中考数学满分冲刺 (二)- 教案
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1、 第02讲 中考数学满分冲刺(二)冲刺技巧函数类问题中考函数类问题:中考函数有: 一次函数(包括正比例函数)和常值函数,它们所对应的图像是直线; 反比例函数,它所对应的图像是双曲线; 二次函数,它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法,关键是求点的坐标,而求点的坐标基本方法是几何法(图形法)和代数法(解析法)。 函数在中考压轴题中出现的形式: 关于反比例函数的值的几何意义; 一次函数、二次函数、反比例函数的综合; 函数与几何;满分点拨 典例分析一、 反比例函数问题:例1、如图,ABC的三个顶点分别为A(1,2),B(2,5),C(6,1).若函数在第一象限内的图像与ABC
2、有交点,则的取值范围是( )A. 2 B. 610 C. 26 D. 2【答案】A【考点】1.反比例函数图象上点的坐标特征;2.待定系数法的应用;23.曲线上点的坐标与方程的关系;一元二次方程根的判别式【分析】反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是交点为A,过点A(1,2)的反比例函数解析式为,k2随着k的增大,反比例函数的图象必须和BC直线有交点才能满足题意,经过B(2,5),C(6,1)的直线解析式为,联立,消去y,得.函数在第一象限内的图像与ABC有交点,方程有实数根.综上可知2k故选A例2、如图,反比例函数(x0)的图象经过点A(1,1),过点A作ABy轴,垂足为B,在y轴的正半轴上
3、取一点P(0,t),过点P作直线OA的垂线l,以直线l为对称轴,点B经轴对称变换得到的点B在此反比例函数的图象上,则t的值是 ( )A. B. C. D. 【答案】A【考点】1.反比例函数的综合题;2.曲线上点的坐标与方程的关系; 3.等腰直角三角形的性质;4.轴对称的性质;5.方程思想的应用【分析】如答图,连接BB,PB,A点坐标为(1,1),k=11=1.反比例函数解析式为.OB=AB=1,OAB为等腰直角三角形. AOB=45.PQOA,OPQ=45.点B和点B关于直线l对称,PB=PB,BBPQ.BPQ=BPQ=45,即BPB=90. BPy轴,P(0,t),点B在反比例函数的图象上,
4、B点的坐标为().PB=PB,.整理得t2t1=0,解得(舍去).t的值为故选A例3、如图,已知点A是双曲线在第一象限的分支上的一个动点,连结AO并延长交另一分支于点B,以AB为边作等边ABC,点C在第四象限随着点A的运动,点C的位置也不断变化,但点C始终在双曲线(k0)上运动,则k的值 【答案】6【分析】双曲线关于原点对称,点A与点B关于原点对称OA=OB如答图,连接OC,过点A作AEy轴,垂足为E,过点C作CFy轴,垂足为F,ABC是等边三角形,OA=OB,OCABBAC=60tanOAC=OC=OAAEOE,CFOF,OCOA,AEO=FOC,AOE=90FOC=OCFAEOOFCOF=
5、AE,FC=EO设点A坐标为(a,b),点A在第一象限,AE=a,OE=bOF=AE=a,FC=EO=b点A在双曲线上,ab=2FCOF=ba=3ab=6.设点C坐标为(x,y),点C在第四象限,FC=x,OF=yFCOF=x(y)=xy=6xy=6点C在双曲线上,k=xy=6例4、如图,反比例函数(k0)的图象与矩形ABCO的两边相交于E,F两点,若E是AB的中点,SBEF=2,则k的值为 【答案】8.【考点】1.反比例函数系数k的几何意义;2.待定系数法的应用【分析】设E(a,),则B纵坐标也为,E是AB中点,F点横坐标为2a,代入解析式得到纵坐标:,BF=. 点F为BC的中点,二、一次函
6、数、反比例函数与二次函数综合问题:例1、函数y=ax2+1与(a0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )A B C D【答案】B【考点】1.二次函数和反比例函数的图象和性质;2.分类思想的应用【分析】分a0和a0两种情况讨论:当a0时,y=ax2+1开口向上,顶点坐标为(0,1);位于第一、三象限,没有选项图象符合;当a0时,y=ax2+1开口向下,顶点坐标为(0,1);位于第二、四象限,B选项图象符合故选B例2、二次函数(b0)与反比例函数在坐标系中的图象( )A. B. C. D. 【答案】B【考点】1.二次函数和反比例函数的图象与系数的关系;2.数形结合思想的应用【分析】先根据各选项
7、中反比例函数图象的位置确定a的范围,再根据a的范围对抛物线的大致位置进行判断,从而对各选项作出判断:当反比例函数经过第二、四象限时, a0,抛物线(b0)中a0,b0,抛物线开口向下. 所以A选项错误.当反比例函数经过第一、三象限时, a0,抛物线(b0)中a0,b0,抛物线开口向上,抛物线与y轴的交点在x轴上方. 所以B选项正确,C,D选项错误.故选B 例3、如图 双曲线(k0)和抛物线y=ax2+bx(a0)交于A、B、C三点,其中B(3,1),C(1,3),直线CO交双曲线于另一点D,抛物线与x轴交于另一点E(1)求双曲线和抛物线的解析式;(2)抛物线在第一象限部分是否存在点P,使得PO
8、E+BCD=90?若存在,请求出满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)如图,过B作直线lOB,过点D作DFl于点F,BD与OF交于点N,求的值【答案】解:(1)抛物线y=ax2+bx(a0)过B(3,1),C(1,3),解得:.抛物线的解析式为:.把B(3,1)代入(k0)得:,解得:k=3,双曲线的解析式为:(2)存在,设直线BC为,B(3,1),C(1,3),解得.直线BC为:y=x2,直线BC与坐标轴的交点(2,0),(0,2).如答图,连接OB,过O作OMBC,则OM=.B(3,1),C(1,3),OB=OC=.CM=.tanCOM=.COM+BCD=90,POE+BCD=
9、90.POE=COM. tanPOE=2.P点是抛物线上的点,设P(p,).,解得:. P(,1).(3)直线CO过C(1,3),直线CO的解析式为y=3x.解得或(舍去).D(1,3).B(3,1),直线OB的斜率=.直线lOB,过点D作DFl于点F,DFOB.直线l的斜率=3,直线DF的斜率=.直线l过B(3,1),直线DF过D(1,3),直线l的解析式为y=3x+10,直线DF解析式为.解得,F().DF=.DFOB,NDFNBO. .OB=,【考点】1.二次函数和反比例函数综合题;2.待定系数法的应用;3.曲线上点的坐标与方程的关系;4.勾股定理;5.等腰三角形的性质;6.锐角三角函数
10、定义;7.相似三角形的判定和性质.【分析】(1)用待定系数法即可求得(2)过O作OMBC,则OM=,因为OB=OC=,根据勾股定理求得CM=,进而求得tanCOM=,所以tanPOE=2,从而求得P点的坐标(3)根据勾股定理求得DF、OB的长,根据DFOB得出即可求得例4、已知抛物线l:y=ax2+bx+c(a,b,c均不为0)的顶点为M,与y轴的交点为N,我们称以N为顶点,对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线,直线MN为抛物线l的衍生直线(1)如图,抛物线y=x22x3的衍生抛物线的解析式是 ,衍生直线的解析式是 ;(2)若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=2x2+1和
11、y=2x+1,求这条抛物线的解析式;(3)如图,设(1)中的抛物线y=x22x3的顶点为M,与y轴交点为N,将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行,再沿y轴向上平移1个单位得直线n,P是直线n上的动点,是否存在点P,使POM为直角三角形?若存在,求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由【答案】解:(1)y=x23;y=x3(2)衍生抛物线和衍生直线两交点分别为原抛物线与衍生抛物线的顶点,联立,得,解得,或 .衍生抛物线y=2x2+1的顶点为(0,1),原抛物线的顶点为(1,1)设原抛物线为y=a(x1)21,y=a(x1)21过(0,1),1=a(01)21,解得 a=2.原抛物线为y=2
12、x24x+1(3)存在.N(0,3),MN绕点N旋转到与x轴平行后,解析式为y=3.再沿y轴向上平移1个单位得的直线n解析式为y=2设点P坐标为(x,2),O(0,0),M(1,4),OM2=(xMxO)2+(yOyM)2=1+16=17,OP2=(|xPxO|)2+(yOyP)2=x2+4,MP2=(|xPxM|)2+(yPyM)2=(x1)2+4=x22x+5当OM2=OP2+MP2时,有17=x2+4+x22x+5,解得x=或x=,即P(,2)或P(,2)当OP2=OM2+MP2时,有x2+4=17+x22x+5,解得 x=9,即P(9,2)当MP2=OP2+OM2时,有x22x+5=x
13、2+4+17,解得 x=8,即P(8,2)综上所述,当P为(,2)或(,2)或(9,2)或(8,2)时,POM为直角三角形 【考点】1. 新定义;2.二次函数和一次函数综合问题;3.单动点、线动旋转和平移问题;4.待定系数法的应用;5.曲线上点的坐标与方程的关系;6.二次函数的性质;7.勾股定理;8.分类思想的应用.基础夯实1、如图,边长为2的正方形ABCD的顶点A在y轴上,顶点D在反比例函数(x0)的图象上,已知点B的坐标是(),则k的值为 ( )A. B. C. D. 【答案】C【考点】1.正方形的性质;2反比例函数图象上点的坐标特征; 3.全等三角形的判定和性质;4.勾股定理【分析】如答
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