§7 正切函数 学案(含答案)
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1、7正切函数学习目标1.理解任意角的正切函数的定义.2.能画出ytan x的图像.3.理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性,及其在区间内的单调性.4.正切函数诱导公式的推导及应用知识点一正切函数的定义1.任意角的正切函数在直角坐标系中,如果角满足:R,k(kZ),那么,角的终边与单位圆交于点P(a,b),唯一确定比值是角的函数,我们把它叫作角的正切函数,记作ytan ,其中R,k,kZ.2正切函数与正弦、余弦函数的关系根据定义知tan .3正切值在各象限的符号根据定义知,当角在第一和第三象限时,其正切函数值为正;当角在第二和第四象限时,其值为负知识点二正切线如图所示,线段AT为角的正切线知
2、识点三正切函数的图像与性质函数ytan x图像定义域值域R周期性最小正周期是奇偶性奇函数对称中心,kZ单调性在开区间(kZ)上是增加的知识点四正切函数的诱导公式函数角ytan x记忆口诀ktan 函数名不变,符号看象限2tan tan tan tan cot 函数名改变,符号看象限cot 思考前面我们学习过,2等的正弦、余弦的诱导公式,并总结出“奇变偶不变,符号看象限”的记忆口诀对正切函数能适用吗?答案因为tan ,所以口诀对正切函数依然适用1函数ytan x在其定义域上是增函数()提示ytan x在开区间(kZ)上是增函数,但在其定义域上不是增函数2函数ytan x的图像的对称中心是(k,0
3、)(kZ)()提示ytan x图像的对称中心是(kZ)3正切函数ytan x无单调减区间()4正切函数在区间上是增函数()提示正切函数在区间上是增函数,不能写成闭区间,当x时,ytan x无意义题型一正切函数的概念例1若角的终边经过点A,且tan ,则m_.答案解析由正切函数的定义得,解得m.反思感悟(1)解决本类题的关键是熟记正切函数的定义,即tan .(2)已知角终边上的一点M(a,b)(a0),求该角的正切函数值,或者已知角的正切值,求角终边上一点的坐标,都应紧扣正切函数的定义求解,在解题过程中,应注意分子、分母的位置跟踪训练1已知点P(2a,3a)(a0)是角终边上的一点,求tan 的
4、值解由于a0,tan .题型二正切函数的定义域、值域问题例2(1)函数y3tan的定义域为_考点正切函数的定义域、值域题点正切函数的定义域答案解析由k,kZ,得x4k,kZ,即函数的定义域为.(2)求函数ytan2tan1的定义域和值域考点正切函数的定义域、值域题点正切函数的定义域、值域解由3xk,kZ,得x,kZ,所以函数的定义域为.设ttan,则tR,yt2t12,所以原函数的值域是.反思感悟(1)求定义域时,要注意正切函数自身的限制条件,另外解不等式时,要充分利用三角函数的图像或三角函数线(2)处理正切函数值域时,应注意正切函数自身值域为R,将问题转化为某种函数的值域求解跟踪训练2求函数
5、ylg(1tan x)的定义域考点正切函数的定义域、值域题点正切函数的定义域解由题意得即1tan x1.在内,满足上述不等式的x的取值范围是.又ytan x的周期为,所以函数的定义域是.题型三正切函数的单调性问题命题角度1求正切函数的单调区间例3求函数ytan的单调区间考点正切函数的单调性、周期性与对称性题点判断正切函数的单调性解ytantan,由kxk(kZ),得2kx0)的单调区间的求法是把x看成一个整体,解kxk,kZ即可当0时,先用诱导公式把化为正值再求单调区间跟踪训练3(2018四川石室中学高二期中)函数ytan的单调增区间是_考点正切函数的单调性题点判断正切函数的单调性答案,kZ解
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