2023年中考数学压轴专题：以四边形为载体的几何综合问题（含答案解析）

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1、以四边形为载体的几何综合问题【例1】（2022贵州黔西中考真题）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点（点E不与点B，C重合），且EAF=45(1)当BE=DF时，求证：AE=AF；(2)猜想BE，EF，DF三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；(3)如图2，连接AC，G是CB延长线上一点，GHAE，垂足为K，交AC于点H且GH=AE若DF=a，CH=b，请用含a，b的代数式表示EF的长【例2】（2022辽宁丹东中考真题）已知矩形ABCD，点E为直线BD上的一个动点（点E不与点B重合），连接AE，以AE为一边构造矩形AEFG（A，E，F，G按逆时针方向排列），连接DG

2、(1)如图1，当ADABAGAE1时，请直接写出线段BE与线段DG的数量关系与位置关系；(2)如图2，当ADABAGAE2时，请猜想线段BE与线段DG的数量关系与位置关系，并说明理由；(3)如图3，在（2）的条件下，连接BG，EG，分别取线段BG，EG的中点M，N，连接MN，MD，ND，若AB5，AEB45，请直接写出MND的面积【例3】（2022湖南益阳中考真题）如图，矩形ABCD中，AB15，BC9，E是CD边上一点（不与点C重合），作AFBE于F，CGBE于G，延长CG至点C，使CGCG，连接CF，AC(1)直接写出图中与AFB相似的一个三角形；(2)若四边形AFCC是平行四边形，求CE

3、的长；(3)当CE的长为多少时，以C，F，B为顶点的三角形是以CF为腰的等腰三角形？【例4】（2022四川绵阳中考真题）如图，平行四边形ABCD中，DB23，AB4，AD2，动点E，F同时从A点出发，点E沿着ADB的路线匀速运动，点F沿着ABD的路线匀速运动，当点E，F相遇时停止运动(1)如图1，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，当运动时间为23秒时，设CE与DF交于点P，求线段EP与CP长度的比值；(2)如图2，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为3个单位每秒，运动时间为x秒，AEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？(3

4、)如图3，H在线段AB上且AH13HB，M为DF的中点，当点E、F分别在线段AD、AB上运动时，探究点E、F在什么位置能使EMHM并说明理由【例5】（2022上海中考真题）平行四边形ABCD，若P为BC中点，AP交BD于点E，连接CE(1)若AE=CE，证明ABCD为菱形；若AB=5，AE=3，求BD的长(2)以A为圆心，AE为半径，B为圆心，BE为半径作圆，两圆另一交点记为点F，且CE=2AE若F在直线CE上，求ABBC的值一、解答题【共20题】1（2022山西实验中学模拟预测）综合与实践：问题情境：在综合与实践课上，数学老师出示了一道思考题：如图，在正方形ABCD中，P是射线BD上一动点，

5、以AP为直角边在AP边的右侧作等腰直角三角形APE，使得APE=90，AP=PE，且点E恰好在射线CD上(1)如图1，当点P在对角线BD上，点E在CD边上时，那么BP与CE之间的数量关系是_；探索发现：(2)当点E在正方形ABCD外部时如图2与图3，（1）中的结论是否还成立？若成立，请利用图2进行证明；若不成立，请说明理由；问题解决：(3)如图4，在正方形ABCD中，AB=22，当P是对角线BD的延长线上一动点时，连接BE，若BE=62，求BPE的面积2（2022湖北武汉市新洲区阳逻街第一初级中学三模）（1）如图1，在正方形ABCD中，E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连

6、接CF，并延长CF交AD于点G求证：BCECDG；（2）在（1）的条件下，如图2，延长BF交AD边于点H若CEBC=23，求GHDH的值；（3）如图3，四边形ABCD为矩形，同样沿着BE折叠，连接CF，延长CF，BF分别交AD于G，H两点，若ABBC=34,DHGH=45，则DEEC的值为_（直接写出结果）3（2022浙江嘉兴一模）如图1，已知正方形ABCD和正方形CEFG，点B、C、E在同一直线上，BC=m(m1)，CE=1连接AF、BG(1)求图1中AF、BG的长（用含m的代数式表示）(2)如图2，正方形ABCD固定不动，将图1中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转度（0BC，D是AB的中点，

7、F是BC延长线上一点，平移AB到FH，线段FH的中垂线与线段CA的延长线交于点E，连接EH、DE(1)连接CD，求证：BDC=2DAC；(2)依题意补全图形，用等式表示线段DE，DF，EH之间的数量关系，并证明5（2022浙江绍兴一模）如图，在正方形ABCD中，点E与点F分别在线段AC,BC上，且四边形DEFG是正方形(1)试探究线段AE与CG的关系，并说明理由(2)如图若将条件中的四边形ABCD与四边形DEFG由正方形改为矩形，AB=3，BC=4线段AE,CG在（1）中的关系仍然成立吗？若成立，请证明，若不成立，请写出你认为正确的关系，并说明理由当CDE为等腰三角形时，求CG的长6（2022

8、广东揭西县宝塔实验学校三模）如图1，在矩形ABCD中，AB=8，AD=10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G(1)求线段CE的长；(2)如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且DMN=DAM，设DN=x求证四边形AFGD为菱形；是否存在这样的点N，使DMN是直角三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由7（2022福建省福州教育学院附属中学模拟预测）问题发现(1)如图，RtABC中，C=90，AC=3，BC=4，点P是AB边上任意一点，则CP的最小值为_(2)如图，矩形ABCD中，AB

9、=3，BC=4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小值(3)如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是AB边上一点，且AE=2，点F是BC边上的任意一点，把BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度若不存在，请说明理由8（2022广东 三模）特例发现：如图1，点E和点F分别为正方形ABCD边BC和边CD上一点，当CECF时，则易得BEDF，BEDF(1)如图2，点E为正方形ABCD内一点，且ECF90，CFCE，点E，F在直线CD的两侧，连接EF，BE，DF，探究线段BE与DF之间的关系，并说明

10、理由；(2)如图3，在矩形ABCD中，ABBC12，点E在矩形ABCD内部，ECF90，点E，F在直线BC的两侧，CECF12，连接EF，BE，DE，BF，DF请探究线段DE，BF之间的关系，并说明理由；(3)若（2）中矩形ABCD的边AB3，RtCEF的边CE1，当BEDF时，求BF的长9（2022浙江丽水一模）在菱形ABCD中，AB=6，A=60，点E在AD边上，AE=4，点P是边AB上一个动点，连结EP，将AEP沿EP翻折得到FEP(1)当EFAB时，求AEP的度数；(2)若点F落在对角线BD上，求证：DEFBFP；(3)若点P在射线BA上运动，设直线PF与直线BD交于点H，问当AP为何

11、值时，BHP为直角三角形10（2022广东深圳市南山外国语学校（集团）二模）问题初探：数学兴趣小组在研究四边形的旋转时，遇到了这样的一个问题如图1，四边形ABCD和BEFG都是正方形，BHAE于H，延长HB交CG于点M通过测量发现CMMG为了证明他们的发现，小亮想到了这样的证明方法：过点C作CNBM于点N他已经证明了ABHBCN，但接下来的证明过程，他有些迷茫了(1)请同学们帮小亮将剩余的证明过程补充完整；(2)深入研究：若将原题中的“正方形”改为“矩形”（如图2所示），且ABBC=BGBE=k（其中k0），请直接写出线段CM、MG的数量关系为_；(3)拓展应用：在图3中，在RtABC和RtA

12、DE中，BAC=DAE=90，ACB=AED=30，连接BD、CE，F为BD中点，则AF与CE的数量关系为_11（2022广东佛山市华英学校三模）已知，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，ADBC,ABCD，AC平分BAD(1)如图1，求证：四边形ABCD是菱形；(2)如图2，过点A作ANBC于N，若AC=6，BD=8，求AN的长；(3)如图3，CA=CB，点R为CB延长线上一点，连接OR交AB于点E，点F、H分别是AB、BC边上一点(BFBH)，且OF=OH，过点O作BC的垂线，垂足为M，HOM=BOR，当BF=10，BH=8时，求RB的长12（2022广东测试编辑教研五一模）在矩形A

13、BCD中，ADCD，O是AC的中点，点P是AO上一点，连接PD，过点P作PEPD交BC于点E，连接DE(1)如图（1），点P在AO上运动时DEP的大小是否改变？请说明理由(2)如图（2），连接PB，若PBAC，DEAC交AC于点H，PB=4，DP=26，求ADCD的值13（2021吉林长春市赫行实验学校二模）阅读理解在学习中，我们学习了一个定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在RtABC中，ACB=90，若点D是斜边AB的中点，则CD=12AB灵活应用如图2，ABC中，BAC=90，AB=6，AC=8，点D是BC的中点，将ABD沿AD翻折得到AED，连接BE，CE (1)根

14、据题意，则DE的长为 (2)判断BCE的形状，并说明理由(3)请直接写出CE的长 14（2022广东东莞市光明中学三模）ABC中，BAC=60，AB=AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作菱形ADEF，使DAF=60，连接CF(1)观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，AB与CF的位置关系为：_BC，CD，CF之间的数量关系为：_；(2)数学思考：如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论，是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明(3)拓展延伸：如图3，当点D在线段BC的延长线上时，设AD与CF相交于点G，若已知AB=4，CD

15、=12AB，求AG的长15（2022福建省福州屏东中学三模）如图，抛物线y=ax2-4ax+2(a0)与y轴交于点A，对称轴交x轴于点B，点F是抛物线在第一象限内的一个动点，FCAB交y轴于点C，交x轴于点D，EFx轴于点E，点M是抛物线的顶点，已知在点F的运动过程中，FD的最大值是42(1)求点B的坐标与a的值；(2)当点D恰好是OB的中点时，求点E的坐标；(3)连结AM，作点E关于直线DF的对称点P，当点P落在线段AM上时，则点E的坐标为_.(直接写出答案)16（2022广东深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）【操作与发现】如图，在正方形ABCD中，点N，M分别在边BC、CD上连接AM、AN

16、、MNMAN45，将AMD绕点A顺时针旋转90，点D与点B重合，得到ABE易证：ANMANE，从而可得：DM+BNMN(1)【实践探究】在图条件下，若CN6，CM8，则正方形ABCD的边长是_(2)如图，在正方形ABCD中，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN、MN，MAN45，若tanBAN=13，求证：M是CD的中点(3)【拓展】如图，在矩形ABCD中，AB12，AD16，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN，已知MAN45，BN4，则DM的长是_17（2022辽宁阜新中考真题）已知，四边形ABCD是正方形，DEF绕点D旋转（DEAB），EDF=90，DE=DF，连接AE，

17、CF(1)如图1，求证：ADECDF；(2)直线AE与CF相交于点G如图2，BMAG于点M，BNCF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；如图3，连接BG，若AB=4，DE=2，直接写出在DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值18（2022江苏镇江中考真题）已知，点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边AB、BC、CD、AD上(1)如图1，当四边形EFGH是正方形时，求证：AE+AH=AB；(2)如图2，已知AE=AH，CF=CG，当AE、CF的大小有_关系时，四边形EFGH是矩形；(3)如图3，AE=DG，EG、FH相交于点O，OE:OF=4:5，已知正方形ABCD的边长为16，FH长为2

18、0，当OEH的面积取最大值时，判断四边形EFGH是怎样的四边形？证明你的结论19（2022浙江衢州中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD为对角线.点E是边AB延长线上的任意一点，连结DE交BC于点F，BG平分CBE交DE于点G (1)求证：DBG=90.(2)若BD=6，DG=2GE求菱形ABCD的面积.求tanBDE的值.(3)若BE=AB，当DAB的大小发生变化时（0DAB180），在AE上找一点T，使GT为定值，说明理由并求出ET的值20（2022辽宁朝阳中考真题）【思维探究】如图1，在四边形ABCD中，BAD60，BCD120，ABAD，连接AC求证：BC+CDAC(1)小明

19、的思路是：延长CD到点E，使DEBC，连接AE根据BAD+BCD180，推得B+ADC180，从而得到BADE，然后证明ADEABC，从而可证BC+CDAC，请你帮助小明写出完整的证明过程(2)【思维延伸】如图2，四边形ABCD中，BADBCD90，ABAD，连接AC，猜想BC，CD，AC之间的数量关系，并说明理由(3)【思维拓展】在四边形ABCD中，BADBCD90，ABAD6，AC与BD相交于点O若四边形ABCD中有一个内角是75，请直接写出线段OD的长参考答案解析【例1】（2022贵州黔西中考真题）如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD边上的点（点E不与点B，C重合），且EA

20、F=45(1)当BE=DF时，求证：AE=AF；(2)猜想BE，EF，DF三条线段之间存在的数量关系，并证明你的结论；(3)如图2，连接AC，G是CB延长线上一点，GHAE，垂足为K，交AC于点H且GH=AE若DF=a，CH=b，请用含a，b的代数式表示EF的长【答案】(1)见解析(2)EF=DF+BE，见解析(3)22b+a【分析】（1）先利用正方表的性质求得AB=AD，B=D=90，再利用判定三角形全等的“SAS”求得三角形全等，然后由全等三角形的性质求解；（2）延长CB至M，使BM=DF，连接AM，先易得ABMADFSAS，推出AM=AF，MAB=FAD，进而得到AEMAEFSAS，最后

21、利用全等三角形的性质求解；（3）过点H作HNBC于点N，易得ABEGNHAAS，进而求出HN=22CH，再根据（2）的结论求解（1）证明：四边形ABCD是正方形，AB=AD，B=D=90在ABE和ADF中AB=ADB=DBE=DF，ABEADFSAS，AE=AF；（2）解：BE，EF，DF存在的数量关系为EF=DF+BE理由如下：延长CB至M，使BM=DF，连接AM，则ABM=D=90在ABM和ADF中AB=ADABM=DBM=DF，ABMADFSAS，AM=AF，MAB=FADEAF=45，MAB+BAE=FAD+BAE=45MAE=FAE，在AEM和AEF中AM=AFMAE=FAEAE=A

22、E，AEMAEFSAS，EM=EF，EM=BE+BM，EF=DF+BE；（3）解：过点H作HNBC于点N，则HNG=90GHAE，AKG=ABG=90，BGK=EAB在ABE和GNH中ABE=GNHBAE=NGHAE=GH，ABEGNHAAS，EB=HNHCN=45，HNC=90，sin45=HNHC，HN=22CH，由（2）知，EF=BE+DF=HN+DF=22b+a【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，作出辅助线，构建三角形全等是解答关键【例2】（2022辽宁丹东中考真题）已知矩形ABCD，点E为直线BD上的一个动点（点E不与点B重合），连接AE，

23、以AE为一边构造矩形AEFG（A，E，F，G按逆时针方向排列），连接DG(1)如图1，当ADABAGAE1时，请直接写出线段BE与线段DG的数量关系与位置关系；(2)如图2，当ADABAGAE2时，请猜想线段BE与线段DG的数量关系与位置关系，并说明理由；(3)如图3，在（2）的条件下，连接BG，EG，分别取线段BG，EG的中点M，N，连接MN，MD，ND，若AB5，AEB45，请直接写出MND的面积【答案】(1)BEDG，BEDG(2)BE12DG，BEDG，理由见解析(3)SMNG94【分析】（1）证明BAEDAG，进一步得出结论；（2）证明BAEDAG，进一步得出结论；（3）解斜三角形A

24、BE，求得BE3，根据（2）DGBE=2可得DG6，从而得出三角形BEG的面积，可证得MNDMNG，MNG与BEG的面积比等于1：4，进而求得结果（1）解：由题意得：四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，ABAD，AEAG，BADEAG90，BADDAEEAGDAE，BAEDAG，BAEDAG（SAS），BEDG，ABEADG，ADG+ADBABE+ADB90，BDG90，BEDG；（2）BE12DG，BEDG，理由如下：由（1）得：BAEDAG，ADABAGAE2，BAEDAG，DGBE=ADAB=2，ABEADG，ADG+ADBABE+ADB90，BDG90，BEDG；（3）如图，作AH

25、BD于H，tanABDAHBH=ADAB=2，设AH2x，BHx，在RtABH中，x2+（2x）2（5）2，BH1，AH2，在RtAEH中，tanABEAHEH，AHEH=tan45=1，EHAH2，BEBH+EH3，BDAB2+AD2=(5)2+(25)25，DEBDBE532，由（2）得：DGBE=2，DGBE，DG2BE6，SBEG12BEDG12369，在RtBDG和RtDEG中，点M是BG的中点，点N是CE的中点，DMGM12BG,DN=GN=12EG，NMNM，DMNGMN（SSS），MN是BEG的中位线，MNBE，BEGMNG，SMNGSBEG（GMGB）214，SMNGSMNG

26、14SBEG94【点睛】本题主要考查了正方形，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是类比的方法【例3】（2022湖南益阳中考真题）如图，矩形ABCD中，AB15，BC9，E是CD边上一点（不与点C重合），作AFBE于F，CGBE于G，延长CG至点C，使CGCG，连接CF，AC(1)直接写出图中与AFB相似的一个三角形；(2)若四边形AFCC是平行四边形，求CE的长；(3)当CE的长为多少时，以C，F，B为顶点的三角形是以CF为腰的等腰三角形？【答案】(1)答案不唯一，如AFBBCE(2)CE7.5(3)当CE的长为长为545或3时，以C，F，B为顶点

27、的三角形是以CF为腰的等腰三角形【分析】（1）因为AFB是直角三角形，所以和它相似的三角形都是直角三角形，有三个直角三角形和AFB相似，解答时任意写出一个即可；（2）根据AFBBGC，得AFBG=ABBC，即AFBG=159=53，设AF5x，BG3x，根据AFBBCEBGC，列比例式可得CE的长；（3）分两种情况：当CFBC时，如图2，当CFBF时，如图3，根据三角形相似列比例式可得结论（1）解：（任意回答一个即可）；如图1，AFBBCE，理由如下：四边形ABCD是矩形，DCAB，BCEABC90，BECABF，AFBE，AFB90，AFBBCE90，AFBBCE；AFBCGE，理由如下：C

28、GBE，CGE90，CGEAFB，CEGABF，AFBCGE；AFBBGC，理由如下：ABF+CBGCBG+BCG90，ABFBCG，AFBCGB90，AFBBGC；（2）四边形AFCC是平行四边形，AFCC，由（1）知：AFBBGC，AFBG=ABBC ，即AFBG=159=53，设AF5x，BG3x，CCAF5x，CGCG，CGCG2.5x，AFBBCEBGC，CGBG=CEBC ，即2.5x3x=CE9，CE7.5；（3）分两种情况：当CFBC时，如图2，CGBE，BGGF，CGCG，四边形BCFC是菱形，CFCB9，由（2）知：设AF5x，BG3x，BF6x，AFBBCE，AFBC=B

29、FCE ，即5x9=6xCE，5x6x=9CE，CE545；当CFBF时，如图3，由（1）知：AFBBGC，ABBC=BFCG=159=53 ，设BF5a，CG3a，CF5a，CGCG，BECC，CFCF5a，FGCF2-CG24a，tanCBECEBC=CGBG，CE9=3a4a+5a，CE3；综上，当CE的长为长为545或3时，以C，F，B为顶点的三角形是以CF为腰的等腰三角形【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题【例4】（2022四川绵阳

30、中考真题）如图，平行四边形ABCD中，DB23，AB4，AD2，动点E，F同时从A点出发，点E沿着ADB的路线匀速运动，点F沿着ABD的路线匀速运动，当点E，F相遇时停止运动(1)如图1，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，当运动时间为23秒时，设CE与DF交于点P，求线段EP与CP长度的比值；(2)如图2，设点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为3个单位每秒，运动时间为x秒，AEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并指出当x为何值时，y的值最大，最大值为多少？(3)如图3，H在线段AB上且AH13HB，M为DF的中点，当点E、F分别在线段AD、AB上运动时，探究点E、F在

31、什么位置能使EMHM并说明理由【答案】(1)EPPC=49；(2)y关于x的函数解析式为y=34x20x2-34x2+32x+32x2x4336+23-x-3x433x23；当x=433时，y的最大值为2+233；(3)当EFBD时，能使EMHM理由见解析【分析】（1）延长DF交CB的延长线于点G，先证得AFDBFG，可得AFFB=ADBG，根据题意可得AF=83，AE=23，可得到CG=3，再证明PDEPGC，即可求解；（2）分三种情况讨论：当0x2时，E点在AD上，F点在AB上；当2x433时，E点在BD上，F点在AB上；当433x23时，点E、F均在BD上，即可求解；（3）当EFBD时，

32、能使EMHM理由：连接DH，根据直角三角形的性质，即可求解 （1）解：如图，延长DF交CB的延长线于点G，四边形ABCD是平行四边形，CGAD，AFDBFG，AFFB=ADBG，点E的速度为1个单位每秒，点F的速度为4个单位每秒，运动时间为23秒，AF=83，AE=23，AB=4，AD=2，BF=43， ED=43，8343=2BG，BG=1，CG=3，CGAD，PDEPGC，EPPC=EDGC，EPPC=49；（2）解：根据题意得：当0x2时，E点在AD上，F点在AB上，此时AE=x，AF=3x，DB=23， AB=4，AD=2，AD2+BD2=AB2，ABD是直角三角形，ADAB=12，A

33、BD=30，A=60，如图，过点E作EHAB交于H，EH=AEsin60=32x，y=12AFEH=123x32x=34x2；当x0时，y随x的增大而增大，此时当x=2时，y有最大值3；当2x433时，E点在BD上，F点在AB上，如图， 过点E作ENAB交于N，过点D作DMAB交于M，则ENDM，根据题意得：DE=x-2，BE=23+2-x，在RtABD中，DM=ADsinA=3，AM=1，ENDM，BENBDM，ENDM=BEBD，EN3=2+23-x23EN=1+3-12x，y=12AFEN=12(3x)(1+3-12x)=-34x2+3+32x，此时该函数图象的对称轴为直线x=3+1 ，

34、当2x433时，y随x的增大而增大，此时当x=433时，y有最大值2+233；当433x23时，点E、F均在BD上，过点E作EQAB交于Q，过点F作FPAB交于P，过点D作DMAB于点M，AB+BF=3x，DA+DE=x，AB=4，AD=2，BE=23-x+2，DF=4+3，PFDM，BFPBDM，BFBD=PFDM，即3x-423=PF3，PF=32x-2，EQ/DM，BEQBDM，BEBD=EQDM，即23+2-x23=EQ3，EQ=3+1-12x，y=12AB(EQ-PF)=124(3+1-12x-32x+2)=6+23-1+3x，此时y随x的增大而减小，此时当x=433时，y有最大值2

35、+233；综上所述：y关于x的函数解析式为y=34x20x2-34x2+32x+32x2x4336+23-x-3x433x23当x=433时，y最大值为2+233；（3）解：当EFBD时，能使EMHM理由如下：连接DH，如图，AH=13HB，AB=4，AH=1，由（2）得：此时AHAB，M是DF的中点，HM=DM=MF，EFBD，BDAD，EFAD，EM=DM=FM，EM=HM【点睛】本题是四边形的综合题，熟练掌握平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键【例5】（2022上海中考真题）平行四边形ABCD，若P为BC中点，AP交BD于点E，连接CE(1)若

36、AE=CE，证明ABCD为菱形；若AB=5，AE=3，求BD的长(2)以A为圆心，AE为半径，B为圆心，BE为半径作圆，两圆另一交点记为点F，且CE=2AE若F在直线CE上，求ABBC的值【答案】(1)见解析；62(2)105【分析】（1）连接AC交BD于O，证AOECOE(SSS)，得AOE=COE，从而得COE=90，则ACBD，即可由菱形的判定定理得出结论；先证点E是ABC的重心，由重心性质得BE=2OE，然后设OE=x，则BE=2x，在RtAOE中，由勾股定理，得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2,在RtAOB中，由勾股定理，得OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-

37、9x2,从而得9-x2=25-9x2，解得：x=2,即可得OB=3x=32，再由平行四边形性质即可得出BD长；（2）由A与B相交于E、F，得ABEF，点E是ABC的重心，又F在直线CE上，则CG是ABC的中线，则AG=BG=12AB，根据重心性质得GE=12CE22AE，CG=CE+GE=322AE，在RtAGE中，由勾股定理，得AG2=AE2-GEE=AE2-(22AE)2=12AE2,则AG=22AE,所以AB=2AG=2AE，在RtBGC中，由勾股定理，得BC2=BG2+CG2=12AE2+（322AE）2=5AE2，则BC=5AE，代入即可求得ABBC的值(1)证明：如图，连接AC交B

38、D于O，平行四边形ABCD，OA=OC，AE=CE，OE=OE，AOECOE(SSS)，AOE=COE，AOE+COE=180，COE=90，ACBD，平行四边形ABCD，四边形ABCD是菱形；OA=OC，OB是ABC的中线，P为BC中点，AP是ABC的中线，点E是ABC的重心，BE=2OE，设OE=x，则BE=2x，在RtAOE中，由勾股定理，得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2,在RtAOB中，由勾股定理，得OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9x2,9-x2=25-9x2，解得：x=2,OB=3x=32，平行四边形ABCD，BD=2OB=62；(2)解：如图，A与B

39、相交于E、F，ABEF，由（1）知点E是ABC的重心，又F在直线CE上，CG是ABC的中线，AG=BG=12AB，GE=12CE，CE=2AE，GE=22AE，CG=CE+GE=322AE，在RtAGE中，由勾股定理，得AG2=AE2-GEE=AE2-(22AE)2=12AE2,AG=22AE,AB=2AG=2AE，在RtBGC中，由勾股定理，得BC2=BG2+CG2=12AE2+（322AE）2=5AE2，BC=5AE，ABBC=2AE5AE=105【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，重心的性质，勾股定理，相交两圆的公共弦的性质，本题属圆与四边形综合题目，掌握相关性质是解题的关键，

40、属是考常考题目一、解答题【共20题】1（2022山西实验中学模拟预测）综合与实践：问题情境：在综合与实践课上，数学老师出示了一道思考题：如图，在正方形ABCD中，P是射线BD上一动点，以AP为直角边在AP边的右侧作等腰直角三角形APE，使得APE=90，AP=PE，且点E恰好在射线CD上(1)如图1，当点P在对角线BD上，点E在CD边上时，那么BP与CE之间的数量关系是_；探索发现：(2)当点E在正方形ABCD外部时如图2与图3，（1）中的结论是否还成立？若成立，请利用图2进行证明；若不成立，请说明理由；问题解决：(3)如图4，在正方形ABCD中，AB=22，当P是对角线BD的延长线上一动点时

41、，连接BE，若BE=62，求BPE的面积【答案】(1)CE=2BP；(2)成立，证明见解析；(3)16-42【分析】（1）连接AC，根据正方形的性质和RtAPE是等腰直角三角形，证得ABPACE，可得ABAC=BPCE，即可；（2）连接AC，根据正方形的性质和RtAPE是等腰直角三角形，证得ABPACE，可得ABAC=BPCE，即可；（3）连接AC交BD于点F，过点E作EGBP交直线BP于点G，根据正方形的性质，可得AF=BF=2，再证得FAPGPE，可得FP=EG，PG=AF=2，在RtEGB中，根据勾股定理可得EG=42-2，即可【详解】（1）解：如图，连接AC，四边形ABCD是正方形，A

42、B=DA，BAD=ABC=90，ABP=ACE=BAC=45，cosBAC=BAAC=22，RtAPE是等腰直角三角形，PAE=AEP=45，BAC-CAP=PAE-CAP，BAP=CAE，ABPACE，ABAC=BPCE，BPCE=22即CE=2BP；故答案为：CE=2BP；（2）解：（1）中的结论还成立，证明如下：如图2，连接AC，四边形ABCD是正方形，AB=BC=CD=DA，BAD=ABC=90，ABP=ACE=BAC=45，cosBAC=BAAC=22，RtAPE是等腰直角三角形，PAE=AEP=45，BAC+CAP=PAE+CAP，BAP=CAE，ABPACE，ABAC=BPCE，BPCE=22