2018年山西省太原市高考数学二模试卷(文科)含答案解析
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1、2018 年山西省太原市高考数学二模试卷(文科)一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1 (5 分)设集合 Ax| 1x2,BN ,则集合 AB 的子集的个数是( )A4 B6 C8 D162 (5 分)计算: ( )A2 B2 C2i D2i3 (5 分)设等比数列a n的前 n 项和为 Sn则“a 10” 是“S 3S 2”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件4 (5 分)下列函数中,既是奇函数又在(0,+)单调递增的是( &nbs
2、p;)Aye x+ex Byln(|x|+1) C D5 (5 分)公元 263 年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术” ,利用“割圆术” ,刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14,这就是著名的“徽率” ,如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图,则输出 n 的值为( )(参考数据:sin150.2588 ,sin7.5 00.1305)A6 B12 C24 D486 (5 分)某班从 3 名男生和 2 名女生中任意抽取 2 名学生参加活动,则抽到 2 名学生性第 2 页(共 25 页)别相同的概
3、率是( )A B C D7 (5 分)已知椭圆 的半焦距为 c,原点 O 到经过两点(c,0) ,(0,b)的直线的距离为 ,则椭圆的离心率为( )A B C D8 (5 分)已知 a2 1.1,b5 0.4, ,则( )Abca Bacb Cbac Dabc9 (5 分)已知函数 的一条对称轴为 ,且 f(x 1)f(x 2)4,则| x1+x2|的最小值为( )A B C D10 (5 分)已知实数 x,y 满足 ,若 axy+1a0 恒成立,则实数 a 的取值范围是( )A (,2 B C (,1 D11 (5 分)某空间几何
4、体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A B C D12 (5 分)已知函数 f(x )x 3+ax2+bx 有两个极值点 x1、x 2,且 x1x 2,若x1+2x03x 2,函数 g(x ) f(x)f (x 0) ,则 g(x) ( )第 3 页(共 25 页)A恰有一个零点 B恰有两个零点C恰有三个零点 D至多两个零点二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)13 (5 分)已知非零向量 满足 ,且 ,则向量的夹角的余弦值为 14 (5 分)双曲线 (a0,b0)上一点 M(3,4)关于一条渐近线的对称点恰为
5、双曲线的右焦点 F2,则该双曲线的标准方程为 15 (5 分)已知菱形 ABCD 中, ,BAD60,沿对角线 BD 折成二面角ABDC 为 600 的四面体,则四面体 ABCD 的外接球的表面积为 16 (5 分)数列a n中,若 a12, , ,n N*,则数列|b n|的前n 项和为 三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17 (12 分)已知ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且(1)求角 A;(2)若点 D 满足 ,且 BD3,求 2
6、b+c 的取值范围18 (12 分)按照国家质量标准:某种工业产品的质量指标值落在100,120)内,则为合格品,否则为不合格品某企业有甲乙两套设备生产这种产品,为了检测这两套设备的生产质量情况,随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了 50 件产品作为样本,对规定的质量指标值进行检测表 1 是甲套设备的样本频率分布表,图 1 是乙套设备的样本频率分布直方图表 1:甲套设备的样本频数分布表质量指标值 95, 100) 100,105)105,110)110,115)115,120)120,125频数 1 4 19 20 5 1图 1:乙套设备的样本频率分布直方图(1)将频率视为概率,若乙套设备生
7、产了 5000 件产品,则其中的不合格品约有多少件;第 4 页(共 25 页)(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有 90%的把握认为这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关;甲套设备 乙套设备 合计合格品 不合格品 合理 &n
8、bsp;(3)根据表 1 和图 1,对甲、乙两套设备的优劣进行比较;附:P(K 2k 0) 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635K219 (12 分)如图,四棱锥 PABCD 中,平面 PAD平面 ABCD,底面 ABCD 为梯形,AB CD,AB 2DC 2 ,且PAD 与ABD 均为正三角形, E 为 AD 的中点,G 为PAD 的重心, ACBD F(1)求证:GF平面 PCD;(2)求三棱锥 GPCD 的体积第 5 页(共 25 页)20 (12 分)已知以点 C(0, 1)为圆心的动圆 C 与 y 轴负
9、半轴交于点 A,其弦 AB 的中点D 恰好落在 x 轴上(1)求点 B 的轨迹 E 的方程;(2)过直线 y1 上一点 P 作曲线 E 的两条切线,切点分别为 M,N ,求证:直线MN 过定点21 (12 分)已知函数 f(x )mlnxe x (m0) (1)若函数 f(x )是单调函数,求实数 m 的取值范围;(2)证明:对于任意的正实数 a,b,当 ab 时,都有 请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.选修 4-4:坐标系与参数方程22 (10 分)点 P 是曲线 C1:( x2) 2+y24 上的动点,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立
10、极坐标系,以极点 O 为中心,将点 P 逆时针旋转 90得到点 Q,设点Q 的轨迹为曲线 C2(1)求曲线 C1,C 2 的极坐标方程;(2)射线 , ( 0)与曲线 C1,C 2 分别交于 A,B 两点,设定点 M(2,0) ,求MAB 的面积选修 4-5:不等式选讲23已知实数 a,b 满足 a2+4b24(1)求证: ;(2)若对任意 a,bR,|x +1|x3| ab 恒成立,求实数 x 的取值范围第 6 页(共 25 页)2018 年山西省太原市高考数学二模试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一
11、项是符合题目要求的.1 (5 分)设集合 Ax| 1x2,BN ,则集合 AB 的子集的个数是( )A4 B6 C8 D16【分析】可先求出 AB0,1,2 ,从而可得出 AB 子集的个数【解答】解:AB0 ,1,2 ;AB 的子集个数为: 故选:C【点评】考查描述法、列举法表示集合的概念,交集及其运算,以及子集的概念2 (5 分)计算: ( )A2 B2 C2i D2i【分析】先求出(1i) 2 的值,代入所求式子,利用两个复数代数形式的乘除法,虚数单位 i 的幂运算性质进行化简【解答】解: 2,故选:A【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位 i 的幂运算
12、性质,两个复数相除,分子和分母同时乘以分母的共轭复数3 (5 分)设等比数列a n的前 n 项和为 Sn则“a 10” 是“S 3S 2”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件【分析】分公比 q1 和 q1 两种情况,分别由 a10 推出 S3S 2 成立,再由 S3S 2也分 q1 和 q1 两种情况推出 a10,从而得出结论【解答】解:当公比 q1 时,由 a10 可得 s33a 12a 1s 2,即 S3S 2 成立当 q1 时,由于 q 2+q+11+q ,再由 a10 可得 第 7 页(共 25 页),即 S3S 2 成立故“a
13、10”是“S 3S 2”的充分条件当公比 q1 时,由 S3S 2 成立,可得 a10当 q1 时,由 S3S 2 成立可得 ,再由 ,可得 a10故“a 10”是“S 3S 2”的必要条件综上可得, “a10”是“S 3S 2”的充要条件,故选:C【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义和判断,不等式性质的应用,属于基础题4 (5 分)下列函数中,既是奇函数又在(0,+)单调递增的是( )Aye x+ex Byln(|x|+1) C D【分析】根据函数的单调性和奇偶性判断即可【解答】解:对于 A、B 选项为偶函数,排除,C 选项是奇函数,但在(0, +)上不是单调递
14、增函数故选:D【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性知识5 (5 分)公元 263 年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术” ,利用“割圆术” ,刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14,这就是著名的“徽率” ,如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图,则输出 n 的值为( )(参考数据:sin150.2588 ,sin7.5 00.1305)第 8 页(共 25 页)A6 B12 C24 D48【分析】列出循环过程中 S 与 n 的数值,满足判断框的条件即可结束循环【解答】解:模拟执行程序,可得:n3
15、,S sin120 ,不满足条件 S3.10,n6,S3sin60 ,不满足条件 S3.10,n12,S6sin303,不满足条件 S3.10,n24,S12sin15120.25883.1056,满足条件 S3.10,退出循环,输出 n 的值为 24故选:C【点评】本题考查循环框图的应用,考查了计算能力,注意判断框的条件的应用,属于基础题6 (5 分)某班从 3 名男生和 2 名女生中任意抽取 2 名学生参加活动,则抽到 2 名学生性别相同的概率是( )A B C D【分析】基本事件总数 n 10,抽到 2 名学生性别相同包含的基本事件个数 m4,由此能求出抽到 2 名学生性别相
16、同的概率【解答】解:某班从 3 名男生和 2 名女生中任意抽取 2 名学生参加活动,基本事件总数 n 10,第 9 页(共 25 页)抽到 2 名学生性别相同包含的基本事件个数 m 4,抽到 2 名学生性别相同的概率是 p 故选:B【点评】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题7 (5 分)已知椭圆 的半焦距为 c,原点 O 到经过两点(c,0) ,(0,b)的直线的距离为 ,则椭圆的离心率为( )A B C D【分析】根据椭圆的性质,利用三角形的面积相等,即可求得椭圆的离心率【解答】解:由题意可知:根据三角形的面积公式
17、可知:S bc a ,则a2b,椭圆的离心率 e ,故选:A【点评】本题考查椭圆的离心率公式的求法,考查转化思想,属于基础题8 (5 分)已知 a2 1.1,b5 0.4, ,则( )Abca Bacb Cbac Dabc【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解第 10 页(共 25 页)【解答】解:a2 1.12 12,15 0b5 0.4 2,lne1,abc故选:D【点评】本题考查三个数的大小的判断,考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题9 (5 分)已知函数 的一条对称轴为 ,且 f(x 1)f(x 2)4,则| x1
18、+x2|的最小值为( )A B C D【分析】运用辅助角公式,化简 f(x ) ,由对称轴可得 a 的方程,解得 a1,可得f(x)的解析式,结合正弦函数的最值,即可得到所求最小值【解答】解: , ( 为辅助角) ,由于函数的对称轴为 ,且 ,则 ,解得 a1所以 ,由于 f(x 1)f(x 2)4,所以函数必须取得最大值和最小值,所以 或 ,所以 ,当 k0 时,最小值为 故选:C【点评】本题考查正弦函数的图象和性质,主要考查对称性和最值的应用,以及运算能力,属于中档题第 11 页(共 25 页)10 (5 分)已知实数 x,y 满足 ,若 axy+1a0 恒成立,则实数 a
19、的取值范围是( )A (,2 B C (,1 D【分析】画出约束条件的可行域,化简目标函数,推出 a 的表达式,利用不等式的几何意义,求解范围即可【解答】解:实数 x,y 满足 的可行域如图:可知 x1,axy+1a0 ,可得 a ,即 a 由 axy+1a 0,可得:a ,它的几何意义是可行域内的点与 D(1,1)连线的斜率,由图形可知连线的斜率的最大值为 KBD 最小值与直线 x+y0 平行时的斜率1可得 a(,1故选:C【点评】本题考查线性规划的应用,化简目标函数判断目标函数的几何意义是解题的关键11 (5 分)某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(
20、)第 12 页(共 25 页)A B C D【分析】由三视图得该几何体是从四棱中挖去一个半圆锥,由三视图求出几何元素的长度,由锥体的体积公式求出几何体的体积【解答】解:由三视图得该几何体是从四棱锥 PABCD 中挖去一个半圆锥,四棱锥的底面是以 2 为边长的正方形、高是 2,圆锥的底面半径是 1、高是 2,所求的体积 V ,故选:B【点评】本题考查三视图求几何体的体积,由三视图正确复原几何体是解题的关键,考查空间想象能力12 (5 分)已知函数 f(x )x 3+ax2+bx 有两个极值点 x1、x 2,且 x1x 2,若x1+2x03x 2,函数 g(x ) f(x)f (x 0) ,则 g
21、(x) ( )A恰有一个零点 B恰有两个零点C恰有三个零点 D至多两个零点【分析】由题意可知:x 1、x 2 是方程 3x2+2ax+b0 的两个根,由韦达定理可知:x1+x2 , x1x2 ,由 x1+2x03x 2,x 0 0,令 f(x 1)f (x)的另第 13 页(共 25 页)一个解为 m,即可求得 ma2x 1,则 f(x)f(m )f(x 0) ,【解答】解:f(x )x 3+ax2+bx,求导,f (x)3x 2+2ax+b,由函数 f(x)有两个极值点 x1、x 2,则 x1、x 2 是方程 3x2+2ax+b 0 的两个根,则 x1+x2 ,x 1x2 ,a
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