2019年苏教版高二数学选修2-1讲义:3.1.2 共面向量定理(含解析)
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1、31.2 共面向量定理对 应 学 生 用 书 P50如图,在平行六面体 ABCDA 1B1C1D1 中,观察下列几组向量,回答问题问题 1: 、 1可以移到一个平面内吗?B提示:可以,因为 ,三个向量可移到平面 ABCD 内问题 2: 1A, C, 1三个向量的位置关系?提示:三个向量都在平面 ACC1A1 内问题 3: 1B、 、 D三个向量是什么关系?提示:相等 1共面向量一般地,能够平移到同一平面内的向量叫做共面向量2共面向量定理如果两个向量 a,b 不共线,那么向量 p 与向量 a,b 共面的充要条件是存在有序实数组(x,y ),使得 pxayb.1空间中任意两个向量都是共面的,空间中
2、任意三个向量可能共面,也可能不共面2向量共面不具有传递性3共面向量定理给出了平面向量的表示式,说明两个不共线的向量能确定一个平面,它是判定三个向量是否共面的依据对 应 学 生 用 书 P51向量共面的判定例 1 给出以下命题:用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量,则这两个向量一定不共面;已知空间四边形 ABCD,则由四条线段 AB、BC、CD、DA 分别确定的四个向量之和为零向量;若存在有序实数组(x,y)使得 OPx Ay B,则 O、P、A、B 四点共面;若三个向量共面,则这三个向量的起点和终点一定共面;若 a,b,c 三向量两两共面,则 a,b,c 三向量共面其中正确命题的序
3、号是_思路点拨 先紧扣每个命题的条件,再充分利用相关概念做出正确的判断精解详析 错:空间中任意两个向量都是共面的;错:因为四条线段确定的向量没有强调方向;正确:因为 OP、 A、 B共面,O、P、A 、B 四点共面;错:没有强调零向量;错:例如三棱柱的三条侧棱表示的向量答案 一点通 共面向量不一定在同一个平面内,但可以平移到同一个平面内判定向量共面的主要依据是共面向量定理1下列说法正确的是_( 填序号) 以三个向量为三条棱一定可以作成一个平行六面体;设平行六面体的三条棱是 AB、 1、 D,则这一平行六面体的对角线所对应的向量是 AB 1 D;若 OP ()成立,则 P 点一定是线段 AB 的
4、中点;12在空间中,若向量 与 C是共线向量,则 A、B、C、D 四点共面若 a,b,c 三向量共面,则由 a,b 所在直线所确定的平面与由 b,c 所在直线确定的平面是同一个平面解析:不正确,正确答案:2已知三个向量 a,b,c 不共面,并且pabc,q 2a3b5c,r7a18b22c ,试问向量 p、q、r 是否共面?解:设 rxpy q,则7a18b22cx (abc)y(2a3b5c)(x2 y)a(x3y)b(x5y)c,Error!解得Error!r 3p 5q.p、 q、r 共面 .向量共面的证明例 2 如图所示,平行六面体 ABCDA 1B1C1D1 中,E 、F 分别在 B
5、1B 和D1D 上,且 BE BB1,DF DD1.证明: 1与 、共面13 23思路点拨 由共面向量定理,只要用 、 线性表示出 1AC即可精解详析 1AC B D 1A B D 1 113 23( 1)( 1)13 23 A E F , 1C与 、共面一点通 利用向量法证明向量共面问题,关键是熟练的进行向量的表示,恰当应用向量共面的充要条件解题过程中注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系,解答本题,实质上是证明存在惟一一对实数 x,y 使向量 1ACx Ey F成立,也就是用空间向量的加、减法则及运算律,结合图形,用 、 表示 1.3如图,正方体 ABCDA 1B1C1D1 中,
6、E,F 分别为 BB1 和 A1D1 的中点证明:向量 1, ,是共面向量证明:法一: EF 1 1B A 1D12 12 ( 1 C 112 1B A.12由向量共面的充要条件知, 1B, C, EF是共面向量法二:连接 A1D,BD,取 A1D 中点 G,连结 FG,BG,则有 FG 綊DD1,12BE 綊 DD1,12FG 綊 BE.四边形 BEFG 为平行四边形EFBG.BG平面 A1BD,EF 平面 A1BDEF平面 A1BD.同理,B 1CA1D,B 1C平面 A1BD, , EF都与平面 A1BD 平行 1, , 是共面向量4已知斜三棱柱 ABCA 1B1C1,点 M,N 分别在
7、 AC1 和 BC 上,且满足AMk 1C, Nk(0k1)求证:与向量 AB, 1共面证明: 如图,在封闭四边形 MABN 中, N.在封闭四边形 MC1CN 中, 1 C k, AMk( 1C)(1k)k,即(1k) MAk 1C0,同理(1k) BNk C0.(1k) k 得 M(1 k ) ABk 1C, 1 1A,(1 k ) k ,故向量 与向量, 1共面.共面向量定理的应用例 3 如图所示,已知 E、 F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 的边AB、 BC、CD、DA 的中点(1)用向量法证明 E,F,G, H 四点共面;(2)用向量法证明 BD平面 EFGH.思路点拨 (1)
8、要证 E,F,G ,H 四点共面,根据共面向量定理的推论,只要能找到实数 x,y,使x y即可(2)要证 BD平面 EFGH,只需证向量 BD与向量 F、 EG共面即可精解详析 (1)如图所示,连接 BG,EG ,则:EG B E ( C )12 F H .由共面向量定理知 E,F,G ,H 四点共面(2)设 Aa,b, ADc,则 BD ca. (cb) a b c,a2 12 12 12 12HF A c (ab) a b c.12 12 12 12 12假设存在 x,y,使 BDx EGy HF.即 cax y( 12a 12b 12c) (12a 12b 12c) a b c.(y2
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- 2019 年苏教版高二 数学 选修 讲义 3.1 向量 定理 解析
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