小五数学第12讲:因数倍数(教师版)—平谷田丰
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1、第十二讲 因数倍数1.如果数 a 能被数 b 整除(b0) ,a 就叫做 b 的倍数,b 就叫做 a 的因数。2.整数 a 除以整数 b(b0) ,除得的商正好是整数而且没有余数,我们就说 a 能被 b整除,或者说 b 能整除 a. 3.因为任何整数都能被 1 整除,所以任何整数都是 1 的倍数,1 是任何整数的因数。 4.因为 0 能被任何不是零的整数整除,所以 0 是任何不是零的整数的倍数,任何不是零的整数也都是 0 的因数。 (为了方便,我们在研究因数和倍数时,所说的数一般指不是零的自然数。 ) 5.一个数最小的因数是 1,最大的因数是它本身;一个数的因数的个数是有限的。 6.一个数最小
2、的倍数是它本身,没有最大的倍数;一个数的倍数的个数是无限的。 7.个位上是 0,2,4,6,8 的数,都能被 2 整除,能被 2 整除的的数叫做偶数,如2,4,6,8,10,12不能被 2 整除的数叫做奇数,如 1,3,5,7,9. 8.个位上是 0 或者 5 的数,都能被 5 整除;一个数的各位上的数的和能被 3 整除,这个数就能被 3 整除。 9.如果一个数的末两位数能被 4 整除,那么这个数就能被 4 整除;如果一个数的各位上的数的和能被 9 整除,那么这个数就能被 9 整除。10.一个数,如果只有 1 和它本身两个因数,这样的数就叫做质数。 11.一个数,如果除了 1 和它本身还有别的
3、因数,这样的数就叫做合数。 12.如果一个自然数的因数是质数,这个因数就叫做这个自然数的质因数。 13.每个合数都可以写成几个质因数相乘的形式;把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。 14.用短除法分解质因数时,先用一个能整除这个合数的质数(通常从最小的开始)去除,得出的商如果是质数,就把除数和商写成相乘的形式,得出的商如果是合数,就照上面的方法继续除下去,直到得出的商是质数为止。然后把各个除数和最后的商写成连乘的形式。15.几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数;其中最大的一个,叫做这几个数的最大公因数。 16.公因数只有 1 的两个数,叫做互质数。如果两个数是互质数,那么它
4、们的最大公因数就只有 1。 17.如果较小的数是较大数的因数,那么它们的最大公因数就是较小的那个数。 18.用分解质因数的方法求两个数的最大公因数,一般用这两个数公有的质因数去除,一直除到所得的商是互质数为止,然后把所有的除数连乘起来。 19.几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数。 20.如果两个数是互质数,那么它们的最小公倍数就是这两个数的乘积。 21.如果较大数是较小数的倍数,那么它们的最小公倍数就是较大的那个数。 22.用分解质因数的方法求两个数的最小公倍数,一般用这两个数公有的质因数去除,一直除到所得的商是互质数为止,然后把所有的除数和最后的
5、两个商连乘起来。1、掌握找一个数的因数和倍数的方法;对常见的一些特殊数字的因数、倍数进行记忆。2、理解和掌握因数和倍数的概念;质数与奇数;偶数与合数的概念的区分。例一:填空在 4、9、36 这三个数中:( )是( )和( )的倍数,( )和( )是( )的因数;36 的因数一共有( )个,它的倍数有( )个。解析:在整数除法中,如果商是整数而没有余数,我们就说被除数是除数的倍数,除数是被除数的因数。找一个数的因数可以一对一对地找,36 的因数有:1、36、2、18、3、12、4、9、6,共 9 个;一个数的倍数的个数是无限的答案:36 4 9,4 9 36;9,无数。例二:圈出 5 的倍数:1
6、5 24 35 40 53 78 92 100 54 45 88 60在以上圈出的数中,奇数有( ),偶数有( )。解析:先根据能被 5 整除的数的特征判断,一个数的个位是 0 或者 5,这个数就是 5 的倍数;在圈出的数中,再根据奇数与偶数的意义判断,个位上是 0 的数是偶数,个位上是5 的数是奇数答案: ;15 35 45;40 100 60。例三:用“偶数”和“奇数”填空:偶数+( )=偶数 偶数偶数=( )( )+奇数=奇数 奇数奇数=( )奇数+( )=偶数 奇数( )=偶数解析:根据有关性质,两个偶数的和为偶数,两个奇数的和为偶数,一个奇数与一个偶数的和为奇数;两个偶数的积为偶数,
7、两个奇数的积为奇数,一个奇数与一个偶数的积为偶数。除了直接利用性质以外,还可引导学生用数据代入法进行分析和解答。答案:偶数 偶数 偶数 奇数 奇数 偶数例四:如果 ( 都是不等于 0 的自然数),那么( )。A. 是 的倍数 B. 和 都是 的倍数 C. 和 都是 的因数 D. 是 的因数解析:根据因数和倍数的意义,由分析可知:如果 ( 都是不等于 0 的自然数),则 , ,所以 和 是 的因数, 是 和 的倍数。答案:C。例五:有三张卡片,在它们上面各写有一个数字 2、3、7,从中至少取出一张组成一个数,在组成的所有数中,有几个是质数?请将它们写出来。解析:从三张卡片中抽出一张,有三种可能,
8、即一位数有三个,分别是 2、3、7,且都为质数;从三张卡片中任意抽取两张,组成的两位数有六个,分别是23、27、32、37、72、73,其中质数有 23、37、73;因为 2+3+7=12,能被 3 整除,所以由2、3、7 组成的任意三位数都能被 3 整除,都不可能是质数。答案:有 6 个是质数,分别是 2、3、7、23、37、73。例六:小丽写了这样的一个算式让小军判断结果是奇数还是偶数:1+2+3+993,小军根据所学知识很快就作出了正确的判断,那么,你认为结果应是奇数还是偶数呢?你是用什么方法来解决这个问题的?答案:9932=4961,则在 1 到 993 的自然数中,有 496 个偶数
9、,497 个奇数,根据数的奇偶性的性质可得:496 个偶数的和为偶数,497 个奇数的和为奇数,偶数+奇数=奇数。所以结果应该是奇数。A一、判断题( )1、任何自然数,它的最大因数和最小倍数都是它本身。解析:因数和倍数的定义答案:( )2、一个数的倍数一定大于这个数的因数。解析:因数和倍数的定义答案:X( )3、个位上是 0 的数都是 2 和 5 的倍数。解析:0 不是答案:X ( )4、一个数的因数的个数是有限的,一个数的倍数的个数是无限的。解析:因数有限,倍数无限答案:( )5、5 是因数,10 是倍数。解析:没有指出是哪个数因数和倍数答案:X 二、填空。1、在 50 以内的自然数中,最大
10、的质数是( ) ,最小的合数是( ) 。解析:质数定义,合适定义答案:47,42、既是质数又是奇数的最小的一位数是( ) 。解析:奇数与质数的定义答案:33、在 20 以内的质数中, ( )加上 2 还是质数。解析:分别列举答案:11、15、174、如果有两个质数的和等于 24,可以是( )( ) , ( )( )或( )( ) 。解析:找到 24 以内的质数加减凑数答案:5, 19, 17, 7, 11, 135、一个数的最小倍数减去它的最大因数,差是( ) 。解析:最小倍数等于最大因数答案:0三、选择题1、15 的最大因数是( ) ,最小倍数是( ) 。1 3 5 15解析:因数倍数定义答
11、案:, 2、在 1427 中,2 和 7 都是 14 的( ) 。质数 因数 质因数解析:因数质数定义答案:3、一个数,它既是 12 的倍数,又是 12 的因数,这个数是( ) 。6 12 24 144解析:带入选项答案:4、一筐苹果,2 个一拿,3 个一拿,4 个一拿,5 个一拿都正好拿完而没有余数,这筐苹果最少应有( ) 。120 个 90 个 60 个 30 个解析:整除 2,3,4,5答案:5、自然数中,凡是 17 的倍数( ) 。都是偶数 有偶数有奇数 都是奇数解析:偶数,奇数定义答案:B1从 0、4、5、8、9 中选取三个数字组成三位数:(1)在能被 2 整除的数中,最大的是( )
12、,最小的是( );(2)在能被 3 整除的数中,最大的是( ),最小的是( );(3)在能被 5 整除的数中,最大的是( ),最小的是( )。解析:被 2,3,5 整除数的特征答案:(1)984,450;(2)984,405;(3)980;405。2将 2、10、13、22、39、64、57、61、1、73、111 按要求填入下面的圈内。解析:奇数偶数质数合数的定义答案:3在四位数 210 的方框里填入一个数字,使它能同时被 2、3、5 整除,最多有( )种填法。A.2 B.3 C.4 D.5解析:被 2、3、5 整除的数的特征答案:C。4下列各数或表示数的式子( 为整数): ,4, , ,0
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