§1 定积分的概念 学案(含答案)
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1、1定积分的概念学习目标1.了解“以直代曲”,“以不变代变”的思想方法,会求曲边梯形的面积.2.了解定积分的概念,会用定义求定积分.3.理解定积分的几何意义,并掌握定积分的基本性质知识点一曲边梯形的面积思考如图,为求由抛物线yx2与直线x1,y0所围成的平面图形的面积S,图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别?答案已知图形是由直线x1,y0和曲线yx2所围成的,可称为曲边梯形,曲边梯形的一条边为曲线段,而“直边图形”的所有边都是直线段梳理由直线xa,xb(ab),y0和曲线yf(x)所围成的平面图形称为曲边梯形,如图中阴影部分所示求曲边梯形的面积的步骤(1)分割:将区间a,bn等分;(2)计算:
2、过剩估计值S1;不足估计值S2.(3)近似代替:无论用S1还是用S2表示曲边梯形的面积,误差都不会超过S1S2.知识点二定积分的概念一般地,给定一个在区间a,b上的函数yf(x),其图像如图所示(1)将a,b区间分成n份,分点为:ax0x1x2xn1xnb.第i个小区间为xi1,xi,设其长度为xi,在这个小区间上取一点i,使f(i)在区间xi1,xi上的值最大,设S(i)xi.在这个小区间上取一点i,使f(i)在区间xi1,xi上的值最小,设s(i)xi.如果每次分割后,最大的小区间的长度趋于0,S与s的差也趋于0,此时S与s同时趋于某一个固定的常数A,容易验证,在每个小区间xi1,xi上任
3、取一点1,S(i)xi的值也趋于该常数A,我们称A是函数yf(x)在区间a,b上的定积分,记作f(x)dx,即f(x)dxA.(2)f(x)dx中符号的意义符号abf(x)名称积分号积分下限积分上限被积函数知识点三定积分的几何意义、物理意义(1)定积分的几何意义当f(x)0时,f(x)dx表示的是yf(x)与xa,xb和x轴所围曲边梯形的面积(2)定积分的物理意义当f(x)表示速度关于时间x的函数时,f(x)dx表示的是运动物体从 xa到xb时所走过的路程知识点四定积分的性质(1)1dxba.(2)kf(x)dxkf(x)dx(k为常数)(3)f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx.(4
4、)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)1当n很大时,函数f(x)x2在区间上的值,只能用2近似代替()2定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、函数f(x)的图像以及直线xa,xb之间各部分面积的代数和,在x轴上方的面积取正号,在x轴下方的面积取负号()3曲边梯形的面积Sf(x)dx;变速直线运动的位移s;变力做功WF(r)dr.()类型一定积分的定义及应用例1求抛物线yx2与直线x0,x1,y0所围成的平面图形的面积S.考点求曲边梯形的面积问题题点求曲线梯形的面积问题解(1)分割:在区间0,1上等间隔地插入n1个点,将它等分成n个小区间,即,.记第i个区间为(i1,2,n),其
5、长度为x.分别过上述n1个分点作x轴的垂线,把曲边梯形分成n个小曲边梯形,它们的面积记作S1,S2,Sn,则SSi.(2)近似代替:记f(x)x2.当n很大时,即x很小时,在区间上可以认为f(x)x2的值变化很小,近似地等于一个常数,不妨认为它近似地等于左端点处的函数值f.这样在区间上,用小矩形的面积Si近似地代替Si,即在局部小范围内“以直代曲”,则有SiSifx2x2(i1,2,n)(3)求和:由得SnSix20221222(n1)2,从而得到S的近似值,即SSn.(4)取极限:分别将区间0,1等分成8,16,20,等份时,可以看到随着n的不断增大,即x越来越小时,Sn越来越趋近于S,而当
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