2023年中考数学压轴专题：二次函数与旋转变换综合问题（含答案解析）

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1、二次函数与旋转变换综合问题【例1】（2022凉山州）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yx2+bx+c经过点A（1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90，点C落在抛物线上的点P处（1）求抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【例2】（2022梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线yx4分别与x，y轴交于点A，B，抛物线yx2+bx+c恰好经过这两点（1）求此抛物线的解析式；（2）

2、若点C的坐标是（0，6），将ACO绕着点C逆时针旋转90得到ECF，点A的对应点是点E写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；若点P是y轴上的任一点，求BP+EP取最小值时，点P的坐标【例3】（2022辽宁）如图，抛物线yax23x+c与x轴交于A（4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第二象限且时，求点D的坐标；（3）当ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标【例4】（2022河池）在平面直角坐标系中，抛物线L1：

3、yax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线L1的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；（2）如图，连接BD，若点E在线段BD上运动（不与B，D重合），过点E作EFx轴于点F，设EFm，问：当m为何值时，BFE与DEC的面积之和最小；（3）若将抛物线L1绕点B旋转180得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N问：在抛物线L2的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由一解答题（共20小题）1（2022碑林区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线W1与x轴

4、交于A，B两点，与y轴交于点C（0，6），顶点为D（2，2）（1）求抛物线W1的表达式；（2）将抛物线W1绕原点O旋转180得到抛物线W2，抛物线W2的顶点为D，在抛物线W2上是否存在点M，使SDADSDDM？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由2（2022双流区模拟）如图，抛物线C：yax2+6ax+9a8与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），已知点B的横坐标是2，抛物线C的顶点为D（1）求a的值及顶点D的坐标；（2）点P是x轴正半轴上一点，将抛物线C绕点P旋转180后得到抛物线C1，记抛物线C1的顶点为E，抛物线C1与x轴的交点为F，G（点F在点G的右侧）当点P与点B重合时

5、（如图1），求抛物线C1的表达式；（3）如图2，在（2）的条件下，从A，B，D中任取一点，E，F，G中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线C1为抛物线C的“勾股伴随同类函数”当抛物线C1是抛物线C的勾股伴随同类函数时，求点P的坐标3（2022灞桥区校级模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+6与x轴、y轴的交点分别为A、B，其中点C是x轴上一点，OC3（1）求过A、B、C三点的抛物线L的解析式；（2）将抛物线L绕着点O旋转180得到抛物线L1，抛物线L1与x轴交于F点、E点（点F在点E的左侧），与y轴交于点M，则抛物线L1的对称轴上是否存在一点Q，使|Q

6、FQM|的值最大？若存在，求出点Q的坐标及其最大值，若不存在，请说明理由4（2022莲湖区二模）已知抛物线W1：yax2bx3与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点与y轴交于点C，顶点为D（1）求抛物线W1的表达式；（2）将抛物线W1绕原点O旋转180后得到抛物线W2，W2的顶点为D，点M为W2上的一点，当DDM的面积等于ABC的面积时，求点M的坐标5（2022深圳三模）已知抛物线yax2+c过点A（2，0）和D（1，3）两点，交x轴于另一点B（1）求抛物线解析式；（2）如图1，点P是BD上方抛物线上一点，连接AD，BD，PD，当BD平分ADP时，求P点坐标；（3）将抛物线图象绕原点O顺时针

7、旋转90形成如图2的“心形”图案，其中点M，N分别是旋转前后抛物线的顶点，点E、F是旋转前后抛物线的交点直线EF的解析式是 ；点G、H是“心形”图案上两点且关于EF对称，则线段GH的最大值是 6（2022无锡二模）二次函数yax2+bx+4的图象与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，且A（1，0）、B（4，0）（1）求此二次函数的表达式；（2）如图1，抛物线的对称轴m与x轴交于点E，CDm，垂足为D，点F（，0），动点N在线段DE上运动，连接CF、CN、FN，若以点C、D、N为顶点的三角形与FEN相似，求点N的坐标；如图2，点M在抛物线上，且点M的横坐标是1，将射线MA绕点M逆时针旋转45，交

8、抛物线于点P，求点P的坐标；（3）已知Q在y轴上，T为二次函数对称轴上一点，且QOT为等腰三角形，若符合条件的Q恰好有2个，直接写出T的坐标7（2022沙湾区模拟）如图，抛物线f（x）：ya（x+1）（x5）与x轴交于点A、B（点A位于点B左边），与y轴交于点C（0，（1）求抛物线f（x）的解析式；（2）作点C关于x轴的对称点C，连接线段AC，作CAB的平分线AE交抛物线于点E，将抛物线f（x）沿对称轴向下平移经过点C得到抛物线f（x）在射线AE上取点F，连接FC，将射线FC绕点F逆时针旋转120交抛物线f（x）于点P当ACF为等腰三角形时，求点P的横坐标8（2022灌南县二模）如图，抛物线y

9、ax2+bx+3经过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为M，连接MA，MC，AC，过点C作y轴的垂线l（1）求该抛物线的表达式；（2）直线l上是否存在点N，使得SMBN2SMAC？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由（3）如图2，若将原抛物线绕点C逆时针旋转45，求新抛物线与y轴交点P坐标9（2022红花岗区三模）如图（1），ABC中，ACBC6，C90，点P在线段AC上，从C点向A点运动，PBE90，BPBE，PE交BC于点D，完成下列问题：（1）点E到BC边的距离为 ；若CDx，BDE的面积为S，则S与x的函数关系式为 ；（不写自变量取值范围）（2）当BDE的

10、面积为15时，若PCAC，以C为原点，AC、BC所在直线分别为x、y轴建立坐标系如图（2），抛物线C1过点A、D、B；点Q在抛物线C1上，且位于线段PB的下方，过点Q作QNPB，垂足为点N，是否存在点Q，使得QN最长，若存在，请求出QN的长度和Q点坐标；若不存在，请说明理由；将抛物线C1绕原点C旋转180，得到抛物线C2，当2axa时（a0），抛物线C2有最大值2a，求a值10（2022乳源县三模）如图，对称轴为直线x1的抛物线ya（xh）2+k（a0）图象与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其中点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，4）（1）求该抛物线的解析式；（2）

11、如图1，若点P为抛物线上第二象限内的一个动点，点M为线段CO上一动点，当APC的面积最大时，求APM周长的最小值；（3）如图2，将原抛物线绕点A旋转180，得新抛物线y，在新抛物线y的对称轴上是否存在点Q使得ACQ为等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由11（2021秋亭湖区期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c经过点A（0，3），与x轴的交点为B、C，直线l：y2x+2与抛物线相交于点C，与y轴相交于点D，P是直线l下方抛物线上一动点（1）求抛物线的函数表达式；（2）过点P作线段PMx轴，与直线l相交于点M，当PM最大时，求点P的坐标及PM的最大值；（3

12、）把抛物线绕点O旋转180，再向上平移使得新抛物线过（2）中的P点，E是新抛物线与y轴的交点，F为原抛物线对称轴上一点，G为平面直角坐标系中一点，直接写出所有使得以B、E、F、G为顶点、BF为边的四边形是菱形的点G的坐标，并把求其中一个点G的坐标的过程写出来12（2021秋北京期中）定义：如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时，抛物线C2的顶点在抛物线C1上，则称抛物线C1与C2关联例如，如图，抛物线yx2的顶点（0，0）在抛物线yx2+2x上，抛物线yx2+2x的顶点（1，1）也在抛物线yx2上，所以抛物线yx2与yx2+2x关联（1）已知抛物线C1：y（x+1）22，分别判断抛物线C2：

13、yx2+2x+1和抛物线C3：y2x2+2x+1与抛物线C1是否关联；（2）抛物线M1：的顶点为A，动点P的坐标为（t，2），将抛物线M1绕点P（t，2）旋转180得到抛物线M2，若抛物线M1与M2关联，求抛物线M2的解析式；（3）抛物线M1：的顶点为A，点B是与M1关联的抛物线的顶点，将线段AB绕点A按顺时针方向旋转90得到线段AB1，若点B1恰好在y轴上，请直接写出点B1的纵坐标13（2021锡山区一模）如图，抛物线yx2+bx+c的顶点为M，对称轴是直线x1，与x轴的交点为A（3，0）和B，将抛物线yx2+bx+c绕点B逆时针方向旋转90，点M1、A1为点M、A旋转后的对应点，旋转后的抛

14、物线与y轴相交于C，D两点（1）写出点B的坐标及求原抛物线的解析式；（2）求证A，M，A1三点在同一直线上；（3）设点P是旋转后抛物线上DM1之间的一动点，是否存在一点P，使四边形PM1MD的面积最大？如果存在，请求出点P的坐标及四边形PM1MD的面积；如果不存在，请说明理由14（2022秋道里区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线yx+3交x轴于点A，y轴于点D，抛物线yx2+bx3与x轴交于A，B两点，交y轴于点C（1）求抛物线的解析式；（2）P在第三象限抛物线上，P点横坐标为t，连接AP、DP，APD的面积为s，求s关于t的函数关系式；（不要求写自变量t的取值范围）（

15、3）在（2）的条件下，PD绕点P逆时针旋转，与线段AD相交于点E，且EPD2PDC，过点E作EFPD交PD于G，y轴于点F，连接PF，若，求线段PF的长15（2022秋大兴区期中）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是平行四边形，点A（4，0），AOC60，点C的纵坐标为，点D是边BC上一点，连接OD，将线段OD绕点O逆时针旋转60得到线段OE给出如下定义：如果抛物线yax2+bx（a0）同时经过点A，E，则称抛物线yax2+bx（a0）为关于点A，E的“伴随抛物线”（1）如图1，当点D与点C重合时，点E的坐标为 ，此时关于点A，E的“伴随抛物线”的解析式为 ；（2）如图2，当点D在边

16、BC上运动时，连接CE当CE取最小值时，求关于点A，E的“伴随抛物线”的解析式；若关于点A，E的“伴随抛物线”yax2+bx（a0）存在，直接写出a的取值范围16（2020秋天心区期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：yx2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D，其中A（4，0），B（4，0），设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180，得到新的抛物线C（1）求抛物线C的函数解析式；（2）若抛物线C与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围；（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C上的对应点P，设M是

17、C上的动点，N是C上的动点，试探究四边形PMPN能否成为正方形？若能，求出m的值；若不能，请说明理由17（2022大庆模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）（1）求n的值和抛物线的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0t4）DEy轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；（3）M是平面内一点，将AOB绕点M沿逆时针方向旋转90后，得到A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1若

18、A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标18（2022苏州一模）如图，二次函数yx2+bx+4的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（8，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）（1）b ，点B的坐标是 ；（2）连接AC、BC，证明：CBA2CAB；（3）点D为AC的中点，点E是抛物线在第二象限图象上一动点，作DE，把点A沿直线DE翻折，点A的对称点为点G，点E运动时，当点G恰好落在直线BC上时，求E点的坐标19（2022大连模拟）已知抛物线G：y（m+1）x2+2（n1）x+n+1（m1，m为常数）的对称轴与直线ykx+k（k0，k为常数）相

19、交于x轴上一点P（1）求m与n的数量关系；（2）若直线ykx+k与y轴交于点Q，且OQOP，把直线ykx+k绕点Q顺时针旋转45得到的直线与抛物线G相交于A、B两点，若AB4，求m的值；将直线ykx+k向上平移2k个单位，得到的直线与抛物线G的两个交点的横坐标x1，x2满足2x1x22，求m的取值范围20（2021兰州）如图1，二次函数ya（x+3）（x4）图象交坐标轴于点A，B（0，2），点P为x轴上一动点（1）求二次函数ya（x+3）（x4）的表达式；（2）过点P作PQx轴分别交线段AB，抛物线于点Q，C，连接AC当OP1时，求ACQ的面积；（3）如图2，将线段PB绕点P逆时针旋转90得到

20、线段PD当点D在抛物线上时，求点D的坐标参考答案解析【例1】（2022凉山州）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线yx2+bx+c经过点A（1，0）和点B（0，3），顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90，点C落在抛物线上的点P处（1）求抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；（2）利用配方法得到y（x1）2+4，则根据二次函数的性质得到C点坐标和抛物线的对称轴

21、为直线x1，如图，设CDt，则D（1，4t），根据旋转性质得PDC90，DPDCt，则P（1+t，4t），然后把P（1+t，4t）代入yx2+2x+4得到关于t的方程，从而解方程求出t，即可得到点P的坐标；（3）P点坐标为（2，3），顶点C坐标为（1，4），利用抛物线的平移规律确定E点坐标为（1，1），找出点E关于y轴的对称点F（1，1），连接PF交y轴于M，则MP+MEMP+MFPF的值最小，然后利用待定系数法求出直线PF的解析式，即可得到点M的坐标【解析】（1）把A（1，0）和点B（0，3）代入yx2+bx+c，得，解得：，抛物线解析式为yx2+2x+3；（2）y（x1）2+4，C（1，4

22、），抛物线的对称轴为直线x1，如图，设CDt，则D（1，4t），线段DC绕点D按顺时针方向旋转90，点C落在抛物线上的点P处，PDC90，DPDCt，P（1+t，4t），把P（1+t，4t）代入yx2+2x+3得：（1+t）2+2（1+t）+34t，整理得t2t0，解得：t10（舍去），t21，P（2，3）；（3）P点坐标为（2，3），顶点C坐标为（1，4），将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，E点坐标为（1，1），点E关于y轴的对称点F（1，1），连接PF交y轴于M，则MP+MEMP+MFPF的值最小，设直线PF的解析式为ykx+n，解得：，直线PF的解析式为yx+，点

23、M的坐标为（0，）【例2】（2022梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线yx4分别与x，y轴交于点A，B，抛物线yx2+bx+c恰好经过这两点（1）求此抛物线的解析式；（2）若点C的坐标是（0，6），将ACO绕着点C逆时针旋转90得到ECF，点A的对应点是点E写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；若点P是y轴上的任一点，求BP+EP取最小值时，点P的坐标【分析】（1）根据直线解析式可得点A、B的坐标，代入二次函数解析式，解方程即可；（2）由旋转的性质可得E（6，3），当x6时，y3，可知点E在抛物线上；过点E作EHAB，交y轴于P，垂足为H，sinABO，则HPBP，得BP+EPHP+P

24、E，可知HP+PE的最小值为EH的长，从而解决问题【解析】（1）直线yx4分别与x，y轴交于点A，B，当x0时，y4；当y0时，x3，A（3，0），B（0，4），抛物线yx2+bx+c恰好经过这两点，解得，yx4；（2）将ACO绕着点C逆时针旋转90得到ECF，OCF90，CFCO6，EFAO3，EFy轴，E（6，3），当x6时，y3，点E在抛物线上；过点E作EHAB，交y轴于P，垂足为H，A（3，0），B（0，4），OA3，OB4，AB5，sinABO，HPBP，BP+EPHP+PE，当E，P，H三点共线时，HP+PE有最小值，最小值为EH的长，作EGy轴于G，GEPABO，tanGEPta

25、nABO，PG，OP3，P（0，）【例3】（2022辽宁）如图，抛物线yax23x+c与x轴交于A（4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第二象限且时，求点D的坐标；（3）当ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标【分析】（1）将点A（4，0），C（0，4）代入yax23x+c，即可求解；（2）过点D作DGAB交于G，交AC于点H，设D（n，n23n+4），H（n，n+4），由DHOC，可得，求出D（1，6）或（3，4）

26、；（3）设F（t，t+4），当FDO90时，过点D作MNy轴交于点N，过点F作FMMN交于点M，证明MDFNOD（AAS），可得D点纵坐标为2，求出D点坐标为（，2）或（，2）；当DFO90时，过点F作KLx轴交于L点，过点D作DKKL交于点K，证明KDFLFO（AAS），得到D点纵坐标为4，求得D（0，4）或（3，4）【解析】（1）将点A（4，0），C（0，4）代入yax23x+c，解得，yx23x+4；（2）过点D作DGAB交于G，交AC于点H，设直线AC的解析式为ykx+b，解得，yx+4，设D（n，n23n+4），H（n，n+4），DHn24n，DHOC，OC4，DH3，n24n3，解

27、得n1或n3，D（1，6）或（3，4）；（3）设F（t，t+4），当FDO90时，过点D作MNy轴交于点N，过点F作FMMN交于点M，DOF45，DFDO，MDF+NDO90，MDF+MFD90，NDOMFD，MDFNOD（AAS），DMON，MFDN，DN+ONt，DNON+（t4），DNt2，ON2，D点纵坐标为2，x23x+42，解得x或x，D点坐标为（，2）或（，2）；当DFO90时，过点F作KLx轴交于L点，过点D作DKKL交于点K，KFD+LFO90，KFD+KDF90，LFOKDF，DFFO，KDFLFO（AAS），KDFL，KFLO，KLt+4t4，D点纵坐标为4，x23x+4

28、4，解得x0或x3，D（0，4）或（3，4）；综上所述：D点坐标为（，2）或（，2）或（0，4）或（3，4）【例4】（2022河池）在平面直角坐标系中，抛物线L1：yax2+2x+b与x轴交于两点A，B（3，0），与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线L1的函数解析式，并直接写出顶点D的坐标；（2）如图，连接BD，若点E在线段BD上运动（不与B，D重合），过点E作EFx轴于点F，设EFm，问：当m为何值时，BFE与DEC的面积之和最小；（3）若将抛物线L1绕点B旋转180得抛物线L2，其中C，D两点的对称点分别记作M，N问：在抛物线L2的对称轴上是否存在点P，使得以B，M，P为顶点的三角形为等

29、腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用待定系数法求出a，b的值即可；（2）如图1中，连接BC，过点C作CHBD于点H设抛物线的对称轴交x轴于点T首先证明DCB90，利用面积法求出CH，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）如图2中，由题意抛物线L2的对称轴x5，M（6，3）设P（5，m），分三种情形：当BPBM3时，当PBPM时，当BMPM时，分别构建方程求解即可【解析】（1）yax2+2x+b经过B（3，0），C（0，3），抛物线的解析式为yx2+2x+3，y（x1）2+4，抛物线的顶点D（1，4）；（2）如图1中，连接BC，

30、过点C作CHBD于点H设抛物线的对称轴交x轴于点TC（0，3），B（3，0），D（1，4），BC3，CD，BD2，BC2+CD2BD2，BCD90，CDCBBDCH，CH，EFx轴，DTx轴，EFDT，BEm，BFm，BFE与DEC的面积之和S（2m）+mm（m）2+，0，S有最小值，最小值为，此时m，m时，BFE与DEC的面积之和有最小值解法二：求两个三角形面积和的最小值，即就是求四边形OCEF面积的最大值求出四边形OCEF的面积的最大值即可（3）存在理由：如图2中，由题意抛物线L2的对称轴x5，M（6，3）设P（5，m），当BPBM3时，22+m2（3）2，m，P1（5，），P2（5，），

31、当PBPM时，22+m212+（m+3）2，解得，m1，P3（5，1），当BMPM时，（3）212+（m+3）2，解得，m3，P4（5，3+），P5（5，3），综上所述，满足条件的点P的坐标为P1（5，），P2（5，），P3（5，1），P4（5，3+），P5（5，3）一解答题（共20小题）1（2022碑林区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线W1与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，6），顶点为D（2，2）（1）求抛物线W1的表达式；（2）将抛物线W1绕原点O旋转180得到抛物线W2，抛物线W2的顶点为D，在抛物线W2上是否存在点M，使SDADSDDM？若存在，请求出点M的坐标；若不

32、存在，请说明理由【分析】（1）利用待定系数法解得即可；（2）由题意求得抛物线W2的顶点坐标和解析式，在坐标系中画出抛物线W2的图象，利用SDADSADO+SAOD求出三角形DDA的面积；过点D作x轴的平行线EF，过点D作DEEF于点E，交x轴于点G，过点M作MFEF于点F，交x轴于点H，利用D，D的坐标表示出线段DG，OG，DE，DE的长度，设点M（m，2m28m+6），则MH2m28m+6，OHm，MFMH+HF2m28m+6+22m28m+8，DFm2，EFOG+OHm+2，利用SDDMS梯形DEFMSDEDSMDF，用m的代数式表示出SDDM，利用已知条件列出m的方程，解方程即可求得结论

33、【解析】（1）设抛物线W1的解析式为：yax2+bx+c，抛物线W1经过点C（0，6），顶点坐标D（2，2），解得：抛物线W1的表达式为：y2x28x6；（2）在抛物线W2上存在点M，使SDADSDDM理由：将抛物线W1绕原点O旋转180得到抛物线W2，抛物线W2的顶点为D，D（2，2）抛物线W2的解析式为y2（x2）222x28x+6如图，在坐标系中画出抛物线W2的图象，由题意得：DD经过点O，则SDADSADO+SAOD过点D作x轴的平行线EF，过点D作DEEF于点E，交x轴于点G，过点M作MFEF于点F，交x轴于点H，D（2，2），D（2，2），DGOG2，DE4，DE4，FH2令y0，

34、则2x28x60解得：x1或3A（3，0），B（1，0）OA3SDADSADO+SAOD32+326设点M（m，2m28m+6），则MH2m28m+6，OHmMFMH+HF2m28m+6+22m28m+8，DFm2，EFOG+OHm+2SDDMS梯形DEFMSDDESMDF，SDDM（DE+MF）EFDEDEMFDF（4+2m28m+8）（m+2）44（2m28m+8）（m2）4m214m+12SDDMSDDA，4m214m+126解得：m3或当m3时，2m28m+60，当m时，2m28m+6，M（3，0）或（，）在抛物线W2上存在点M，使SDADSDDM.点M的坐标为（3，0）或（，）2（2

35、022双流区模拟）如图，抛物线C：yax2+6ax+9a8与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），已知点B的横坐标是2，抛物线C的顶点为D（1）求a的值及顶点D的坐标；（2）点P是x轴正半轴上一点，将抛物线C绕点P旋转180后得到抛物线C1，记抛物线C1的顶点为E，抛物线C1与x轴的交点为F，G（点F在点G的右侧）当点P与点B重合时（如图1），求抛物线C1的表达式；（3）如图2，在（2）的条件下，从A，B，D中任取一点，E，F，G中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线C1为抛物线C的“勾股伴随同类函数”当抛物线C1是抛物线C的勾股伴随同类函数时，求点P的坐标【分析

36、】（1）将点B（2，0）代入yax2+6ax+9a8，即可求出a，把抛物线的解析式化为顶点式即可得出顶点坐标；（2）如图1，连接DE，作DHx轴于H，作EMx轴于M，由DBHEBM（AAS），可得EMDH8，BMBH5，故抛物线C1的顶点E的坐标为（7，8），即可得出抛物线C1的函数表达式为y（x7）2+8；（3）设点E（m，8），如图2，作DHx轴于H，EMx轴于M，ENDN于N，根据旋转可得：FGAB2BH10，进而可得：点H的坐标为（3，0），点N的坐标为（m，8），再分类讨论即可得出答案【解析】（1）由yax2+6ax+9a8得ya（x+3）28，顶点D的坐标为（3，8），点B（2，0

37、）在抛物线C上，0a（2+3）28，解得：a；（2）如图1，连接DE，作DHx轴于H，作EMx轴于M，根据题意，点D，E关于点B（2，0）成中心对称，DE过点B，且DBEB，在DBH和EBM中，DBHEBM（AAS），EMDH8，BMBH5，抛物线C1的顶点E的坐标为（7，8），抛物线C1由C绕点P旋转180后得到，抛物线C1的函数表达式为y（x7）2+8；（3）抛物线C1由C绕x轴上的点P旋转180后得到，顶点D，E关于点P成中心对称，由（2）知：点E的纵坐标为8，设点E（m，8），如图2，作DHx轴于H，EMx轴于M，ENDN于N，旋转中心P在x轴上，FGAB2BH10，点H的坐标为（3，

38、0），点N的坐标为（m，8），根据勾股定理得，EF282+5289，显然，AEG和BEG不可能是直角三角形，当AEF是直角三角形时，显然只能有AEF90，根据勾股定理得：AE2AM2+EM2（m+8）2+82m2+16m+128，AE2AF2EF2（m+13）289m2+26m+80，m2+16m+128m2+26m+80，解得：m，OP（m+3）3（m3）（3），点P的坐标为（，0）；当BEF是直角三角形时，显然只能有BEF90，根据勾股定理得：BE2BM2+EM2（m2）2+82m24m+68，BE2BF2EF2（m+3）289m2+6m80，m24m+68m2+6m80，解得：m，OP（

39、m3）（3），点P的坐标为（，0），当DEF是直角三角形时，DE2EN2+DN2162+（m+3）2m2+6m+265，DF2DH2+HF282+（m+8）2m2+16m+128，i）当DEF90时，DE2+EF2DF2，即m2+6m+265+89m2+16m+128，解得：m，OP（m3）（3），点P的坐标为（，0）；ii）当DFE90时，DF2+EF2DE2，即m2+16m+128+89m2+6m+265，解得：m，OP（m3）（3），点P的坐标为（，0）；iii）DEEN16EF，EDF90，综上所述，当抛物线C1是抛物线C的勾股伴随同类函数时，点P的坐标为（，0）或（，0）或（，0）3

40、（2022灞桥区校级模拟）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+6与x轴、y轴的交点分别为A、B，其中点C是x轴上一点，OC3（1）求过A、B、C三点的抛物线L的解析式；（2）将抛物线L绕着点O旋转180得到抛物线L1，抛物线L1与x轴交于F点、E点（点F在点E的左侧），与y轴交于点M，则抛物线L1的对称轴上是否存在一点Q，使|QFQM|的值最大？若存在，求出点Q的坐标及其最大值，若不存在，请说明理由【分析】（1）由一次函数解析式可得A，B坐标，由OC3可得点C坐标，然后通过待定系数法求函数解析式（2）先求出抛物线L1解析式，根据抛物线的对称性可得抛物线与x轴，y轴的交点坐标，点Q为

41、抛物线对称轴与直线EM交点时，|QFQM|EM的值最大【解析】（1）将x0代入yx+6得y6，点B坐标为（0，6），将y0代入yx+6得0x+6，解得x8，点A坐标为（8，0），OC3，点C坐标为（3，0），设抛物线解析式为ya（x8）（x3），将（0，6）代入ya（x8）（x3）得624a，解得a，y（x8）（x3）x2x+6（2）将抛物线L绕着点O旋转180得到抛物线L1解析式为y（x+8）（x+3）x2x6，抛物线L经过（3，0），（8，0），抛物线L1经过E（3，0），F（8，0），与y轴交于点M（0，6），设直线FM解析式为ykx+b，将E（3，0），M（0，6）代入ykx+b得，解

42、得，y2x6，抛物线经E（3，0），F（8，0），抛物线对称轴为直线x，抛物线对称轴为线段EF的垂直平分线，QFQE，点Q为抛物线对称轴与直线EM交点时，|QFQM|EM的值最大，将x代入y2x6得y2（）65，点Q坐标为（，5）时，|QFQM|的最大值为EM34（2022莲湖区二模）已知抛物线W1：yax2bx3与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点与y轴交于点C，顶点为D（1）求抛物线W1的表达式；（2）将抛物线W1绕原点O旋转180后得到抛物线W2，W2的顶点为D，点M为W2上的一点，当DDM的面积等于ABC的面积时，求点M的坐标【分析】（1）利用待定系数法解得即可；（2）由题意求得抛物线W2的顶点坐标和解析式，在坐标系中画出抛物线W2的图象，利用待定系数法求得直线DD的解析式，过点M作MNx轴，交DD于N，利用SDDMSMND+SMND，用m的代数式表示出SDDM，利用已