专题4.4三角函数的图像和性质 2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)解析版
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1、第四篇 三角函数与解三角形专题4.04三角函数的图象与性质【考试要求】1.能画出三角函数ysinx,ycosx,ytanx的图象,了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值;2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在0,2上,正切函数在上的性质.【知识梳理】1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数ysinx,x0,2的图象中,五个关键点是:(0,0),(,0),(2,0).(2)余弦函数ycosx,x0,2的图象中,五个关键点是:(0,1),(,1),(2,1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中kZ)函数ysin xycos xytan x图象定义域RRx xk值域1
2、,11,1R周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2k,2k递减区间2k,2k无对称中心(k,0)对称轴方程xkxk无【微点提醒】1.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.对于ytanx不能认为其在定义域上为增函数,而是在每个区间(kZ)内为增函数.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)余弦函数ycos x的对称轴是y轴.()(2)正切函数ytan x在定义域内是增函数.()(3)已知yksin x1,xR,则y的最大值为k1
3、.()(4)ysin|x|是偶函数.()【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】(1)余弦函数ycos x的对称轴有无穷多条,y轴只是其中的一条.(2)正切函数ytan x在每一个区间(kZ)上都是增函数,但在定义域内不是单调函数,故不是增函数.(3)当k0时,ymaxk1;当k0时,ymaxk1.【教材衍化】2.(必修4P46A2,3改编)若函数y2sin 2x1的最小正周期为T,最大值为A,则()A.T,A1 B.T2,A1C.T,A2 D.T2,A2【答案】A【解析】最小正周期T,最大值A211.故选A.3.(必修4P47B2改编)函数ytan的单调递减区间为_.【答案】(kZ)【解析】
4、由k2xk(kZ),得x(kZ),所以ytan的单调递减区间为(kZ).【真题体验】4.(2017全国卷)函数f(x)sin的最小正周期为()A.4 B.2 C. D.【答案】C【解析】由题意T.5.(2017全国卷)函数f(x)sincos的最大值为()A. B.1 C. D.【答案】A【解析】cos cossin,则f(x)sinsinsin,函数的最大值为.6.(2018江苏卷)已知函数ysin(2x) 的图象关于直线x对称,则的值是_.【答案】【解析】由函数ysin(2x)的图象关于直线x对称,得sin1.所以k(kZ),所以k(kZ),又,由正弦曲线得2kx2k(kZ).所以不等式组
5、的解集为.【规律方法】1.三角函数定义域的求法(1)以正切函数为例,应用正切函数ytan x的定义域求函数yAtan(x)的定义域转化为求解简单的三角不等式.(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式.2.简单三角不等式的解法(1)利用三角函数线求解.(2)利用三角函数的图象求解.【训练1】 (1)函数y的定义域为_.(2)函数ylg(sin x)的定义域为_.【答案】(1)【解析】(1)要使函数有意义,必须使sin xcos x0.利用图象,在同一坐标系中画出0,2上ysin x和ycos x的图象,如图所示.在0,2上,满足sin xcos x的x为,再结合正弦、余弦函数的周期是2
6、,所以原函数的定义域为.(2)要使函数有意义必须有即解得(kZ),所以2kx2k(kZ),所以函数的定义域为. (2)考点二三角函数的值域与最值【例2】 (1)y3sin在区间上的值域是_.(2)(2017全国卷)函数f(x)sin2xcos x的最大值是_.(3)函数ysin xcos xsin xcos x的值域为_.【答案】(1)(2)1(3)【解析】(1)当x时,2x,sin,故3sin,即y3sin的值域为.(2)由题意可得f(x)cos2xcos x(cos x)21.x,cos x0,1.当cos x,即x时,f(x)max1.(3)设tsin xcos x,则t2sin2xco
7、s2x2sin xcos x,sin xcos x,且t,所以yt(t1)21.当t1时,ymax1;当t时,ymin.所以函数的值域为.【规律方法】求解三角函数的值域(最值)常见三种类型:(1)形如yasin xbcos xc的三角函数化为yAsin(x)c的形式,再求值域(最值);(2)形如yasin2xbsin xc的三角函数,可先设sin xt,化为关于t的二次函数求值域(最值);(3)形如yasin xcos xb(sin xcos x)c的三角函数,可先设tsin xcos x,化为关于t的二次函数求值域(最值).【训练2】 (1)函数f(x)cos 2x6cos的最大值为()A.
8、4 B.5 C.6 D.7(2)(2019临沂模拟)已知函数f(x)sin,其中x,若f(x)的值域是,则实数a的取值范围是_.【答案】(1)B(2)【解析】(1)由f(x)cos 2x6cos12sin2x6sin x2,又sin x1,1,所以当sin x1时函数的最大值为5.(2)由x,知x.因为x时,f(x)的值域为,所以由函数的图象知a,所以a.考点三三角函数的单调性角度1求三角函数的单调区间【例31】 (1)函数f(x)tan的单调递增区间是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)(2)函数ysin的单调递减区间为_.【答案】(1)B(2),kZ【解析】(1)由k2xk
9、(kZ),得xbc B.acbC.cab D.bac【答案】A【解析】令2kx2k,kZ,解得2kx2k,kZ,函数f(x)2cos在上是减函数,ff.角度3利用单调性求参数【例33】 (2018全国卷)若f(x)cos xsin x在a,a是减函数,则a的最大值是()A. B. C. D.【答案】A【解析】f(x)cos xsin xcos,由题意得a0,故a,因为f(x)cos在a,a是减函数,所以解得00)的单调区间时,要视“x”为一个整体,通过解不等式求解.但如果0)在上单调递增,在区间上单调递减,则_.【答案】(1)C(2)sin 68cos 23cos 97(3)【解析】(1)由x
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