2019年湘教版数学新选修2-2讲义+精练:6.2.1 直接证明:分析法与综合法(含解析)
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1、62 直接证明与间接证明62.1 直接证明:分析法与综合法读教材填要点综合法和分析法综合法 分析法定义从数学题的已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后达到待证结论或需求的问题,称为综合法从数学题的待证结论或需求问题出发,一步一步地探索下去,最后达到题设的已知条件,称为分析法特点从“已知”看“可知” ,由因导果,寻找必要条件从“未知”看“需知” ,执果索因,寻找充分条件小问题大思维1综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理?提示:综合法与分析法的推理过程是演绎推理,因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理,从而得到的每一个结论都是正确的,不同于合情推理中的“猜想” 2综合法与分析法
2、有什么区别?提示:综合法是从已知条件出发,逐步推向未知,每步寻找的是必要条件;分析法是从待求结论出发,逐步靠拢已知,每步寻找的是充分条件综合法的应用已知 a,b 是正数,且 ab1,求证: 4.1a 1b自主解答 法一:a,bR 且 ab1,a b2 ,当且仅当 ab 时等号成立ab .ab12 4.1a 1b a bab 1ab法二:a,bR ,a b2 0, 2 0,当且仅当 ab 时等号成立ab1a 1b 1ab(ab) 4.(1a 1b)又 ab1, 4.1a 1b法三:a,bR ,且 ab1, 1a 1b a ba a bb1 122 4.ba ab abba当且仅当 ab 时,取“
3、”号保持例题条件不变,求证: 9.4a 1b证明:法一:a0,b0,且 ab1. 4 14a 1b 4a ba a bb 4ba ab52 549.4baab当且仅当 ,即 a2b 时等号成立4ba ab 23法二:a0,b0,且 a b1. (ab) 4 14a 1b (4a 1b) 4ba ab52 549.4baab当且仅当 ,即 a2b 时等号成立4ba ab 23综合法证明问题的步骤(1)分析条件,选择方向:确定已知条件和结论间的联系,合理选择相关定义、定理等(2)转化条件,组织过程:将条件合理转化,书写出严密的证明过程特别地,根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程1在ABC 中
4、,a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边,若 a2b(bc),求证:A2B .证明:a 2b(bc ),cos A ,b2 c2 a22bc b2 c2 b2 bc2bc c b2bcos 2B2cos 2B12 21(a2 c2 b22ac )2 21 ,(b c2a) b c2 2bb c2bb c c b2bcos A cos 2B.又 A,B 是三角形的内角, A2B.分析法的应用当 ab0 时,求证: (ab)a2 b222自主解答 要证 (ab) ,a2 b222只需证( )2 2,a2 b2 22a b即证 a2b 2 (a2b 22ab),即证 a2b 22ab.12因为
5、a2b 22ab 对一切实数恒成立,所以 (ab)成立a2 b222综上所述,不等式得证分析法的证明过程及书写形式(1)证明过程:确定结论与已知条件间的联系,合理选择相关定义、定理对结论进行转化,直到获得一个显而易见的命题即可(2)书写形式:要证,只需证,即证,然后得到一个明显成立的条件,所以结论 成立2已知 a6,求证: .a 3 a 4 a 5 a 6a6,a30,a40 ,a50,a60.又 a3a5, ,a 3 a 5同理有 ,a 4 a 6则 .a 3 a 4 a 5 a 6 abbcca.证明 法一:( 分析法)要证 a2b 2c 2abbc ca ,只需证 2(a2b 2c 2)
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