专题01 因动点产生的面积问题-2019届突破中考数学压轴题讲义(解析版)
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1、【类型综述】面积是平面几何中一个重要的概念,关联着平面图形中的重要元素边与角,由动点而生成的面积问题,是抛物线与直线形结合的觉形式,常见的面积问题有规则的图形的面积(如直角三角形、平行四边形、菱形、矩形的面积计算问题)以及不规则的图形的面积计算,解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常考的题型,此类问题计算量较大。有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。解决这类问题常用到以下与面积相关的知识:图形的割补、等积变形、等比转化等数学方法. 面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类:一是先根据几何法确定存在性,再列方程求解,后检验方程的根二是先假设关系存在,再列方程,后根据方程的解验证
2、假设是否正确【方法揭秘】解决动点产生的面积问题,常用到的知识和方法,如下:如图 1,如果三角形的某一条边与坐标轴平行,计算这样“规则”的三角形的面积,直接用面积公式如图 2,图 3,三角形的三条边没有与坐标轴平行的,计算这样“不规则”的三角形的面积,用“割”或“补”的方法图 1 图 2 图 3计算面积长用到的策略还有:如图 4,同底等高三角形的面积相等平行线间的距离处处相等如图 5,同底三角形的面积比等于高的比如图 6,同高三角形的面积比等于底的比图 4 图 5 图 6【典例分析】例 1 如图,抛物线 yax 2bx c(a0)与 x 轴交于 A(1, 0),B(4, 0)两点,与 y 轴交于
3、点 C(0, 2)点 M(m, n)是抛物线上一动点,位于对称轴的左侧,并且不在坐标轴上过点 M 作 x 轴的平行线交 y轴于点 Q,交抛物线于另一点 E,直线 BM 交 y 轴于点 F(1)求抛物线的解析式,并写出其顶点坐标;(2)当 SMFQ S MEB 13 时,求点 M 的坐标思路点拨1设交点式求抛物线的解析式比较简便2把MFQ 和MEB 的底边分别看作 MQ 和 ME,分别求两个三角形高的比,底边的比(用含 m 的式子表示) ,于是得到关于 m 的方程3方程有两个解,慎重取舍解压轴题时,时常有这种“一石二鸟”的现象,列一个方程,得到两个符合条件的解满分解答(1)因为抛物线与 x 轴交
4、于 A(1, 0),B(4, 0)两点,设 ya(x1)(x4) 代入点 C(0, 2),得 24a解得 所以12223135()4()8yx顶点坐标为 35()28,考点伸展第(2)题 SMFQ S MEB 13,何需点 M 一定要在抛物线上?从上面的解题过程可以看到,MFQ 与MEB 的高的比 与 n 无关,两条底边的比=4FQmN也与 n 无关=32MQmE如图 3,因此只要点 E 与点 M 关于直线 x 对称,点 M 在直线的左侧,且点 M 不在坐标轴上,就32存在 SMFQ S MEB 13,点 M 的横坐标为 1(如图 3)或12(如图 4) 图 3 图 4例 2 如图,已知抛物线
5、 (b、c 是常数,且 c0)与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点21yxB 的左侧) ,与 y 轴的负半轴交于点 C,点 A 的坐标为( 1,0) (1)b_,点 B 的横坐标为_(上述结果均用含 c 的代数式表示) ;(2)连结 BC,过点 A 作直线 AE/BC,与抛物线交于点 E点 D 是 x 轴上一点,坐标为(2,0),当C、D、 E 三点在同一直线上时,求抛物线的解析式;(3)在(2)的条件下,点 P 是 x 轴下方的抛物线上的一动点,连结 PB、PC设PBC 的面积为S求 S 的取值范围;若PBC 的面积 S 为正整数,则这样的PBC 共有_个思路点拨1用 c 表示 b 以
6、后,把抛物线的一般式改写为两点式,会发现 OB2OC2当 C、D、E 三点共线时,EHACOB,EHDCOD 3求PBC 面积的取值范围,要分两种情况计算,P 在 BC 上方或下方4求得了 S 的取值范围,然后罗列 P 从 A 经过 C 运动到 B 的过程中,面积的正整数值,再数一数个数注意排除点 A、C、B 三个时刻的值满分解答(3)当 P 在 BC 下方时,过点 P 作 x 轴的垂线交 BC 于 F直线 BC 的解析式为 12y考点伸展点 P 沿抛物线从 A 经过 C 到达 B 的过程中,PBC 的面积为整数,依次为(5) ,4,3,2,1, (0) ,1,2,3,4,3,2,1, (0)
7、 当 P 在 BC 下方,S4 时,点 P 在 BC 的中点的正下方,F 是 BC 的中点学科#网例 3 如图,在平面直角坐标系中,直线 与抛物线 yax 2bx3 交于 A、B 两点,点 A 在 x12yx轴上,点 B 的纵坐标为 3点 P 是直线 AB 下方的抛物线上的一动点(不与点 A、B 重合) ,过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 C,作 PDAB 于点 D(1)求 a、b 及 sinACP 的值;(2)设点 P 的横坐标为 m用含 m 的代数式表示线段 PD 的长,并求出线段 PD 长的最大值;连结 PB,线段 PC 把PDB 分成两个三角形,是否存在适合的 m 的值,使
8、这两个三角形的面积比为 910?若存在,直接写出 m 的值;若不存在,请说明理由思路点拨1第(1)题由于 CP/y 轴,把 ACP 转化为它的同位角2第(2)题中,PDPCsinACP,第(1)题已经做好了铺垫3PCD 与PCB 是同底边 PC 的两个三角形,面积比等于对应高 DN 与 BM 的比4两个三角形的面积比为 910,要分两种情况讨论满分解答(1)设直线 与 y 轴交于点 E,那么 A(2,0) ,B(4,3) ,E(0,1)12yx在 Rt AEO 中,OA2,OE1,所以 所以 525sinO因为 PC/EO,所以ACP AEO因此 siCP将 A(2,0) 、B(4,3)分别代
9、入 yax 2bx3,得 4230,16.ab解得 , 12ab考点伸展第(3)题的思路是:PCD 与PCB 是同底边 PC 的两个三角形,面积比等于对应高 DN 与 BM 的比而 ,2511coscos(4)(2)45DNPDACPmmBM4m当 SPCD S PCB 910 时, 解得 19(2)4()0当 SPCD S PCB 109 时, 解得 15329例 4 如图,已 知 二 次 函 数 的 图 象 过 点 O(0,0)、 A(4, 0)、 B( ), M 是 OA 的 中 点 2,(1)求此二次函数的解析式;(2)设 P 是 抛 物 线 上 的 一 点 , 过 P 作 x 轴 的
10、 平 行 线 与 抛 物 线 交 于 另 一 点 Q, 要 使 四 边 形 PQAM 是 菱 形 ,求 点 P 的 坐 标 ;(3)将抛物线在 轴下方的部分沿 轴向上翻折,得曲线 OBA(B为 B 关于 x 轴的对称点) ,在原抛x物线 x 轴的上方 部 分 取 一 点 C, 连 结 CM, CM 与 翻 折 后 的 曲 线 OBA 交 于 点 D, 若 CDA 的 面 积 是 MDA 面积 的 2 倍 , 这 样 的 点 C 是 否 存 在 ? 若 存 在 求 出 点 C 的 坐 标 ; 若 不 存 在 , 请 说 明 理 由 思路点拨1设交点式或顶点式求抛物线的解析式都比较简便2先确定四边
11、形 PQAM 是平行四边形,再验证它是菱形3把 CDA 与 MDA 的 面 积 比 , 转 化 为 MCA 与 MDA 的 面 积 比 ,进而转化为点 C 与点 D 的纵坐标的比满分解答(3)如图 3,作 CEx 轴于 E,作 DFx 轴于 F我们把面积进行两次转换:如 果 CDA 的 面 积 是 MDA 面 积 的 2 倍 , 那 么 MCA 的 面 积 是 MDA 面 积 的 3 倍 而 MCA 与 MDA 是 同 底 三 角 形 , 所 以 高 的 比 CE DF 3 1, 即 yCy D31因此 MEMF31设 MFm ,那么 ME3m原抛物线的解析式为 ,所以翻折后的抛物线的解析式为
12、 3(4)yx (4)x所以 D ,C (2,()2(2,()234)3根 据 yCy D31,列方程 3()4)(mm整 理 , 得 3m2 4 解 得 所 以 232所以点 C 的坐标为 ( 如 图 3) , 或 ( 如 图 4) 8(3,)83(,)图 2 图 3 图 4考点伸展第 ( 1) 题 可 以 设 抛 物 线 的 顶 点 式 :由 点 O(0,0), A(4, 0), B( )的 坐 标 , 可 知 点 B 是 抛 物 线 的 顶 点 432,可 设 , 代 入 点 O(0,0), 得 2yax3a例 5 如图,直线 l 经过点 A(1,0),且与双曲线 (x0) 交于点 B(
13、2,1)过点 (p1)作my ,1)Px 轴的平行线分别交曲线 (x0) 和 (x0)于 M、N 两点my(1)求 m 的值及直线 l 的解析式;(2)若点 P 在直线 y2 上,求证:PMB PNA ;(3)是否存在实数 p,使得 SAMN 4S AMP ?若存在,请求出所有满足条件的 p 的值;若不存在,请说明理由思路点拨1第(2)题准确画图,点的位置关系尽在图形中2第(3)题把 SAMN 4S AMP 转化为 MN4MP,按照点 M 与线段 NP 的位置关系分两种情况讨论满分解答由 P(3,2) 、N( 1,2)、A(1,0) 三点的位置关系,可知PNA 为等腰直角三角形所以PMB PN
14、A图 2 图 3 图 4考点伸展在本题情景下,AMN 能否成为直角三角形?情形一,如图 5,AMN90,此时点 M 的坐标为(1,2) ,点 P 的坐标为(3,2) 情形二,如图 6,MAN90,此时斜边 MN 上的中线等于斜边的一半不存在ANM90的情况图 5 图 6例 6 如图 1,在ABC 中,C90,A C3,BC4,CD 是斜边 AB 上的高,点 E 在斜边 AB 上,过点 E 作直线与ABC 的直角边相交于点 F,设 AEx,AEF 的面积为 y(1)求线段 AD 的长;(2)若 EFAB,当点 E 在斜边 AB 上移动时,求 y 与 x 的函数关系式(写出自变量 x 的取值范围)
15、 ;当 x 取何值时,y 有最大值?并求出最大值(3)若点 F 在直角边 AC 上(点 F 与 A、C 不重合) ,点 E 在斜边 AB 上移动,试问,是否存在直线EF 将 ABC 的周长和面积同时平分?若存在直线 EF,求出 x 的值;若不存在直线 EF,请说明理由图 1 备用图思路点拨1第(1)题求得的 AD 的长,就是第( 2)题分类讨论 x 的临界点2第(2)题要按照点 F 的位置分两种情况讨论学科#网3第(3)题的一般策略是:先假定平分周长,再列关于面积的方程,根据方程的解的情况作出判断 满分解答图 2 图 3 图 4(3)ABC 的周长等于 12,面积等于 6先假设 EF 平分AB
16、C 的周长,那么 AEx,AF6x ,x 的变化范围为 3x 5因此解方程 ,得 1142sin()()225AEFSAx2(6)1362因为 在 3x5 范围内(如图 4) ,因此存在直线 EF 将ABC 的周长和面积同时平分 162x考点伸展如果把第(3)题的条件“点 F 在直角边 AC 上”改为“点 F 在直角边 BC 上” ,那么就不存在直线 EF将ABC 的周长和面积同时平分先假设 EF 平分ABC 的周长,那么 AEx,BE5x ,BFx 1因此 2113sin()(45)220BEFSB解方程 整理,得 此方程无实数根3(45)30x24【变式训练】1.(2017 山东滨州第 1
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