2019年苏教版高二数学选修2-1讲义:2.5 圆锥曲线的统一定义(含解析)
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1、_2.5 圆锥曲线的统一定义对 应 学 生 用 书 P35圆锥曲线的统一定义抛物线可以看成平面内的到定点(焦点) F 的距离与到定直线 (准线)l 的距离的比值等于1(离心率 )的动点的轨迹在坐标平面内有一定点 F(c,0),定直线 x (a0,c0)动点a2cP(x, y)到定点 F(c,0)的距离与到定直线 x 的距离的比为 .a2c ca问题 1:求动点 P(x,y) 的轨迹方程 提示:由 ,(x c)2 y2|a2c x| ca化简得:(a 2c 2)x2a 2y2a 2(a2c 2)问题 2:当 ac,即 01 时,轨迹是什么?ca提示:双曲线圆锥曲线可以统一定义为:平面内到一个定点
2、 F 和到一条定直线 l(F 不在 l 上)的距离的比等于常数 e 的点的轨迹当 0e1 时,它表示椭圆,当 e1 时,它表示双曲线,当 e1 时,它表示抛物线其中 e 是离心率,定点 F 是圆锥曲线的焦点,定直线 l 是圆锥曲线的准线.圆锥曲线的准线从抛物线的定义知,抛物线只有一个焦点和一条准线,那么椭圆、双曲线有几个焦点,几条准线?提示:椭圆、双曲线分别有两个焦点,两条准线椭圆、双曲线和抛物线的准线方程曲线方程 准线方程 曲线方程 准线方程 1(ab0)x2a2 y2b2xa2c 1( ab0)y2a2 x2b2y a2c 1(a0,b0)x2a2 y2b2xa2c 1( a0,b0y2a
3、2 x2b2) y a2cy22px(p0)xp2 x22py(p0)yp2y22px(p0)xp2 x22py(p0)yp2圆锥曲线的第一定义与第二定义的区别椭圆、双曲线的第一定义突出了动点与两定点的距离关系,第二定义主要表现了动点与一定点和一条定直线的距离之比的关系,所以在选用两种定义时可根据题目条件的不同适当选择利用第一定义可以把到一个定点的距离转化为到另一点的距离,利用第二定义可以把到定点与到定直线的距离互相转化,对于抛物线,第一定义与第二定义是一致的对 应 学 生 用 书 P36利用统一定义确定曲线形状例 1 过圆锥曲线 C 的一个焦点 F 的直线 l 交曲线 C 于 A,B 两点,
4、且以 AB 为直径的圆与 F 相应的准线相交,则曲线 C 为_思路点拨 利用圆锥曲线第二定义进行转化,由圆心到直线的距离和半径的大小关系,建立不等式求 e 的范围即可判断精解详析 设圆锥曲线的离心率为 e,M 为 AB 的中点,A,B 和 M 到准线的距离分别为 d1,d 2 和 d,圆的半径为 R,d ,R .由题意知d1 d22 AB2 FA FB2 e(d1 d2)2Rd,则 e1 ,圆锥曲线为双曲线答案 双曲线一点通 解答这种类型的问题时,巧妙应用圆锥曲线的统一定义进行转化,即 e .有时会应用到数形结合的思想方法,这种类型多为客观题,以考查统一定义的PF1d1 PF2d2应用为主1方
5、程 | xy1| 对应点 P(x,y)的轨迹为_(1 x)2 y2解析:由 |x y1|(1 x)2 y2得 .x ( 1)2 y2|x y 1|2 2可看作动点 P(x,y) 到定点(1,0)的距离与到定直线 xy10 的距离比为 1 的轨2迹方程,由圆锥曲线统一定义可知,轨迹为双曲线答案:双曲线2若将例 1 中“相交”二字改为“相离” ,判断曲线的形状;把“相交”二字改为“相切” ,再判断曲线的形状解:设圆锥曲线的离心率为 e,M 是 AB 中点,A,B 和 M 到准线的距离分别为 d1,d 2和 d,圆的半径为 R,则 d ,d1 d22R .AB2 FA FB2 e(d1 d2)2当圆
6、与准线相离时,Rd,即 ,e(d1 d2)2 d1 d220 e 1,圆锥曲线为椭圆当圆与准线相切时,Rd,e 1,圆锥曲线为抛物线.用圆锥曲线的统一定义求轨迹例 2 已知动点 P(x,y )到点 A(0,3)与到定直线 y9 的距离之比为 ,求动点 P 的轨33迹思路点拨 此题解法有两种一是定义法,二是直译法精解详析 法一:由圆锥曲线的统一定义知:P 点的轨迹是一椭圆, c3, 9,a2c则 a227,a3 ,3e ,与已知条件相符333 33椭圆中心在原点,焦点为(0,3),准线 y9.b218,其方程为 1.y227 x218法二:由题意得 .x2 (y 3)2|9 y| 33整理得 1
7、.y227 x218P 点的轨迹是以(0,3) 为焦点,以 y9 为准线的椭圆一点通 解决此类题目有两种方法:是直接列方程,代入后化简整理即得方程是根据定义判断轨迹是什么曲线,然后确定其几何性质,从而得出方程3平面内的动点 P(x,y)(y0)到点 F(0,2)的距离与到 x 轴的距离之差为 2,求动点 P的轨迹解: 如图:作 PMx 轴于 M,延长 PM 交直线 y2 于点 N.PFPM 2,PFPM 2.又 PNPM2,PF PN.P 到定点 F 与到定直线 y2 的距离相等由抛物线的定义知,P 的轨迹是以 F 为焦点,以 y2 为准线的抛物线,顶点在原点,p4.抛物线方程为 x28y(y
8、0) 动点 P 的轨迹是抛物线4在平面直角坐标系 xOy 中,已知 F1(4,0),直线 l:x2,动点 M 到 F1 的距离是它到定直线 l 距离 d 的 倍设动点 M 的轨迹曲线为 E.2(1)求曲线 E 的轨迹方程;(2)设点 F2(4,0),若直线 m 为曲线 E 的任意一条切线,且点 F1,F 2 到 m 的距离分别为d1,d 2,试判断 d1d2 是否为常数,并说明理由解:(1)由题意,设点 M(x,y),则有 MF1 ,(x 4)2 y2点 M(x,y)到直线 l 的距离 d|x(2)|x2| ,故 |x2|,(x 4)2 y2 2化简得 x2y 28.故动点 M 的轨迹方程为
9、x2y 28.(2)d1d2 是常数,证明如下:若切线 m 斜率不存在,则切线方程为 x2 ,2此时 d1d2(ca)( ca)b 28.当切线 m 斜率存在时,设切线 m:ykxt ,代入 x2y 28,整理得:x 2 (kxt )28,即(1k 2)x22 tkx(t 28) 0.(2tk) 24(1k 2)(t28) 0,化简得 t28k 28.又由 kxyt 0,d 1 ,d 2 ,| 4k t|k2 1 |4k t|k2 1d1d2 8,8 为常数|16k2 t2|k2 1 |16k2 (8k2 8)|k2 1综上,对任意切线 m,d 1d2 是常数 .圆锥曲线统一定义的应用例 3
10、已知定点 A(2, ),点 F 为椭圆 1 的右焦点,点 M 在椭圆上运动,3x216 y212求 AM2MF 的最小值,并求此时点 M 的坐标思路点拨 利用统一定义把 MF 转化为点 M 到相应准线的距离,数形结合便可迎刃而解精解详析 a4,b2 ,c 2.3 a2 b2离心率 e .A 点在椭圆内,设 M 到右准线的距离为 d,则 e,即12 MFdMFed d,右准线 l:x8.12AM2MFAM d.A 点在椭圆内,过 A 作 AKl(l 为右准线) 于 K,交椭圆于点 M0.则 A、M、K 三点共线,即 M 与 M0 重合时,AM d 最小为 AK,其值为 8(2)10.故 AM2M
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- 2019 年苏教版高二 数学 选修 讲义 2.5 圆锥曲线 统一 定义 解析
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