2023年中考数学压轴专题：以三角形为载体的几何综合问题（含答案解析）

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1、以三角形为载体的几何综合问题【例1】（2022山东枣庄中考真题）已知ABC中，ACB90，ACBC4cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒2cm的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，设运动的时间为t秒(1)如图，若PQBC，求t的值；(2)如图，将PQC沿BC翻折至PQC，当t为何值时，四边形QPCP为菱形？【例2】（2022山东菏泽中考真题）如图1，在ABC中，ABC=45,ADBC于点D，在DA上取点E，使DE=DC，连接BE、CE(1)直接写出CE与AB的位置关系；(2)如图2，将BED绕点D旋转，得到BED（点B，E分别与点B，E对应），连接

2、CE、AB，在BED旋转的过程中CE与AB的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致?请说明理由；(3)如图3，当BED绕点D顺时针旋转30时，射线CE与AD、AB分别交于点G、F，若CG=FG,DC=3，求AB的长【例3】（2022山东济南中考真题）如图1，ABC是等边三角形，点D在ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60，得到线段AE，连接BD，DE，CE(1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；(2)延长ED交直线BC于点F如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_；如图3，当点F为线段BC中点，且EDEC时，猜想BAD的

3、度数，并说明理由【例4】（2022内蒙古鄂尔多斯中考真题）在ABC中，ABAC，BAC90，AD是ABC的角平分线(1)如图1，点E、F分别是线段BD、AD上的点，且DEDF，AE与CF的延长线交于点M，则AE与CF的数量关系是 ，位置关系是 ；(2)如图2，点E、F分别在DB和DA的延长线上，且DEDF，EA的延长线交CF于点M（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；连接DM，求EMD的度数；若DM62，ED12，求EM的长【例5】（2022辽宁大连中考真题）综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，在ABC中，D是AB上一点，ADC=AC

4、B求证ACD=ABC独立思考：（1）请解答王老师提出的问题实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答“如图2，延长CA至点E，使CE=BD，BE与CD的延长线相交于点F，点G，H分别在BF,BC上，BG=CD，BGH=BCF在图中找出与BH相等的线段，并证明”问题解决：（3）数学活动小组河学时上述问题进行特殊化研究之后发现，当BAC=90时，若给出ABC中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求，该小组提出下面的问题，请你解答“如图3，在（2）的条件下，若BAC=90，AB=4，AC=2，求BH的长”26（2022山东烟台中考真题）(1

5、)【问题呈现】如图1，ABC和ADE都是等边三角形，连接BD，CE求证：BDCE(2)【类比探究】如图2，ABC和ADE都是等腰直角三角形，ABCADE90连接BD，CE请直接写出BDCE的值(3)【拓展提升】如图3，ABC和ADE都是直角三角形，ABCADE90，且ABBCADDE34连接BD，CE求BDCE的值；延长CE交BD于点F，交AB于点G求sinBFC的值一、解答题【共20题】1（2022安徽合肥市五十中学新校二模）ABC和ADE都是等腰直角三角形，ABC=AED=90，F是BD的中点，连接CF、EF(1)如图，当点D、E分别是线段AC、AB上的点时，求EFC的度数；(2)如图，当

6、点E是线段AC上的点时，求证：EF=CF；(3)如图，当点A、E、F共线且E是AF的中点时，探究SBCF和SABF之间的数量关系2（2022上海华东师范大学松江实验中学三模）如图所示，BEF的顶点E在矩形ABCD对角线AC的延长线上，BC=1，AB=3，AE与FB交于点G，连接AF，满足ABFCEB，其中A对应C，B对应E，F对应B(1)求证：FAD=30(2)若CE=13，求tanFEA的值3（2022福建厦门市翔安区教师进修学校（厦门市翔安区教育研究中心）模拟预测）（1）问题发现：如图1，ABC与CDE均为等腰直角三角形，ACB=DCE=90，则线段AE、BD的数量关系为_，AE、BD所在

7、直线的位置关系为_；（2）深入探究：在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为DCE中DE边上的高，请判断ADB的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由4（2020重庆市育才中学二模）（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，B=ADC=90 E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，探究图中BAE、FAD、EAF之间的数量关系小王同学探究此问题的方法：延长FD到点G，使DG=BE连接AG先证明ABEADG，再证AEFAGF，可得出结论，他的结论应是 【灵活运用】（2）如图，若在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180， F、F分别是BC、CD上的点且EF

8、=BE+FD，上述结论是否仍然成立？请说明理由【延伸拓展】（3）如图，在四边形ABCD中，ABC+ADC=180，AB=AD若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，仍然满足EF=BE+FD，请写出EAF与DAB的数量关系，并给出证明过程5（2022北京市三帆中学模拟预测）已知四边形ABCD，A=120，C=60，AB=AD，CDBC，AE是BAD的角平分线，交射线BC于E，线段DC的延长线上取一点F使BE=DF，直线EF，AB交于点G(1)补全图形；(2)猜想AEG的形状，并证明你的猜想；(3)求AB与FG的数量关系6（2022北京市第十九中学三模）如图，在ABC中，ACB=90，ACB

9、C，D是AB的中点，F是BC延长线上一点，平移AB到FH，线段FH的中垂线与线段CA的延长线交于点E，连接EH、DE(1)连接CD，求证：BDC=2DAC；(2)依题意补全图形，用等式表示线段DE，DF，EH之间的数量关系，并证明7（2022安徽合肥一六八中学模拟预测）知识呈现（1）如图1，在四边形ABCD中，ABC与ADC互余，我们发现四边形ABCD中这对互余的角可进行拼合：先作ADF=ABC，再过点A作AEAD交DF于点E，连接EC后，易于发现CD，DE，CE之间的数量关系是_；方法运用（2）如图2，在四边形ABCD中，连接AC，BAC=90，点O是ACD两边垂直平分线的交点，连接OA，O

10、AC=ABC求证：ABC+ADC=90；连接BD，如图3，已知AD=m，DC=n，ABAC=2，求BD的长(用含m，n的式子表示)8（2022浙江宁波一模）若一个三角形的两条边的和等于第三条边的两倍，我们把这个三角形叫做和谐三角形(1)已知ABC是和谐三角形，AB=3，BC=4，请直接写出所有满足条件的AC的长；(2)在ABC中AB=4，BC=8，D为BC边上一点，BD=2，连接AD，若ABD为和谐三角形，求AC的长；(3)如图，在等腰ABC中AB=AC，D为AC的中点，且DBC=A，E为AB上一点，满足AE:EB=3:2，连接DE求证：AED为和谐三角形9（2022广东华南师大附中三模）在我

11、们的数学课本上有这样一道练习题：已知，如图1所示，ABC中BAC=90，AB=AC，直线MN经过点A，BDMN，CEMN，垂足分别为点D，E试判断BD+CE与DE的关系，并给出证明(1)还记得是怎么做的吗？请你再做一遍(2)拓展探究：请从上面的练习题中获取灵感来解决下面的问题：已知，如图2，ABC、DEC均为等腰直角三角形，其中ACB=DCE=90，连接BE、AD，过C点作CPBE于P，延长PC交AD于Q，试判断Q点在AD上的位置，并说明理由10（2021吉林长春市赫行实验学校二模）阅读理解在学习中，我们学习了一个定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在RtABC中，ACB=

12、90，若点D是斜边AB的中点，则CD=12AB灵活应用如图2，ABC中，BAC=90，AB=6，AC=8，点D是BC的中点，将ABD沿AD翻折得到AED，连接BE，CE (1)根据题意，则DE的长为 (2)判断BCE的形状，并说明理由(3)请直接写出CE的长 11（2022广东东莞市光明中学三模）ABC中，BAC=60，AB=AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作菱形ADEF，使DAF=60，连接CF(1)观察猜想：如图1，当点D在线段BC上时，AB与CF的位置关系为：_BC，CD，CF之间的数量关系为：_；(2)数学思考：如图2，当点D在线段CB的延长线上

13、时，结论，是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明(3)拓展延伸：如图3，当点D在线段BC的延长线上时，设AD与CF相交于点G，若已知AB=4，CD=12AB，求AG的长12（2022辽宁鞍山二模）如图所示，在ABC中，点D是BC中点，点E是AC延长线上一点，连接BE、AD(1)如图1，若ABC是等边三角形，点C是AE中点，若AD=23，求BE的长(2)如图2，过点C作CFAB，交AD的延长线于点F，若FAC=BEC，BE=2AD；BAC=60，求证：AB=EC；如图3，若CE=2AB，求CAB13（2021福建福州一模）如图，直角梯形ABCD中，ADBC，DAB

14、=90，AD=4，AB=8，BC=10点E为线段DC的中点，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿折线ABC向点C运动，设点P的运动时间为t(1)点P在运动过程中，BP=_；（用含t的代数式表示）(2)点P在运动过程中，如果以D、P、E为顶点的三角形为等腰三角形，求t的值；(3)当点P运动到线段BC上时，过点P作直线LDC，与线段AB交于点Q，使四边形DQPE为直角梯形，求此时直角梯形DQPE与直角梯形ABCD面积之比14（2021浙江宁波二模）如图，已知RtABC中，ABC90，BC=4，BA8，点D、E分别为BC、BA的中点，作直线AE、CD，设它们的交点为点P(1)猜想：在旋转的过程中

15、，线段AE、CD有怎样的数量和位置关系？答：、(2)利用图2，证明你在（1）中的猜想(3)当点D恰好落在直线AE上时，求线段PC的长(4)在旋转过程中，直接写出PBC面积的最大值15（2021四川乐山三模）在ABC中，CACB，ACB点P是平面内不与点A，C重合的任意一点，将线段AP绕点P逆时针旋转得到线段DP，连接AD，BD，CP(1)观察猜想如图1，当60时，BDCP的值是 ，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 (2)类比探究如图2，当90时，请写出BDCP，并就图2的情形说明理由(3)解决问题当90时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同

16、一直线上时ADCP的值16（2021四川眉山三模）如图，已知边长为10的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连接AE，将AE绕着E点沿顺时针方向旋转90后与DCG的角平分线相交于点F，过F点作BC的垂线交BC的延长线于点G(1)求证：ABEEGF；(2)若EC2，求证ABEEGF；(3)当EC为何值时，CEF的面积最大，并求出其最大值17（2018广东陆丰市湖东中学一模）如图，ABC是等边三角形，D是射线BC上的一个动点（点D不与B，C重合），ADF是以AD为边的等边三角形，过点F作BC的平行线交射线AC于点E，连接BF(1)如图1，点D在线段BC上时，求证：AFBADC；(

17、2)请判断图1中四边形BCEF的形状，并说明理由；(3)若D点在BC边的延长线上，如图2，其它条件不变，请问（2）中结论还成立吗？如果成立，请说明理由18（2022山东东营中考真题）ABC和ADF均为等边三角形，点E、D分别从点A，B同时出发，以相同的速度沿AB、BC运动，运动到点B、C停止.(1)如图1，当点E、D分别与点A、B重合时，请判断：线段CD、EF的数量关系是_，位置关系是_；(2)如图2，当点E、D不与点A，B重合时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3)当点D运动到什么位置时，四边形CEFD的面积是ABC面积的一半，请直接写出答案；此时，四

18、边形BDEF是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明.19（2022辽宁鞍山中考真题）如图，在ABC中，AB=AC，BAC=120，点D在直线AC上，连接BD，将DE绕点D逆时针旋转120，得到线段DE，连接BE，CE(1)求证：BC=3AB；(2)当点D在线段AC上（点D不与点A，C重合）时，求CEAD的值；(3)过点A作ANDE交BD于点N，若AD=2CD，请直接写出ANCE的值20（2022辽宁朝阳中考真题）【思维探究】如图1，在四边形ABCD中，BAD60，BCD120，ABAD，连接AC求证：BC+CDAC(1)小明的思路是：延长CD到点E，使DEBC，连接AE根据BAD+B

19、CD180，推得B+ADC180，从而得到BADE，然后证明ADEABC，从而可证BC+CDAC，请你帮助小明写出完整的证明过程(2)【思维延伸】如图2，四边形ABCD中，BADBCD90，ABAD，连接AC，猜想BC，CD，AC之间的数量关系，并说明理由(3)【思维拓展】在四边形ABCD中，BADBCD90，ABAD6，AC与BD相交于点O若四边形ABCD中有一个内角是75，请直接写出线段OD的长参考答案解析【例1】（2022山东枣庄中考真题）已知ABC中，ACB90，ACBC4cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒2cm的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向

20、终点C运动，设运动的时间为t秒(1)如图，若PQBC，求t的值；(2)如图，将PQC沿BC翻折至PQC，当t为何值时，四边形QPCP为菱形？【答案】(1)当t2时，PQBC(2)当t的值为43时，四边形QPCP为菱形【分析】（1）根据勾股定理求出AB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可（2）作PDBC于D，PEAC于E，证明出ABC为直角三角形，进一步得出APE和PBD为等腰直角三角形，再证明四边形PECD为矩形，利用勾股定理在RtPCE、RtPDQ中，结合四边形QPCP为菱形，建立等式进行求解【详解】（1）解：（1）如图，ACB90，ACBC4cm，ABAC2+BC242+42=42（

21、cm），由题意得，AP2tcm，BQtcm，则BP（422t）cm，PQBC，PQB90，PQBACB，PQAC，BPQ=BACBQP=BCA，BPQBAC，BPBABQBC，42-2t42=t4，解得：t2，当t2时，PQBC（2）解：作PDBC于D，PEAC于E，如图，AP=2t，BQ=tcm，(0t4)C=90，AC=BC=4cm，ABC为直角三角形，A=B=45，APE和PBD为等腰直角三角形，PE=AE=22AP=tcm，BD=PD，CE=AC-AE=(4-t)cm，四边形PECD为矩形，PD=EC=(4-t)cm，BD=(4-t)cm，QD=BD-BQ=(4-2t)cm，在RtPC

22、E中，PC2=PE2+CE2=t2+(4-t)2，在RtPDQ中，PQ2=PD2+DQ2=(4-t)2+(4-2t)2，四边形QPCP为菱形，PQ=PC，t2+(4-t)2=(4-t)2+(4-2t)2，t1=43，t2=4（舍去）t的值为43【点睛】此题是相似形综合题，主要考查的是菱形的性质、等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键【例2】（2022山东菏泽中考真题）如图1，在ABC中，ABC=45,ADBC于点D，在DA上取点E，使DE=DC，连接BE、CE(1)直接写出CE与AB的位置关系；(2)如图2，将BED绕点D旋转，得到BED（点B，E分别与

23、点B，E对应），连接CE、AB，在BED旋转的过程中CE与AB的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致?请说明理由；(3)如图3，当BED绕点D顺时针旋转30时，射线CE与AD、AB分别交于点G、F，若CG=FG,DC=3，求AB的长【答案】(1)CEAB，理由见解析(2)一致，理由见解析(3)53【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得ABC=DAB=45，DCE=DEC=AEH=45，可得结论；（2）通过证明ADBCDE，可得DAB=DCE，由余角的性质可得结论；（3）由等腰直角的性质和直角三角形的性质可得AB=3AD，即可求解【详解】（1）如图，延长CE交AB于H，ABC=45

24、，ADBC，ADC=ADB=90，ABC=DAB=45，DE=CD，DCE=DEC=AEH=45，BHC=BAD+AEH=90，CEAB；（2）在BED旋转的过程中CE与AB的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是一致的，理由如下：如图2，延长CE交AB于H，由旋转可得：CD=DE，BD=AD，ADC=ADB=90，CDE=ADB，CDDE=ADDB=1，ADBCDE,DAB=DCE，DCE+DGC=90，DGC=AGH，DAB+AGH=90，AHC=90，CEAB；（3）如图3，过点D作DHAB于点H，BED绕点D顺时针旋转30，BDB=30,BD=BD=AD，ADB=120,DAB=A

25、BD=30，DHAB,AD=BD，AD=2DH，AH=3DH=BH，AB=3AD，由（2）可知：ADBCDE，DAB=DCE=30，ADBC，CD=3，DG=1，CG=2DG=2，CG=FG=2，DAB=30,DHAB，AG=2GF=4，AD=AG+DG=4+1=5，AB=3AD=53【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质等知识，证明三角形相似是解题的关键【例3】（2022山东济南中考真题）如图1，ABC是等边三角形，点D在ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60，得到线段AE，连接BD，DE，CE(1)判断

26、线段BD与CE的数量关系并给出证明；(2)延长ED交直线BC于点F如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为_；如图3，当点F为线段BC中点，且EDEC时，猜想BAD的度数，并说明理由【答案】(1)BD=CE，理由见解析(2)BE=AE+CE；BAD=45，理由见解析【分析】（1）利用等边三角形的性质和旋转的性质易得到ABDACESAS，再由全等三角形的性质求解；（2）根据线段AD绕点A按逆时针方向旋转60得到AE得到ADE是等边三角形，由等边三角形的性质和（1）的结论来求解；过点A作AGEF于点G，连接AF，根据等边三角形的性质和锐角三角函数求值得到BAF=D

27、AG，AGAD=AFAB，进而得到BADFAG，进而求出ADB=90，结合BD=CE，EDEC得到BD=AD，再用等腰直角三角形的性质求解（1）解：BD=CE证明：ABC是等边三角形，AB=AC，BAC=60线段AD绕点A按逆时针方向旋转60得到AE，AD=AE，DAE=60，BAC=DAE，BAC-DAC=DAE-DAC，即BAD=CAE在ABD和ACE中AB=ACBAD=CAEAD=AE，ABDACESAS，BD=CE；（2）解：BE=AE+CE理由：线段AD绕点A按逆时针方向旋转60得到AE，ADE是等边三角形，AD=DE=AE，由（1）得BD=CE，BE=DE+BD=AE+CE；过点A

28、作AGEF于点G，连接AF，如下图ADE是等边三角形，AGDE，DAG=12DAE=30，AGAD=cosDAG=32ABC是等边三角形，点F为线段BC中点，BF=CF，AFBC，BAF=12BAC=30，AFAB=cosBAF=32，BAF=DAG，AGAD=AFAB，BAF+DAF=DAG+DAF，即BAD=FAG，BADFAG，ADB=AGF=90BD=CE，EDEC，BD=AD，即ABD是等腰直角三角形，BAD=45【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，理解相关知识是解答关键【例4】

29、（2022内蒙古鄂尔多斯中考真题）在ABC中，ABAC，BAC90，AD是ABC的角平分线(1)如图1，点E、F分别是线段BD、AD上的点，且DEDF，AE与CF的延长线交于点M，则AE与CF的数量关系是 ，位置关系是 ；(2)如图2，点E、F分别在DB和DA的延长线上，且DEDF，EA的延长线交CF于点M（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；连接DM，求EMD的度数；若DM62，ED12，求EM的长【答案】(1)AECF， AECF(2)成立，理由见解析；45；6+63【分析】（ 1）证明ADECDF（SAS），由全等三角形的性质得出AECF，DAEDCF，由

30、直角三角形的性质证出EMC90，则可得出结论；（2 ）同（ 1）可证ADECDF（SAS），由全等三角形的性质得出AECF，EF，则可得出结论；过点D作DGAE于点G，DHCF于点H，证明DEGDFH（AAS），由全等三角形的性质得出DGDH，由角平分线的性质可得出答案；由等腰直角三角形的性质求出GM的长，由勾股定理求出EG的长，则可得出答案（1）ABAC，BAC90，AD是ABC的角平分线，ADBDCD，ADBC，ADECDF90，又DEDF，ADECDF（SAS），AECF，DAEDCF，DAE+DEA90，DCF+DEA90，EMC90，AECF故答案为：AECF，AECF；（2）（ 1

31、）中的结论还成立，理由：同（1 ）可证ADECDF（SAS），AECF，EF，F+ECF90，E+ECF90，EMC90，AECF；过点D作DGAE于点G，DHCF于点H，EF，DGEDHF90，DEDF，DEGDFH（AAS），DGDH，又DGAE，DHCF，DM平分EMC，又EMC90，EMD12EMC45；EMD45，DGM90，DMGGDM，DGGM，又DM=62 DGGM6，DE12，EGED2+DG2=122+62=63 EMGM+EG6+63【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解

32、题的关键【例5】（2022辽宁大连中考真题）综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，在ABC中，D是AB上一点，ADC=ACB求证ACD=ABC独立思考：（1）请解答王老师提出的问题实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答“如图2，延长CA至点E，使CE=BD，BE与CD的延长线相交于点F，点G，H分别在BF,BC上，BG=CD，BGH=BCF在图中找出与BH相等的线段，并证明”问题解决：（3）数学活动小组河学时上述问题进行特殊化研究之后发现，当BAC=90时，若给出ABC中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均

33、可求，该小组提出下面的问题，请你解答“如图3，在（2）的条件下，若BAC=90，AB=4，AC=2，求BH的长”【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）BH=173.【分析】（1）利用三角形的内角和定理可得答案；（2）如图，在BC上截取BN=CF, 证明CEFBDN, 再证明EF=DN,EFC=DNB, 证明GHBCND, 可得BH=DN, 从而可得结论；（3）如图，在BC上截取BN=CF, 同理可得：BH=DN=EF, 利用勾股定理先求解BC=22+42=25, 证明ADCACB, 可得AD=1,CD=5, 可得BG=CD=5, 证明BGHBCF, 可得BF=2BH, 而EF=GH

34、, 可得BE=3BH, 再利用勾股定理求解BE，即可得到答案【详解】证明：（1）ADC=ACB,A=A, 而ACD=180-A-ADC,ABC=180-A-ACB, ACD=ABC, （2）BH=EF, 理由如下：如图，在BC上截取BN=CF, BD=CE,ACD=ABC, CEFBDN, EF=DN,EFC=DNB, BGH=BCF，GBN=FBC, BHG=BFC, EFC=BND, BFC=DNC, BHG=DNC, BG=CD, GHBCND, BH=DN,BH=EF.（3）如图，在BC上截取BN=CF, 同理可得：BH=DN=EF, AC=2,AB=4,BAC=90, BC=22+4

35、2=25, DAC=BAC,ACD=ABC, ADCACB, ADAC=ACAB=CDBC, AD2=24=CD25, AD=1,CD=5, BG=CD=5, GBH=FBC,BGH=BCF, BGHBCF, BGBC=GHCF=BHBF=525=12, BF=2BH, 而EF=GH, BE=3BH, AB=4,AD=1,BD=CE, BD=CE=3, AE=3-2=1, 而BAE=BAC=90, BE=AB2+AE2=17, BH=173.【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出适当的辅助线构建全等三角形是解本题的关键

36、26（2022山东烟台中考真题）(1)【问题呈现】如图1，ABC和ADE都是等边三角形，连接BD，CE求证：BDCE(2)【类比探究】如图2，ABC和ADE都是等腰直角三角形，ABCADE90连接BD，CE请直接写出BDCE的值(3)【拓展提升】如图3，ABC和ADE都是直角三角形，ABCADE90，且ABBCADDE34连接BD，CE求BDCE的值；延长CE交BD于点F，交AB于点G求sinBFC的值【答案】(1)见解析(2)22(3)35；45【分析】（1）证明BADCAE，从而得出结论；（2）证明BADCAE，进而得出结果；（3）先证明ABCADE，再证得CAEBAD，进而得出结果；在的

37、基础上得出ACEABD，进而BFCBAC，进一步得出结果【详解】（1）证明：ABC和ADE都是等边三角形，ADAE，ABAC，DAEBAC60，DAEBAEBACBAE，BADCAE，BADCAE（SAS），BDCE；（2）解：ABC和ADE都是等腰直角三角形，ABAE=ABAC=12，DAEBAC45，DAEBAEBACBAE，BADCAE，BADCAE，BDCE=ABAC=12=22；（3）解：ABAC=ADDE=34，ABCADE90，ABCADE，BACDAE，ABAC=ADAE=35，CAEBAD，CAEBAD，BDCE=ADAE=35 ；由得：CAEBAD，ACEABD，AGCBG

38、F，BFCBAC，sinBFC=BCAC=45【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形一、解答题【共20题】1（2022安徽合肥市五十中学新校二模）ABC和ADE都是等腰直角三角形，ABC=AED=90，F是BD的中点，连接CF、EF(1)如图，当点D、E分别是线段AC、AB上的点时，求EFC的度数；(2)如图，当点E是线段AC上的点时，求证：EF=CF；(3)如图，当点A、E、F共线且E是AF的中点时，探究SBCF和SABF之间的数量关系【答案】(1)EFC=90(2)见解析(3)SAFB=2SB

39、FC【分析】（1）由直角三角形的性质可求FEB=FBE，FBC=FCB，由等腰三角形的性质可求解；（2）由“角边角”可证DEFBHF，可得EF=FH，DE=BH，由等腰直角三角形的性质可求解；（3）通过证明AFBADC，可得AFB=ADC=135，SAFB=2SADC，即可求解【详解】（1）DEB=DCB=90，点F是BD的中点，DF=BF=EF=CF，FEB=FBE，FBC=FCB，EFC=EFD+CFD=2EBF+2CBF=2ABC，ABC是等腰直角三角形，ABC=45，EFC=90；（2）如图2，延长EF交BC于点H， AED=DEC=ACB=90，DEBC，EDF=CBF，又DF=BF

40、，DFE=BFH，DEF BHF，EF=FH，DE=BH，AC=BC，CE=CH，又ECH=90，EF=FH，CF=EF；（3）如图，连接CD， E是AF的中点，AE=EF，ADE是等腰直角三角形，DAE=ADE=45，DEF=90，AE=DE=EF，EDF=EFD=45=DAE，ADF=90，AD=DF，AF=2AD，ACB是等腰直角三角形，BAC=DAF=45，AB=2AC，DAC=BAF，ABAC=AFAD=2，AFB ADC，AFB=ADC=135，SAFB=2SADC，CDF=45=AFD，AFCD，SADC=SDCF，F是BD的中点，SBCF=SDCF=SADC，SAFB=2SBF

41、C【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键2（2022上海华东师范大学松江实验中学三模）如图所示，BEF的顶点E在矩形ABCD对角线AC的延长线上，BC=1，AB=3，AE与FB交于点G，连接AF，满足ABFCEB，其中A对应C，B对应E，F对应B(1)求证：FAD=30(2)若CE=13，求tanFEA的值【答案】(1)见解析(2)937【分析】（1）由相似可得FAB=BCE，再由矩形的性质得ADBC ，DAB=ABC=90，从而可求得FAD+DAB+DAC=180，则有FAD=BAC，即可求得FAD的度数；（2）结合（1）可求得AE=73，再由相似的性质求得AF=33，即可求tanFEA的值（1）ABFCEB，FAB=BCE，四边形ABCD是