2019年湘教版数学选修2-1讲义+精练:2.2.2 双曲线的简单几何性质(含解析)
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1、22.2 双曲线的简单几何性质第一课时 双曲线的简单几何性质读教材填要点双曲线的简单几何性质标准方程 1(a0,b0)x2a2 y2b2 1(a0,b0)y2a2 x2b2图形焦点 (c,0) (0,c )焦距 2c 2c范围 x a 或 xa,y R ya 或 ya,xR对称性 对称轴:x 轴和 y 轴,中心:(0,0)顶点 (a,0) (0,a)轴长 实轴长2a,虚轴长2b离心率 e (1 ,)ca性质渐近线 y xbay xab小问题大思维1你能求出双曲线 1 的实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程吗?x24 y23提示:由题意得 a24,b 23,解得 a2,b ,则 c .3 a2 b
2、2 7因此,实轴长 2a4,虚轴长 2b2 .3离心率 e .ca 72渐近线方程为 y x.322如何用 a,b 表示双曲线的离心率?提示: e .ca a2 b2a2 1 b2a23双曲线的离心率与开口大小有关系吗?怎样反映这种关系?提示:e ,当 e 越大时,双曲线开口越大,当 e 越小接近于 1 时,双曲线ca 1 b2a2开口越小4双曲线 1 与 1 的渐近线有什么关系?x2a2 y2b2 y2b2 x2a2提示:双曲线 1 与 1 的渐近线相同x2a2 y2b2 y2b2 x2a2由双曲线的标准方程研究其几何性质求双曲线 9y24x 236 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离
3、心率和渐近线方程自主解答 将 9y24x 236 变形为 1,x29 y24即 1,a3,b2, c .x232 y222 13因此顶点为 A1(3,0) ,A 2(3,0),焦点坐标 F1( ,0),F 2( ,0) ,13 13实轴长是 2a6,虚轴长是 2b4,离心率 e ,ca 133渐近线方程 y x x.ba 23若将“36”改换为“36”呢?解:把方程 9y24x 236 化为标准形式为 1,y24 x29a 2,b3,c .13顶点为(0,2),(0,2) ,焦点坐标为(0, ),(0 , ),13 13实轴长是 2a4,虚轴长是 2b6,离心率 e .ca 132渐近线方程为
4、 y x.23已知双曲线的方程求其几何性质时,若不是标准形式的先化为标准方程,确定方程中a,b 的对应值,利用 c2a 2b 2 得到 c,然后确定双曲线的焦点位置,从而写出双曲线的几何性质1已知双曲线 1 与 1,下列说法正确的是( )x29 y216 y216 x29A两个双曲线有公共顶点B两个双曲线有公共焦点C两个双曲线有公共渐近线D两个双曲线的离心率相等解析:双曲线 1 的焦点和顶点都在 x 轴上,而双曲线 1 的焦点和顶点x29 y216 y216 x29都在 y 轴上,因此可排除选项 A、B;双曲线 1 的离心率 e1 ,而双曲x29 y216 9 169 53线 1 的离心率 e
5、2 ,因此可排除选项 D;易得 C 正确y216 x29 16 916 54答案:C2(2017北京高考)若双曲线 x2 1 的离心率为 ,则实数 m_.y2m 3解析:由双曲线的标准方程可知 a21,b 2m ,所以 e ,解得 m2.1 b2a2 1 m 3答案:2由双曲线的几何性质求标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)一个焦点为(0,13) ,且离心率为 ;135(2)与双曲线 x22y 22 有公共渐近线,且过点 M(2,2) 自主解答 (1)依题意可知,双曲线的焦点在 y 轴上,且 c13,又 ,ca 135所以 a5,b 12,c2 a2故其标准方程为 1.y225 x2
6、144(2)所求双曲线与双曲线 x22y 22 有公共渐近线,设所求双曲线方程为 x22y 2.又双曲线过点 M(2,2) ,则222(2) 2 ,即 4.所求双曲线方程为 1.y22 x24(1)待定系数法求双曲线标准方程的一般步骤是:根据焦点所在的位置设双曲线的标准方程;由已知条件求出待定系数 a,b;将求得的系数 a,b 代入所设方程,即得所求双曲线的标准方程(2)如果已知双曲线的渐近线方程为 y x,那么此双曲线方程可设为ba ( 0)x2a2 y2b23根据下列条件,求双曲线的标准方程(1)已知双曲线的渐近线方程为 y x,焦距为 10;12(2)已知双曲线与曲线 1 共焦点,与曲线
7、 1 共渐近线x224 y249 x236 y264解:(1)当焦点在 x 轴上时,设所求双曲线方程为 1( a0,b0)x2a2 y2b2由渐近线方程为 y x,得12 ,2c10.ba 12又 c2a 2b 2,得 a220,b 25,双曲线的标准方程为 1;x220 y25当焦点在 y 轴上时,可得双曲线的方程为 1,y25 x220所求双曲线的方程为 1 或 1.x220 y25 y25 x220(2)由 1 得双曲线的焦点为(0 ,5) x224 y249又双曲线 1 的渐近线为 y x,x236 y264 43设所求双曲线的标准方程为 1(a0 ,b0),y2a2 x2b2则:Er
8、ror!解得 b29,a 216.所求双曲线方程为 1.y216 x29求双曲线的离心率过双曲线 C: 1( a0,b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,x2a2 y2b2交 C 于点 P.若点 P 的横坐标为 2a,则 C 的离心率为_ 自主解答 如图所示,不妨设与渐近线平行的直线 l 的斜率为 ,ba又直线 l 过右焦点 F(c,0),则直线 l 的方程为 y (xc) 因为点 P 的横坐标为 2a,代入双ba曲线方程得 1,化简得 y b 或 y b(点 P 在 x 轴下方,故舍去),故点 P 的4a2a2 y2b2 3 3坐标为(2 a, b),代入直线方程得 b (2ac),化简
9、可得离心率 e 2 .3 3ba ca 3答案 2 3求双曲线离心率的两种方法(1)直接法:若已知 a,c 可直接利用 e 求解,若已知 a,b,可利用 e 求ca 1 (ba)2解(2)方程法:若无法求出 a,b,c 的具体值,但根据条件可确定 a,b,c 之间的关系,可通过 b2c 2 a2,将关系式转化为关于 a,c 的齐次方程,借助于 e ,转化为关于 e 的can 次方程求解注意 求离心率的范围时,常结合已知条件构建关于 a,b,c 的不等关系4(1)已知双曲线 1( a0,b0)若 2,求双曲线的离心率;x2a2 y2b2 ba(2)设点 P 在双曲线 1( a0,b0)的右支上,
10、双曲线两焦点x2a2 y2b2F1,F 2,| PF1|4| PF2|,求双曲线离心率的取值范围解:(1)c ,a2 b2e .ca a2 b2a2 1 (ba)2 1 22 5(2)由双曲线定义得:| PF1|PF 2|2a,与已知|PF 1|4|PF 2|联立解得:|PF1| a,| PF2| a.83 23由|PF 1| |PF2| |F1F2 |得:a a2c,解得 10,b0) ,依题意,得x2a2 y2b2Error!解得Error!所求双曲线方程为 1.x2359 y235法二:由渐近线方程 3xy0 ,可设所求双曲线方程为 y 2 (0)(*)x219将点 P(2,1)的坐标代
11、入(*),得 35,所求的双曲线方程为 1.x2359 y2351双曲线 1 的渐近线方程是( )x225 y24Ay x By x25 52Cy x Dy x425 254解析:由 0,得 y2 x2,即 y x.x225 y24 425 25答案:A2双曲线 1 的离心率是( )x225 y216A. B.35 53C. D.415 541解析:a 225,b 216,c 2a 2b 241,e .ca 415答案:C3已知双曲线 C: 1 的离心率 e ,且其右焦点为 F2(5,0),则双曲线 C 的x2a2 y2b2 54方程为( )A. 1 B. 1x24 y23 x29 y216C
12、. 1 D. 1x216 y29 x23 y24解析:e ,F 2(5,0),ca 54c 5, a4, b2c 2a 29,双曲线 C 的标准方程为 1.x216 y29答案:C4已知双曲线 x2 1( b0)的一条渐近线的方程为 y2x,则 b_.y2b2解析:双曲线 x2 1( b0)的渐近线方程为 ybx,比较系数得 b2.y2b2答案:25已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2,焦点到渐近线的距离为 6,则该双曲线的离心率为_解析:画图可得相似直角三角形,因此有OAAOFF, 3,ca 62即 e3.答案:36求中心在原点,两顶点间距离为 6,渐近线为 y3x 的双曲线的标准方程解:因
13、为两顶点间的距离为 6,即 2a6,a3.当焦点在 x 轴上时,则有 3, b9.ba双曲线方程为 1.x29 y281当焦点在 y 轴上时,则有 3,b1.ab双曲线方程为 x 21.y29一、选择题1若双曲线 1( a0) 的离心率为 2,则 a 等于( )x2a2 y23A2 B. 3C. D132解析:很明显,双曲线的焦点在 x 轴上,则离心率 e 2,解得 a1.a2 3a答案:D2(2017全国卷)若 a1,则双曲线 y 21 的离心率的取值范围是( )x2a2A( ,) B( ,2)2 2C(1, ) D(1,2)2解析:由题意得双曲线的离心率 e .a2 1a即 e2 1 .a
14、2 1a2 1a2a 1, 0 1,1a21 1 2,1e .1a2 2答案:C3已知双曲线 1(a0,b0)的一个焦点为 F(2,0),且双曲线的渐近线与圆x2a2 y2b2(x2) 2y 23 相切,则双曲线的方程为( )A. 1 B. 1x29 y213 x213 y29C. y 21 Dx 2 1x23 y23解析:由双曲线的渐近线 y x 与圆( x2) 2y 23 相切可知 ,ba|(ba) 2|1 (ba)2 3又Error!解得Error!故所求双曲线的方程为 x2 1.y23答案:D4设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直,
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