曲线x 2 25 y2 91,右支上的点满足“平面内到定点 F(4,0)与到定直线 l:x 25 4 的距 离的比等于4 5”左支上的点不满足() 3若直线与圆锥曲线只有一个公共点,则直线与圆锥曲线必相切() 4直线与椭圆有一个公共点的充要条件是它们组成的方程组有唯一解() 类型一 圆锥曲线共同特征的应用 例 1 已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点为 F(c,0),离心率 e c a,点 A 在椭圆上,d 为点 A 到定直线 l:xa 2 c 的距离求证:|AF| d e. 考点 圆锥曲线定义的应用 题点 圆锥曲线定义的应用 证明 设点 A(x,y)为椭圆x 2 a2 y
4、2 b21(ab0)上任意一点, |AF| d m(m0),则 xc2y2 xa 2 c m, 两边平方整理得(1m2)x2y2 2c2a 2m2 c x a4m2 c2 c2, 比较椭圆方程b 2x2 a2 y2b2的各项 系数,得 2c2a 2m2 c 0,所以 m2 c a 2, 因为 m0,所以 mc a,即 |AF| d e. 反思与感悟 圆锥曲线的共同特征中,到定点的距离与到定直线(定点不在定直线上)的距离 之比是一个常数,这本身就是一个几何关系由此求曲线方程时,直接进行坐标的代换即可 求出曲线方程 跟踪训练 1 (1)已知动点 M(x,y)到直线 l:x4 的距离是它到点 N(1
5、,0)的距离的 2 倍则动 点 M 的轨迹 C 的方程为_ (2)已知双曲线x 2 16 y2 91 的左、右焦点分别为 F1,F2,其上一点 P 满足|PF1|5|PF2|,则点 P 直线 x16 5 的距离为_ 考点 圆锥曲线定义的应用 题点 用定义判断曲线类型或求方程 答案 (1)x 2 4 y2 31 (2) 8 5 解析 (1)如图,设点 M 到直线 l 的距离为 d,根据题意知, d2|MN|, 由此得|4x|2 x12y2, 化简得x 2 4 y2 31, 所以动点 M 的轨迹 C 的方程为x 2 4 y2 31. (2)由双曲线定义知,|PF1|PF2|2a8, 又|PF1|5
6、|PF2|, 得|PF2|2,设点 P 到直线 x16 5 的距离为 d, 则|PF2| d c a 5 4,得 d 8 5. 类型二 直线与圆锥曲线的位置关系 例 2 已知双曲线 C:x 2 4y 21 和定点 P 2,1 2 ,过点 P 可以作几条直线与双曲线只有一个 公共点? 考点 直线与圆锥曲线的位置关系问题 题点 直线与圆锥曲线公共点个数问题 解 当过 P 点的直线 l 斜率存在时,y1 2k(x2),与 x2 4y 21 联立消去 y, 得(14k2)x2k(416k)x(16k28k5)0.(*) 当 14k20,即 k 1 2时,(*)式变为一元一次方程,解得 x 5 2或 x
7、 13 6 ,l 与双曲线分别 交于 5 2, 3 4 和 13 6 , 5 12 ,此即直线过点 P 且平行于渐近线的情形 当 14k20,由 0,得 k5 8, 此时 l:y1 2 5 8(x2),交点为 10 3 ,4 3 . 易知当过 P 点的直线斜率不存在时,直线方程为 x2,交点为(2,0),所以过 P 点有四条直线 与双曲线只有一个公共点 反思与感悟 对于直线与双曲线、抛物线位置关系判定时,要注意对消元之后所得二次方程 的二次项系数是否为零进行讨论 跟踪训练 2 设直线 ykx1 与双曲线 x2y24 的右支有两个公共点,求 k 的取值范围 考点 直线与圆锥曲线的位置关系问题 题
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