人教A版高中数学选修1-1学案:3.4 生活中的优化问题举例
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1、3.4 生活中的优化问题举例学习目标 1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.知识点 生活中的优化问题的解法(1)优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.(2)利用导数解决生活中优化问题的基本思路(3)解决优化问题的基本步骤分析实际问题中各变量之间的关系,根据实际问题建立数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系 yf(x );求导函数 f(x),解方程 f(x)0;比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小,最大者为最大值,最小者为最小值;依据实际问题的意义给出答案【预习评价】已知某种产品当产量为 x
2、吨(x 0,3)时,其每吨的平均利润为 2x212 万元,则生产该产品的最大利润为_万元解析 由题意知,生产该产品的利润为 f(x)x(2x 212)2x 312x,f(x)6x 2126(x )(x ),由 f(x)0 得 x ,由 f(x)0 得 x ,2 2 2 2故 f(x)在0 , 上单调递减,在 ,3上单调递增,又 f(0)0,f (3)18,故2 2f(x)的最大值为 18,即生产该产品可获得的最大利润为 18 万元.答案 18题型一 用料最省问题【例 1】 如图,有甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的岸边 A 处,乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于离河岸 40 千米的 B处,乙厂到
3、河岸的垂足 D 与 A 相距 50 千米,两厂要在此岸边合建一个供水站 C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米 3a 元和 5a元,问供水站 C 建在岸边何处才能使水管费用最省?解 如题图,由题意知,只有点 C 位于线段 AD 上某一适当位置时,才能使总费用最省.设点 C 距点 D 为 x km,则 BC ,又设总的BD2 CD2 x2 402水管费用为 y 元,依题意有 y3a(50x)5a (020,y25.y 252两栏面积之和为 2(x20) 18 000,y 252由此得 y 25.18 000x 20广告的面积 Sxyx 25x ,(18 000x 20 25) 18 00
4、0xx 20S 25 25.18 000(x 20) x(x 20)2 360 000(x 20)2令 S0 得 x140,令 S0);固定部分为 a 元.(1)把全程运输成本 y(元) 表示为速度 v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域;(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?解 (1)依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为 ,全程运输成本为svya bv 2 s( bv),sv sv av所求函数及其定义域为 ys( bv),v(0 ,c.av(2)由题意 s,a,b,v 均为正数.令 ys (b )0 得 v ,v(0,c .av2 ab若 c,则当 v 时,全程运
5、输成本 y 最小;ab ab若 c,则 v(0,c,ab此时 yc 时,行驶速度 vc.ab规律方法 利润最大问题是生活中常见的一类问题,一般根据“利润收入成本”建立函数关系式,再利用导数求最大值.解此类问题需注意两点:价格要大于或等于成本,否则就会亏本;销量要大于 0,否则不会获利.【训练 3】 某产品每件成本 9 元,售价 30 元,每星期卖出 432 件.如果降低价格,销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 x(单位:元,0x21)的平方成正比 .已知商品单价降低 2 元时,一星期多卖出 24 件.(1)将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数;(2)如何定价才能使
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