2.2最大值、最小值问题(第1课时)函数的最大值、最小值的求法 学案(含答案)
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1、22最大值、最小值问题第1课时函数的最大值、最小值的求法学习目标1.理解函数最值的概念,了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值知识点函数的最值点与最值如图为yf(x),xa,b的图像思考1观察a,b上函数yf(x)的图像,试找出它的极大值、极小值答案极大值为f(x1),f(x3),极小值为f(x2),f(x4)思考2结合图像判断,函数yf(x)在区间a,b上是否存在最大值,最小值?若存在,分别为多少?答案存在,f(x)minf(a),f(x)maxf(x3)梳理(1)最值点最大值点:函数yf(x)在区间a,b上的最大值点x0指的是:函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f(
2、x0)最小值点:函数yf(x)在区间a,b上的最小值点x0指的是:函数在这个区间上所有点的函数值都不小于f(x0)(2)最值函数的最大值与最小值统称为最值(3)求函数yf(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤求函数yf(x)在(a,b)内的极值;将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值1函数的最大值不一定是函数的极大值()2函数f(x)在区间a,b上的最大值与最小值一定在区间端点处取得()3有极值的函数一定有最值,有最值的函数不一定有极值()类型一求函数的最值例1求函数f(x)ln(1x)x2在区间0,2上的最大值与最小值考点利
3、用导数求函数的最值题点利用导数求不含参数函数的最值解f(x)x(x1),令x0,解得x12(舍去),x21.当0x0,函数f(x)是增加的;当1x2时,f(x)f(2)f(0),所以函数f(x)在0,2上的最小值为0,最大值为ln 2.反思与感悟求解函数在固定区间上的最值,需注意以下几点(1)对函数进行准确求导,并检验f(x)0的根是否在给定区间内(2)研究函数的单调性,正确确定极值和端点函数值(3)比较极值与端点函数值的大小,确定最值跟踪训练1求下列函数的最值(1)f(x);(2)f(x)xsin x,x0,2考点利用导数求函数的最值题点利用导数求不含参数函数的最值解(1)函数f(x)的定义
4、域为R.f(x),当f(x)0时,x2,当f(x)0时,x2,当f(x)2.所以f(x)在(,2)上是增加的,在(2,)上是减少的,所以f(x)无最小值,f(x)maxf(2).(2)f(x)cos x,x0,2,令f(x)0,得x或x.因为f(0)0,f(2),f,f,所以当x0时,f(x)有最小值f(0)0,当x2时,f(x)有最大值f(2).例2已知函数f(x)exax2bx1,其中a,bR,e2.718 28为自然对数的底数设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间0,1上的最小值考点利用导数求函数的最值题点利用导数求含参数函数的最值解因为f(x)exax2bx1,所以g(
5、x)f(x)ex2axb,又g(x)ex2a,因为x0,1,1exe,所以:(1)若a,则2a1,g(x)ex2a0,所以函数g(x)在区间0,1上是增加的,g(x)ming(0)1b.(2)若a,则12ae,于是当0xln(2a)时,g(x)ex2a0,当ln(2a)x0,所以函数g(x)在区间0,ln(2a)上是减少的,在区间ln(2a),1上是增加的,g(x)ming(ln(2a)2a2aln(2a)b.(3)若a,则2ae,g(x)ex2a0,所以函数g(x)在区间0,1上是减少的,g(x)ming(1)e2ab.综上所述,当a时,g(x)在区间0,1上的最小值为1b;当a时,g(x)
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