第15讲三角形 备战2020中考数学考点举一反三讲练(学生版)
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1、 1 第第1515讲讲 三角形三角形 一、考点知识梳理一、考点知识梳理 【考点【考点 1 1 三角形及相关概念】三角形及相关概念】 1三角形的分类 (1)按角分类:锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 (2)按边分类不等边三角形: 等腰三角形、等边三角形、腰与底边不相等的三角形 2三边关系:三角形任意两边之和大于第三边任意两边之差小于第三边. 3内角和定理:三角形的内角和等于 180 4内外角关系:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和三角形的一个外角大于任何一个和它 不相邻的内角 5三角形中的四条重要线段 中线:连接一个顶点与它对边中点的线段高线 高线:从三角形一个顶点到它对边所在直线的
2、垂线段 角平分线:一个内角的平分线与这个角的对边相交,顶点与交点之间的线段 中位线:连接三角形两边中点的线段 【考点【考点 2 2 全等三角形及其性质】全等三角形及其性质】 1全等三角形的定义:能完全重合的两个三角形叫做全等三角形 2全等三角形的性质:(1)全等三角形的对应边相等,对应角相等; (2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高线、中位线)相等,对应周长相等,对应面积相等 3判定两个三角形全等的一般方法有: (1)三边对应相等的两个三角形全等,简记为:边边边 SSS ; (2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简记为:角边角 ASA; (3)两角和其中一角的对边对应相等的两
3、个三角形全等,简记为:角角边 AAS; (4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简记为:边角边 SAS 【考点【考点 3 3 直角三角形及勾股定理】直角三角形及勾股定理】 1.性质:直角三角形中,如果一个锐角等于 30,那么它所对的边等于斜边的一半; (2)直角三角形斜边 的中线等于斜边的一半。 2. 勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方;即 222 cab(、为直角三角形的 直角边,c 为斜边) 。 3.勾股定理的逆定理 如果一个三角形有两条边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形; 2 即:在ABC 中,A、B、C 所对的边分别为a、b、c,若 222
4、 cab,则C=90(即ABC 是直 角三角形) 4.直角三角形的判定: (1)有一个角等于 90的三角形是直角三角形; (2)勾股定理的逆定理。 【考点【考点 4 4 等腰三角形及线段的垂直平分线】等腰三角形及线段的垂直平分线】 1.性质: (1)等边对等角; (2)等腰三角形的顶角的平分线、底边的中线、底边的中线重合(即三线合一) ; (3)等边三角形的各边相等,各角相等,每个角都等于 60. 2.判定: (1)有两个角相等的三角形是等腰三角形; (2)有一个角等于 60的三角形是等腰三角形。 3.线段的垂直平分线: 定理:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 判定:到线段两端点距离
5、相等的点在线段的垂直平分线上 二、考点分析 【考点【考点 1 1 三角形及相关概念】三角形及相关概念】 【解题技巧】1.判断几条线段能否构成三角形:运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形,并不 一定要列出三个不等式,只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判断这三条线段能构成 一个三角形 2.三角形的面积: (1)三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半,即S底高 (2)三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分 【例 1】 (2019 湖北黄石中考)如图,在ABC中,B50,CDAB于点D,BCD和BDC的角平分线 相交于点E,F为边AC的中点,CDCF,则ACD+CED( )
6、A125 B145 C175 D190 【举一反三举一反三 1-1】 (2019 江苏徐州中考)下列长度的三条线段,能组成三角形的是( ) A2,2,4 B5,6,12 C5,7,2 D6,8,10 【举一反三举一反三 1-2】(2019 北京中考) 如图, 已知ABC, 通过测量、 计算得ABC的面积约为 cm 2 (结 果保留一位小数) 3 【举一反三举一反三 1-3】 (2019 江苏徐州中考)如图,矩形ABCD中,AC、BD交于点O,M、N分别为BC、OC的中 点若MN4,则AC的长为 【举一反三举一反三 1-4】 (2019 江苏徐州中考) 【考点【考点 2 2 全等三角形及其性质】
7、全等三角形及其性质】 【解题技巧】1.全等三角形的证明及性质是近几年中考的常考考点,单独考查过,考查方式均为在解题过 程中利用三角形全等的证明及性质得到相关结论涉及到的背景有:(1)与三角形结合;(2)与四边形结合; (3)与圆结合每年都在图形的平移、旋转及位似等图形变换的猜想证明题中考查,设问方式为证明线段之 间的数量关系 2. 判定两个三角形全等的解题思路: SSS SAS 找另一边 找夹角 已知两边 - SAS AAS ASA AAS 找该角的另一边 找这条边上的对角 找这条边上的另一角 边就是角的一条边 找任一角边为角的对边 已知一边一角- AAS ASA 找任一边 找两角的夹边 已知
8、两角- 【例 2】 (2019 湖北孝感中考)如图,正方形ABCD中,点E、F分别在边CD,AD上,BE与CF交于点G若 BC4,DEAF1,则GF的长为( ) 4 A B C D 【举一反三举一反三 2-1】 (2019兰州)如图,ABDE,BFEC,BE,求证:ACDF 【举一反三举一反三 2-2】 (2019 福建中考)已知ABC和点A,如图 (1)以点A为一个顶点作ABC,使ABCABC,且ABC的面积等于ABC面积的 4 倍; (要 求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹) (2)设D、E、F分别是ABC三边AB、BC、AC的中点,D、E、F分别是你所作的ABC三边AB、 BC、CA的
9、中点,求证:DEFDEF 【举一反三举一反三 2-3】 (2019 北京中考)已知AOB30,H为射线OA上一定点,OH+1,P为射线OB上 一点,M为线段OH上一动点,连接PM,满足OMP为钝角,以点P为中心,将线段PM顺时针旋转 150, 得到线段PN,连接ON (1)依题意补全图 1; (2)求证:OMPOPN; (3)点M关于点H的对称点为Q,连接QP写出一个OP的值,使得对于任意的点M总有ONQP,并证明 5 【举一反三举一反三 2-4】 (2019 湖北黄石中考)如图,在ABC中,BAC90,E为边BC上的点,且ABAE, D为线段BE的中点,过点E作EFAE,过点A作AFBC,且
10、AF、EF相交于点F (1)求证:CBAD; (2)求证:ACEF 【举一反三举一反三 2-5】 (2019广州)如图,D是AB上一点,DF交AC于点E,DEFE,FCAB,求证:ADE CFE 【考点【考点 3 3 直角三角形及勾股定理】直角三角形及勾股定理】 【解题技巧】1.勾股定理公式a 2+b2c2 的变形有:a ,b及c 2.由于a 2+b2c2a2,所以 ca,同理cb,即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边 3.勾股定理的逆定理将数转化为形,作用是判断一个三角形是不是直角三角形必须满足较小两边平方的 和等于最大边的平方才能做出判断, 运用勾股定理的逆定理解决问题的实质
11、就是判断一个角是不是直角 然 后进一步结合其他已知条件来解决问题 注意:要判断一个角是不是直角,先要构造出三角形,然后知道三条边的大小,用较小的两条边的平方和 与最大的边的平方比较,如果相等,则三角形为直角三角形;否则不是 【例 3】 (2019 河北唐山中考模拟)如图,在RtABC 中,ABAC,A90,D 为 BC 上任意一点,DF 6 AB 于点 F,DEAC 于点 E,M 为 BC 的中点,连接 EM,FM,给出以下五个结论:AFCE;AEBF; EFM 是等腰直角三角形;S四边形 AEMF1 2S ABC;EFBMMC.当点 D 在 BC 上运动时(点 D 不与 B,C 重合), 上
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