2018-2019学年山西大学附中高二(下)3月诊断数学试卷(理科)含详细解答
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1、2018-2019学年山西大学附中高二(下)3月诊断数学试卷(理科)一.选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,请把答案写在答题纸上)1(5分)下列导数运算正确的是()A(3x2+2)6x+2B(sinx)cosxCD(2e)x(2e)x2(5分)已知函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示,那么函数f(x)的图象最有可能的是()ABCD3(5分)已知函数,则f(x)的增区间为()A(0,1)B(0,e)C(1,+)D(e,+)4(5分)函数yx33x29x(2x2)有()A极大值5,无极小值B极小值27,无极大值C极大值5,极小值27D极大值5,极小值115(5分)已知函数f(x
2、)的导函数为f(x),且满足关系式f(x)3xf(2)+lnx,则f(1)的值等于()ABCD6(5分)若函数f(x)sinxkx存在极值,则实数k的取值范围是()A(1,1)B1,1C(1,+)D(,1)7(5分)已知函数,则曲线yf(x)上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是()ABCD8(5分)函数f(x)ax2+sinx的图象在处的切线方程为yx+b,则b的值为()ABCD9(5分)定义在R上的函数f(x)满足:f(x)+f(x)1,f(0)4,则不等式exf(x)ex+3(其中e为自然对数的底数)的解集为()A(0,+)B(,0)(3,+)C(,0)(0,+)D(3,+)10(5分)
3、若函数f(x)(x+1)2alnx在区间(0,+)内任取有两个不相等的实数x1,x2,不等式1恒成立,则a的取值范围是()A(,3)B(,3)C(,3D(,311(5分)已知lnaln3lnc,bd3,则(ab)2+(dc)2的最小值为()ABCD12(5分)已知直线l为函数yex图象的切线,若l与函数yx2的图象相切于点(m,m2),则实数m必定满足()AmBm1C1mDm0二填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,请把答案写在答题纸上)13(5分)函数f(x)(x+1)ex的单调减区间是 14(5分)设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y(x0)上点P的切线垂直,则P的坐标为
4、15(5分)若函数f(x)的定义域为R,则实数m的取值范围是 16(5分)设函数f(x),g(x),对任意x1,x2(0,+),不等式恒成立,则正数k的取值范围是 三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17(10分)已知,若直线l过点(2,4)且与f(x)图象相切,求直线l的方程18(12分)已知函数f(x)x2+lnx(1)求函数f(x)在1,e上的最大值,最小值;(2)求证:在区间1,+)上,函数f(x)的图象在函数g(x)x3图象的下方19(12分)已知函数f(x)x3ax2+bx(1)当b2时,f(x)在1,+)上是增函数,求实数a的取值范围;(2)当处取得极值,求函数f
5、(x)在1,a上的值域20(12分)已知函数f(x)aln(xa)x2+x(a0)(1)求f(x)的单调区间;(2)若1a2(ln21),求证:函数f(x)只有一个零点x0,且a+1x0a+221(12分)已知函数f(x)alnxx2+(2a1)x(aR)有两个不同的零点(1)求a的取值范围;(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x22a22(12分)已知函数f(x)2lnx2mx+x2(m0)(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当m时,若函数f(x)的导函数f(x)的图象与x轴交于A,B两点,其横坐标分别为x1,x2(x1x2),线段AB的中点的横坐标为x0,且x1,x2恰为
6、函数h(x)lnxcx2bx的零点求证(x1x2)h(x0)+ln22018-2019学年山西大学附中高二(下)3月诊断数学试卷(理科)参考答案与试题解析一.选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,请把答案写在答题纸上)1(5分)下列导数运算正确的是()A(3x2+2)6x+2B(sinx)cosxCD(2e)x(2e)x【分析】根据题意,依次分析选项中函数的导数,综合即可得答案【解答】解:根据题意,依次分析选项:对于A,(3x2+2)6x,A错误;对于B,(sinx)cosx,B错误;对于C,()(),C正确;对于D,(2e)xln(2e)(2e)x,D错误;故选:C【点评】本题考
7、查导数的计算,关键是掌握导数计算的公式,属于基础题2(5分)已知函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示,那么函数f(x)的图象最有可能的是()ABCD【分析】根据导函数图象可知,函数在(,0),(2,+)上单调增,在(0,2)上单调减,从而可得结论【解答】解:根据导函数图象可知,函数在(,0),(2,+)上单调增,在(0,2)上单调减,由此可知函数f(x)的图象最有可能的是A故选:A【点评】本题考查导函数与原函数图象的关系,解题的关键是利用导函数看正负,原函数看增减,属于基础题3(5分)已知函数,则f(x)的增区间为()A(0,1)B(0,e)C(1,+)D(e,+)【分析】先确定函数的定
8、义域,然后利用f(x)0求解【解答】解:易知函数f(x)的定义域为(0,+),又,令f(x)0,解之得0xe,故选:B【点评】本题考查函数的单调区间的求法,属于基础题目4(5分)函数yx33x29x(2x2)有()A极大值5,无极小值B极小值27,无极大值C极大值5,极小值27D极大值5,极小值11【分析】求出y的导函数得到x1,x3(因为2x2,舍去),讨论当2x1时,y0;当1x2时,y0,得到函数极值即可【解答】解:y3x26x90,得x1,x3,由于2x2,则当2x1时,y0;当1x2时,y0,当x1时,y极大值5;x取不到3,无极小值故选:A【点评】本题考查学生利用导数研究函数极值的
9、能力,属于基础题5(5分)已知函数f(x)的导函数为f(x),且满足关系式f(x)3xf(2)+lnx,则f(1)的值等于()ABCD【分析】根据题意,求出函数的导数为f(x)3f(2)+,令x2可得:f(2)3f(2)+,解可得f(2)的值,即可得f(x),令x1计算可得答案【解答】解:根据题意,f(x)3xf(2)+lnx,其导数f(x)3f(2)+,令x2可得:f(2)3f(2)+,解可得f(2),则f(x),则f(1)1,故选:A【点评】本题考查导数的计算公式,注意f(2)为常数,属于基础题6(5分)若函数f(x)sinxkx存在极值,则实数k的取值范围是()A(1,1)B1,1C(1
10、,+)D(,1)【分析】求出函数的导函数,利用导数为0时左右符号不同的关系,求出k的取值范围【解答】解:函数f(x)sinxkx,f(x)cosxk,当k1时,f(x)0,f(x)是定义域上的减函数,无极值;当k1时,f(x)0,f(x)是定义域上的增函数,无极值;当1k1时,令f(x)0,得cosxk,方程有解,方程的解的两侧导函数的符号不相同,使f(x)在定义域内存在极值;实数k的取值范围是(1,1)故选:A【点评】本题考查了导数知识的运用与函数的极值问题,考查计算能力以及分析问题解决问题的能力,是中档题7(5分)已知函数,则曲线yf(x)上任意一点处的切线的倾斜角的取值范围是()ABCD
11、【分析】求得f(x)的导数,可得切线的斜率,由基本不等式可得切线斜率的范围,结合正切函数的图象可得倾斜角的范围【解答】解:函数的导数为f(x)ex+ex,由ex+ex2,可得切线的斜率不小于,即有切线的倾斜角,),故选:C【点评】本题考查导数的运用:求切线的斜率,考查基本不等式的运用,以及化简能力,属于基础题8(5分)函数f(x)ax2+sinx的图象在处的切线方程为yx+b,则b的值为()ABCD【分析】求得f(x)的导数,可得切线的斜率,由切线方程求得a,代入可得b【解答】解:函数f(x)ax2+sinx的导数为f(x)2ax+cosx,可得图象在处的切线斜率为a+cosa,切线方程为yx
12、+b,可得a,bsin+1,故选:B【点评】本题考查导数的运用:求切线的斜率,考查直线方程的运用,化简运算能力,属于基础题9(5分)定义在R上的函数f(x)满足:f(x)+f(x)1,f(0)4,则不等式exf(x)ex+3(其中e为自然对数的底数)的解集为()A(0,+)B(,0)(3,+)C(,0)(0,+)D(3,+)【分析】构造函数g(x)exf(x)ex,(xR),研究g(x)的单调性,结合原函数的性质和函数值,即可求解【解答】解:设g(x)exf(x)ex,(xR),则g(x)exf(x)+exf(x)exexf(x)+f(x)1,f(x)+f(x)1,f(x)+f(x)10,g(
13、x)0,yg(x)在定义域上单调递增,exf(x)ex+3,g(x)3,又g(0)e0f(0)e0413,g(x)g(0),x0故选:A【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合,结合已知条件构造函数,然后用导数判断函数的单调性是解题的关键10(5分)若函数f(x)(x+1)2alnx在区间(0,+)内任取有两个不相等的实数x1,x2,不等式1恒成立,则a的取值范围是()A(,3)B(,3)C(,3D(,3【分析】由条件可知f(x)1在(1,+)上恒成立,分离参数得a2x(x+1)1,求出函数的最小值即可得出a的范围【解答】解:1恒成立,f(x)2(x+1)1在(1,+)上恒成立,a2x(x+1
14、)x2x2+x在(1,+)恒成立,令g(x)2x2+x,则g(x)的图象开口向上,对称轴为x,g(x)g(1)3,a3故选:C【点评】本题考查了函数的恒成立问题研究,函数最值得计算,属于中档题11(5分)已知lnaln3lnc,bd3,则(ab)2+(dc)2的最小值为()ABCD【分析】lnaln3lnc,化为lnlnc,即a3cbd3,令y3x,y,则(ab)2+(dc)2表示直线yf(x)3x上的点与曲线yg(x)上的点的最小距离的平方利用导数的几何意义求出切点,再利用点到直线的距离公式即可得出【解答】解:lnaln3lnc,化为lnlnc,即a3cbd3,令y3x,y,则(ab)2+(
15、dc)2表示直线yf(x)3x上的点与曲线yg(x)上的点的最小距离的平方设直线yf(x)3x+m与曲线yg(x)相切于点P(x0,y0)不妨取(x00)g(x),3,解得x01可得切点P(1,3),33+m,解得m6切点到直线y3x的距离d(ab)2+(dc)2的最小值故选:B【点评】本题考查了导数的几何意义、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题12(5分)已知直线l为函数yex图象的切线,若l与函数yx2的图象相切于点(m,m2),则实数m必定满足()AmBm1C1mDm0【分析】分别求得两个函数的导数,求出切线的斜率,切线的方程,可得en(1n)m2,且2men,f(
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