第1章二次函数 单元培优试卷(含答案解析)2022-2023学年浙教版九年级数学上册
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1、第1章二次函数1、 单选题(本大题共10小题,每小题3分,共30分)1已知函数y=(m2+m)+mx+4为二次函数,则m的取值范围是()Am0Bm -1Cm0,且m-1Dm=-12对于二次函数,当时,函数图像与x轴有且只有一个交点,则以下不满足题意的a值为()ABCD3已知抛物线(c为常数)经过点,当时,则m的取值范围为()ABCD4已知抛物线yax2bxc(a0)经过点(1,0)和点(0,3),且对称轴在y轴的左侧,则下列结论错误的是()Aa0Bab3C抛物线经过点(1,0)D关于x的一元二次方程ax2bxc1有两个不相等的实数根5下表记录了二次函数中两个变量x与y的6组对应值,其中x13y
2、m020nm根据表中信息,当时,直线与该二次函数图像有两个公共点,则k的取值范围为()ABCD6如图,已知二次函数yax2+bx+c(a0)的图象如图所示,对称轴为直线x1有下列4个结论:abc0;4a+2b+c0;2c3b;a+bm(am+b)(m是不等于1的实数)其中正确的结论个数有()A1个B2个C3个D4个7已知抛物线经过和两点,则n的值为()A2B4C2D48定义:我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”如图,在正方形OABC中,点A(0,2),点C(2,0),则互异二次函数y=(xm)2m与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是()A4,1B,1C
3、4,0D,19如图,已知中,在三边上各取一点连成等边则面积的最小值是()ABCD10如图,已知,为线段上的一个动点,分别以,为边在的同侧作菱形和菱形,点,在一条直线上,.,分别是对角线,的中点当点在线段上移动时,点,之间的距离最短为()ABC4D32、 填空题(本大题共8小题,每小题4分,共32分)11如图,抛物线y=ax2+bx3,顶点为E,该抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交子点C,且OB=OC=3OA,直线y=x+1与y轴交于点D求DBCCBE=_12如图,已知点B(3,3)、C(0,6)是抛物线 ()上两点,A是抛物线的顶点,P点是轴上一动点,当PA+PB最小时,P点的坐标是_13如
4、图,正方形ABCD的边长为2,E为边AD上一动点,连接CE,以CE为边向右侧作正方形CEFG,连接DF,DG,则面积的最小值为_14如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的一边AB在x轴上,顶点B在x轴正半轴上若抛物线yx25x+4经过点C、D,则点B的坐标为_15已知二次函数的图象如图所示,下列有个结论:;请你将正确结论的序号都写出来_16已知二次函数y甲=mx2和y乙=nx2,对任意给定一个x值都有y甲y乙,关于m,n的关系正确的是_(填序号).mn0,n0m0mn017平面直角坐标系中,C(0,4),A为x轴上一动点,连接AC,将AC绕A点顺时针旋转90得到AB,当点A在x轴上运动时,O
5、B+BC的最小值为_18已知点A是直线上一动点,以点A为顶点的抛物线交y轴于点B,作点B关于x轴的对称点C,连接AB、AC若ABC是直角三角形,则点A的坐标为_三、解答题(本大题共6小题,共60分)19(8分)新冠肺炎期间,某超市将购进一批口罩进行销售,已知购进1盒甲口罩需20元,购1盒乙口罩需30元两种口罩以相同的售价销售,甲口罩的销售量(盒)与售价x(元)之间的关系为;当售价为50元时,乙口罩可销售100盒,售价每提高1元,少销售2盒(1)当乙口罩的售价为多少元时,乙口罩的销售总利润最大?此时甲乙两种口罩的销售利润总和为多少?(2)当甲口罩的销售量不低于乙口罩的销售量时,若使两种口罩的总利
6、润最高,求此时的定价为多少?20(8分)抛物线与x轴交于A、B两点,且点A在点B的左侧,与y轴交于点C,(1)求这条抛物线的解析式;(2)若点与点在(1)中的抛物线上,且求的值;将抛物线在下方的部分沿翻折,抛物线的其它部分保持不变,得到一个新图象当这个新图象与x轴恰好只有两个公共点时,b的取值范围是_21(10分)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(4,0),B(0,4),C(2,0)三点(1) 求抛物线的解析式;(2) 若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,AMB的面积为S,求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值;(3) 若点P是抛物线上的动点,点Q是直线yx上的动点
7、,判断有几个位置能使以点P,Q,B,O为顶点的四边形为平行四边形(要求),直接写出相应的点Q的坐标22(10分)已知一抛物线经过O(0,0),B(1,1)两点,且解析式的二次项系数为(a0)(1) 当a1时,求该抛物线的解析式,并用配方法求出该抛物线的顶点坐标;(2) 已知点A(0,1),若抛物线与射线AB相交于点M,与x轴相交于点N(异于原点), 若BMN是等腰三角形,求a的值; 当a在什么范围内取值时,ON+BM的值为常数?当a在什么范围内取值时,ONBM的值为常数?23(10分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于点和B(点B在A的右侧),与y轴交于点,点P是抛物线上的一个动点(1
8、) 求抛物线的解析式;(2) 连接AP,与y轴交于点D,连接BD,当时,求点P的坐标;(3) 连接OP,与线段BC交于点E,点Q是x轴正半轴上一点,且,当的值最小时,请直接写出点Q的坐标24(12分)如图,抛物线经过点,与x轴交于A、两点,与y轴交于点C(1) 求抛物线的函数表达式;(2) 连接AC,过点E作x轴的垂线交线段AC于点M,点Q是抛物线对称轴上的动点,在抛物线上是否存在点P,使得以P、Q、A、M为顶点且以AM为边的四边形是平行四边形?如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由参考答案1C解:由y=(m2+m)+mx+4为二次函数,得m2+m0,解得m0,m-1,故选C【点拨
9、】此题主要考查了二次函数的概念,明确形如y=a+bx+c(a、b、c是常数,a0)的函数,叫做二次函数,是解题关键.2C【分析】由,令,可得将 代入得y=0,x=0时,y=-1,可知该二次函数恒过点(0,-1)和()若a0, 函数图象与x轴有且只有一个交点,由图象可知当x=1时,可得a1;若a-2,可知 ,即可求解解:设 将 代入得y=0,x=0时,y=-1,该二次函数恒过点(0,-1)和(),若a0, 若函数图象与x轴有且只有一个交点,如图1,当x=1时,a1;若a-2, ,故选C【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,二次函数图象与坐标轴的交点坐标,根据题意找到函数与坐标轴的交点坐标
10、,并分情况画出图象是解题的关键3B【分析】根据过点(4,c),即可得b=-4,则抛物线的对称轴为x=2,再根据(p,m)和(q,m)关于抛物线对称轴对称可得,根据,可得,将点(q,m)代入可得,则可知函数在范围内递增,即m的取值范围可求解:过点(4,c),16+4b+c=c,解得b=-4,则抛物线的对称轴为x=2,(p,m)和(q,m)的函数值相等,(p,m)和(q,m)关于抛物线对称轴对称,即,解得:,将点(q,m)代入,有:,变形得:,函数的自变量范围为,当q=5时,m取最大值,m=c+5,当q=时,m取最小值,m的取值范围为:,故选:B【点拨】本题考查了二次函数的顶点式、二次函数对称轴的
11、性质以及判断二次函数在自变量范围内的增减性等知识,得到函数m关于q的函数是解答本题的关键4C【分析】根据抛物线的图像与性质,根据各个选项的描述逐项判定即可得出结论解:A、根据抛物线yax2bxc(a0)经过点(1,0)和点(0,3),且对称轴在y轴的左侧可知,该说法正确,故该选项不符合题意;B、由抛物线yax2bxc(a0)经过点(1,0)和点(0,3)可知,解得,该说法正确,故该选项不符合题意;C、由抛物线yax2bxc(a0)经过点(1,0),对称轴在y轴的左侧,则抛物线不经过(1,0),该说法错误,故该选项符合题意;D、关于x的一元二次方程ax2bxc1根的情况,可以转化为抛物线yax2
12、bxc(a0)与直线的交点情况,根据抛物线yax2bxc(a0)经过点(1,0)和点(0,3),结合抛物线开口向上,且对称轴在y轴的左侧可知抛物线yax2bxc(a0)与直线的有两个不同的交点,该说法正确,故该选项不符合题意;故选:C【点拨】本题考查二次函数的图像与性质,涉及到开口方向的判定、二次函数系数之间的关系、方程的根与函数图像交点的关系等知识点,根据题中条件得到抛物线草图是解决问题的关键5C【分析】根据表中数据得出对称轴,进而得到抛物线与轴的交点,利用交点式得到,从而得到二次函数表达式为,根据当时,直线与该二次函数图像有两个公共点,可得解:由可得抛物线对称轴,又由以及对称轴可得,则设抛
13、物线交点式为,与对比可得,解得,二次函数表达式为,当时,;当时,;当时,当时,直线与该二次函数图像有两个公共点,故选:C【点拨】本题考查二次函数图像与性质,掌握二次函数表达式的求法是解决问题的关键6C【分析】利用二次函数的开口方向,对称轴的位置和与y轴的交点坐标即可求出,令x2即可判断,利用x3时函数值小于0,即可判断,利用顶点坐标是最大值即可判断.解:由图象可知:a0,c0,0,b0,abc0,故错误;由对称知,当x2时,函数值大于0,即y4a+2b+c0,故正确;当x3时函数值小于0,y9a+3b+c0,且x1,即a,代入得9()+3b+c0,得2c3b,故正确;当x1时,y的值最大此时,
14、ya+b+c,而当xm时,yam2+bm+c,所以a+b+cam2+bm+c,故a+bam2+bm,即a+bm(am+b),故正确故选C【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质,属于简单题,熟悉函数的图像和性质是解题关键.7B【分析】根据和可以确定函数的对称轴,再由对称轴的即可求解;解:抛物线经过和两点,可知函数的对称轴,;,将点代入函数解析式,可得;故选B【点拨】本题考查二次函数图象上点的坐标;熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键8B【分析】根据函数解析式可得抛物线顶点在直线y=-x上,结合图象求解解: y=(x-m)2-m,抛物线顶点坐标为(m,m),抛物线顶点在直线y=x上,如图,
15、当抛物线经过点B时,m取最大值,四边形OABC为正方形,AB=BC=2,点B坐标为(2,2),将(2,2)代入y=(x-m)2-m得2=(2-m)2-m,解得m=或m=(不符合题意,舍去)如图,当抛物线经过点A时,m取最小值,将(0,2)代入y=(x-m)2-m得2=m2-m,解得m=1或m=2(不符合题意,舍去)故选:B【点拨】本题考查了二次函数的性质,解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系,掌握二次函数与方程的关系9C【分析】过E作EMAB于M,易证,可得,设,即可在中得到x、y的关系,再根据二次函数求y的最小值,而,即可求出面积的最小值解:过E作EMAB于M等边,(AAS)设,当时,最小
16、故选:C【点拨】本题考查全等三角形的性质与判定、二次函数的最值,解题的关键是通过全等和勾股定理构造函数关系10B【分析】连接PM、PN首先证明MPN=90,设PA=2a,则PB=8-2a,PM=a,构建二次函数,利用二次函数的性质即可解决问题;解:连接PM、PN四边形APCD,四边形PBFE是菱形,DAP=60,APC=120,EPB=60,M,N分别是对角线AC,BE的中点, MPN=60+30=90,设PA=2a,则PB=8-2a,PM=a, ,当 时,点M,N之间的距离最短,最短距离为 ,故选:B;【点拨】本题主要考查了考查菱形的性质、勾股定理、二次函数的性质等知识,解题的关键是学会添加
17、常用辅助线,构建二次函数解决最值问题1145【分析】先求出点D、点C的坐标,得出点B、A的坐标,求出抛物线的解析式,得出抛物线的顶点坐标,根据勾股定理求出BC、CE、BE,由勾股定理的逆定理证明BCE为直角三角形,BCE=90,由三角函数证出DBO=CBE,即可得出DBC-CBE=DBC-DBO=OBC=45解:将x=0代入y=x+1,y=1,D(0,1),将x=0代入y=ax2+bx-3得:y=-3,C(0,-3),OB=OC=3OA,B(3,0),A(-1,0),OBC=45,对于直线y=x+1,当y=0时,x=3,直线y=x+1过点B将点C(0,-3)的坐标代入y=a(x+1)(x-3)
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