2023年中考数学压轴专题：二次函数与面积最值定值问题（含答案解析）

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1、二次函数与面积最值定值问题面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形结合的觉形式，常见的面积问题有规则的图形的面积（如直角三角形、平行四边形、菱形、矩形的面积计算问题）以及不规则的图形的面积计算，解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常考的题型，此类问题计算量较大。有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。解决这类问题常用到以下与面积相关的知识：图形的割补、等积变形、等比转化等数学方法. 面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类：一是先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根二是先假设关系存在，再列方程，后根

2、据方程的解验证假设是否正确 解决动点产生的面积问题，常用到的知识和方法，如下：如图1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式如图2，图3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法图1 图2 图3计算面积长用到的策略还有：如图4，同底等高三角形的面积相等平行线间的距离处处相等如图5，同底三角形的面积比等于高的比如图6，同高三角形的面积比等于底的比图4 图5 图6【例1】（2022青海）如图1，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（1）求该抛物线的解析式；（2）若点

3、E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长；（3）设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足SPAB6的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探讨）【例2】（2022随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴分别交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，对称轴为直线x1，且OAOC，P为抛物线上一动点（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；（3）设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使

4、四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由【例3】（2022成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线ykx3（k0）与抛物线yx2相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B关于y轴的对称点为B（1）当k2时，求A，B两点的坐标；（2）连接OA，OB，AB，BB，若BAB的面积与OAB的面积相等，求k的值；（3）试探究直线AB是否经过某一定点若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由【例4】（2022岳阳）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线F1：yx2+bx+c经过点A（3，0）和点B（1，0）（1）求抛物线F1的解析式；（2）如图2，作抛物线F

5、2，使它与抛物线F1关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线F2的解析式；（3）如图3，将（2）中抛物线F2向上平移2个单位，得到抛物线F3，抛物线F1与抛物线F3相交于C，D两点（点C在点D的左侧）求点C和点D的坐标；若点M，N分别为抛物线F1和抛物线F3上C，D之间的动点（点M，N与点C，D不重合），试求四边形CMDN面积的最大值1（2022金坛区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数yx2+bx2的图象与x轴交于点A（3，0），B（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，作直线AD（1）填空：b ；（2）将AOC平移到EFG（点E，F，G依次与A，O，C对应），若

6、点E落在抛物线上且点G落在直线AD上，求点E的坐标；（3）设点P是第四象限抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交AC于点T若CPT+DAC180，求AHT与CPT的面积之比2（2022罗城县模拟）如图，已知抛物线yax2+b经过点A（2，6），B（4，0），其中E、F（m，n）为抛物线上的两个动点（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若C（x，y）是抛物线上的一点，当4x2且SABC最大时，求点C的坐标；（3）若EFx轴，点A到EF的距离大于8个单位长度，求m的取值范围3（2022老河口市模拟）在平面直角坐标系中，抛物线yx2+2mx的顶点为A，直线l：yx1与x轴交于点B（1

7、）如图，已知点A的坐标为（2，4），抛物线与直线l在第一象限交于点C求抛物线的解析式及点C的坐标；点M为线段BC上不与B，C重合的一动点，过点M作x轴的垂线交x轴于点D，交抛物线于点E，设点M的横坐标t当EMBD时，求t的取值范围；（2）过点A作APl于点P，作AQl交抛物线于点Q，连接PQ，设APQ的面积为S直接写出S关于m的函数关系式；S的最小值及S取最小值时m的值4（2022新吴区二模）如图，已知抛物线y+bx过点A（4，0）、顶点为B，一次函数yx+2的图象交y轴于M，对称轴与x轴交于点H（1）求抛物线的表达式；（2）已知P是抛物线上一动点，点M关于AP的对称点为N若点N恰好落在抛物线

8、的对称轴上，求点N的坐标；请直接写出MHN面积的最大值5（2022开福区校级二模）如图，抛物线y（x+1）（xa）（其中a1）与x轴交于A、B两点，交y轴于点C（1）直接写出OCA的度数和线段AB的长（用a表示）；（2）如图，若a2，点D在抛物线的对称轴上，DBDC，求BCD与ACO的周长之比；（3）如图，若a3，动点P在线段OA上，过点P作x轴的垂线分别与AC交于点M，与抛物线交于点N试问：抛物线上是否存在点Q，使得PQN与BPM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由6（2022官渡区二模）抛物线交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于点C，对称轴为直线（

9、1）如图1，若点C坐标为（0，2），则b ，c ；（2）若点P为第二象限抛物线上一动点，在（1）的条件下，求四边形ABCP面积最大时，点P坐标和四边形ABCP的最大面积；（3）如图2，点D为抛物线的顶点，过点O作MNCD别交抛物线于点M，N，当MN3CD时，求c的值7（2022徐州二模）如图，四边形ABCD中，已知ABCD，动点P从A点出发，沿边AB运动到点B，动点Q同时由A点出发，沿折线ADDCCB运动点B停止，在移动过程中始终保持PQAB，已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒，APQ的面积为y，已知y与x之间函数关系如图，其中MN为线段，曲线OM，NK为抛物线的一部

10、分，根据图中信息，解答下列问题：（1）图AB ，BC ；（2）分别求线段MN，曲线NK所对应的函数表达式；（3）当x为何值，APQ的面积为6？8（2022茌平区一模）如图，已知二次函数的图象交x轴于点B（8，0），C（2，0），交y轴点A（1）求二次函数的表达式；（2）连接AC，AB，若点P在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点P作PDAC，交AB于点D，试猜想PAD的面积有最大值还是最小值，并求出此时点P的坐标（3）连接OD，在（2）的条件下，求出的值9（2022碑林区校级模拟）抛物线W1：ya（x+）2与x轴交于A（5，0）和点B（1）求抛物线W1的函数表达式；（2）将抛物线W1关于点

11、M（1，0）对称后得到抛物线W2，点A、B的对应点分别为A，B，抛物线W2与y轴交于点C，在抛物线W2上是否存在一点P，使得SPABSPAC，若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由10（2021秋钦北区期末）如图，抛物线yax2+bx+6与直线yx+2相交于A（，）、B（4，6）两点，点P是线段AB上的动点（不与A、B两点重合），过点P作PCx轴于点D，交抛物线于点C，点E是直线AB与x轴的交点（1）求抛物线的解析式；（2）当点C是抛物线的顶点时，求BCE的面积；（3）是否存在点P，使得BCE的面积最大？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由11（2022保定一模）如图，在平面直角坐

12、标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t秒（t0），抛物线yx2+bx+c经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0），B（1，5），D（4，0）（1）求c，b（含t的代数式表示）；（2）当4t5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N在点P的运动过程中，你认为AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出AMP的值；求MPN的面积S与t的函数关系式并求t为何值时，MPN的面积为12（2022黄石模拟）如图，已知抛物线与x轴交于A（2，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），直线与x轴交于点D，点P是抛物线上的一动点，过点P作PEx轴，垂足为E，

13、交直线l于点F（1）求该抛物线的表达式；（2）点P是抛物线上位于第三象限的一动点，设点P的横坐标是m，四边形PCOB的面积是S求S关于m的函数解析式及S的最大值；点Q是直线PE上一动点，当S取最大值时，求QOC周长的最小值及FQ的长13（2022哈尔滨模拟）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线yax22ax+3与x轴的负半轴交于点A，与x的正半轴交于点B，与y轴正半轴交于点C，OB2OA（1）求抛物线的解析式；（2）点D是第四象限内抛物线上一点，连接AD交y轴于点E，过C作CFy轴交抛物线于点F，连接DF，设四边形DECF的面积为S，点D的横坐标的t，求S与t的函数解析式；（3）在

14、（2）的条件下，过F作FMy轴交AD于点M，连接CD交FM于点G，点N是CE上一点，连接MN、EG，当BAD+2AMN90，MN：EG，求点D的坐标14（2022利川市模拟）如图，等腰直角三角形OAB的直角顶点O在坐标原点，直角边OA，OB分别在y轴和x轴上，点C的坐标为（3，4），且AC平行于x轴（1）求直线AB的解析式；（2）求过B，C两点的抛物线yx2+bx+c的解析式；（3）抛物线yx2+bx+c与x轴的另一个交点为D，试判定OC与BD的大小关系；（4）若点M是抛物线上的动点，当ABM的面积与ABC的面积相等时，求点M的坐标15（2021襄阳）如图，直线yx+1与x，y轴分别交于点B，

15、A，顶点为P的抛物线yax22ax+c过点A（1）求出点A，B的坐标及c的值；（2）若函数yax22ax+c在3x4时有最大值为a+2，求a的值；（3）连接AP，过点A作AP的垂线交x轴于点M设BMP的面积为S直接写出S关于a的函数关系式及a的取值范围；结合S与a的函数图象，直接写出S时a的取值范围16（2021辽宁）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A和点C（1，0），与y轴交于点B（0，3），连接AB，BC，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作PDx轴于点D，交AB于点E（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，作PFPD于点P，使PFOA，以PE，PF为邻边作矩形PEGF当矩形PE

16、GF的面积是BOC面积的3倍时，求点P的坐标；（3）如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线PD上，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围17（2021贺州）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点，且A（1，0），对称轴为直线x2（1）求该抛物线的函数表达式；（2）直线l过点A且在第一象限与抛物线交于点C当CAB45时，求点C的坐标；（3）点D在抛物线上与点C关于对称轴对称，点P是抛物线上一动点，令P（xP，yP），当1xPa，1a5时，求PCD面积的最大值（可含a表示）18（2021常德）如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCD

17、的AB边与y轴交于E点，F是AD的中点，B、C、D的坐标分别为（2，0），（8，0），（13，10）（1）求过B、E、C三点的抛物线的解析式；（2）试判断抛物线的顶点是否在直线EF上；（3）设过F与AB平行的直线交y轴于Q，M是线段EQ之间的动点，射线BM与抛物线交于另一点P，当PBQ的面积最大时，求P的坐标19（2021福建）已知抛物线yax2+bx+c与x轴只有一个公共点（1）若抛物线过点P（0，1），求a+b的最小值；（2）已知点P1（2，1），P2（2，1），P3（2，1）中恰有两点在抛物线上求抛物线的解析式；设直线l：ykx+1与抛物线交于M，N两点，点A在直线y1上，且MAN90，

18、过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和l于点B，C求证：MAB与MBC的面积相等20（2021柳州）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：yax2+bx+c交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，）（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接OD，过点B作BEOD，垂足为E，若BE2OE，求点D的坐标；（3）如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接AM，交BC于点N，连接BM，记BMN的面积为S1，ABN的面积为S2，求的最大值21（2021聊城）如图，抛物线yax2+x+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，C两点坐标分别是A（1，

19、0），C（0，2），连接AC，BC（1）求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式；（2）将ABC沿BC所在直线折叠，得到DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由；（3）若点P是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接AP交BC于点Q，连接BP，BPQ的面积记为S1，ABQ的面积记为S2，求的值最大时点P的坐标22（2020贺州）如图，抛物线ya（x2）22与y轴交于点A（0，2），顶点为B（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P（t，y1），Q（t+3，y2）都在抛物线上，且y1y2，求P，Q两点的坐标；（3）在（2）的条件下

20、，若点C是线段QB上一动点，经过点C的直线yx+m与y轴交于点D，连接DQ，DB，求BDQ面积的最大值和最小值 【例1】（2022青海）如图1，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（1）求该抛物线的解析式；（2）若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长；（3）设点P是（1）中抛物线上的一个动点，是否存在满足SPAB6的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探讨）【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）利用二次函数的性质，可求出抛物线顶点F的坐标及抛物线的对称

21、轴，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，根据点B，C的坐标，利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点E的坐标，结合点F的坐标，即可求出线段EF的长；（3）又点A，B的坐标可求出线段AB的长，设点P的坐标为（t，t22t3），利用三角形的面积计算公式，结合SPAB6，即可得出关于t的方程，解之即可得出t值，进而可得出点P的坐标【解析】（1）将A（1，0），B（3，0）代入yx2+bx+c，得：，解得：，该抛物线的解析式为yx22x3（2）抛物线的解析式为yx22x3，抛物线的顶点F的坐标为（1，4），抛物线的对称轴为直线x1当x0时，y0220

22、33，点C的坐标为（0，3）设直线BC的解析式为ymx+n（m0），将B（3，0），C（0，3）代入ymx+n，得：，解得：，直线BC的解析式为yx3当x1时，y132，点E的坐标为（1，2），EF|2（4）|2（3）点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），AB|3（1）|4设点P的坐标为（t，t22t3）SPAB6，4|t22t3|6，即t22t33或t22t33，解得：t11，t21+，t30，t42，存在满足SPAB6的点P，点P的坐标为（1，3）或（1+，3）或（0，3）或（2，3）【例2】（2022随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴分

23、别交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，对称轴为直线x1，且OAOC，P为抛物线上一动点（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形PABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；（3）设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）判断出A，B两点坐标，可以假设抛物线的解析式为ya（x+3）（x1），把（0，3）代入抛物线的解析式，得a1，可得结论；（2）如图（2）中，连接OP设P（m，m22m+3），构建二次函数，利用二次函数的性质

24、求解即可；（3）分两种情形，点N在y轴上，点N在x轴上，分别求解即可【解析】（1）抛物线的对称轴是直线x1，抛物线交x轴于点A，B（1，0），A（3，0），OAOC3，C（0，3），可以假设抛物线的解析式为ya（x+3）（x1），把（0，3）代入抛物线的解析式，得a1，抛物线的解析式为yx22x+3；（2）如图（2）中，连接OP设P（m，m22m+3），SSPAO+SPOC+SOBC，3（m22m+3）3（m）+13（m23m+4）（m+）2+，0，当m时，S的值最大，最大值为，此时P（，）；（3）存在，理由如下：如图31中，当点N在y轴上时，四边形PMCN是矩形，此时P（1，4），N（0，4

25、）；如图32中，当四边形PMCN是矩形时，设M（1，n），P（t，t22t+3），则N（t+1，0），由题意，解得，消去n得，3t2+5t100，解得t，P（，），N（，0）或P（，），N（，0）综上所述，满足条件的点P（1，4），N（0，4）或P（，），N（，0）或P（，），N（，0）【例3】（2022成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线ykx3（k0）与抛物线yx2相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B关于y轴的对称点为B（1）当k2时，求A，B两点的坐标；（2）连接OA，OB，AB，BB，若BAB的面积与OAB的面积相等，求k的值；（3）试探究直线AB是否经过某一定点若是，请求

26、出该定点的坐标；若不是，请说明理由【分析】（1）当k2时，直线为y2x3，联立解析式解方程组即得A（3，9），B（1，1）；（2）分两种情况：当k0时，根据BAB的面积与OAB的面积相等，知OBAB，可证明BODBCD（ASA），得ODOC，D（0，），可求B（，），即可得k；当k0时，过B作BFAB交y轴于F，由BAB的面积与OAB的面积相等，可得OEEF3，证明BGFBGE（ASA），可得OGOE+GE，G（0，），从而B（，），即可得k；（3）设x2+kx30二根为a，b，可得a+bk，ab3，A（a，a2），B（b，b2），B（b，b2），设直线AB解析式为ymx+n，可得，即可得m（

27、ab）ba，nab（3）3，从而直线AB解析式为yx+3，故直线AB经过定点（0，3）【解析】（1）当k2时，直线为y2x3，由得：或，A（3，9），B（1，1）；（2）当k0时，如图：BAB的面积与OAB的面积相等，OBAB，OBBBBC，B、B关于y轴对称，OBOB，ODBODB90，OBBOBB，OBBBBC，ODB90CDB，BDBD，BODBCD（ASA），ODCD，在ykx3中，令x0得y3，C（0，3），OC3，ODOC，D（0，），在yx2中，令y得x2，解得x或x，B（，），把B（，）代入ykx3得：k3，解得k；当k0时，过B作BFAB交y轴于F，如图：在ykx3中，令x0

28、得y3，E（0，3），OE3，BAB的面积与OAB的面积相等，OEEF3，B、B关于y轴对称，FBFB，FGBFGB90，FBBFBB，BFAB，EBBFBB，EBBFBB，BGE90BGF，BGBG，BGFBGE（ASA），GEGFEF，OGOE+GE，G（0，），在yx2中，令y得x2，解得x或x，B（，），把B（，）代入ykx3得：k3，解得k，综上所述，k的值为或；（3）直线AB经过定点（0，3），理由如下：由得：x2+kx30，设x2+kx30二根为a，b，a+bk，ab3，A（a，a2），B（b，b2），B、B关于y轴对称，B（b，b2），设直线AB解析式为ymx+n，将A（a，a

29、2），B（b，b2）代入得：，解得：，a+bk，ab3，m（ab）ba，nab（3）3，直线AB解析式为yx+3，令x0得y3，直线AB经过定点（0，3）【例4】（2022岳阳）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线F1：yx2+bx+c经过点A（3，0）和点B（1，0）（1）求抛物线F1的解析式；（2）如图2，作抛物线F2，使它与抛物线F1关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线F2的解析式；（3）如图3，将（2）中抛物线F2向上平移2个单位，得到抛物线F3，抛物线F1与抛物线F3相交于C，D两点（点C在点D的左侧）求点C和点D的坐标；若点M，N分别为抛物线F1和抛物线F3上C，D之间的动点

30、（点M，N与点C，D不重合），试求四边形CMDN面积的最大值【分析】（1）将点A（3，0）和点B（1，0）代入yx2+bx+c，即可求解；（2）利用对称性求出函数F1顶点（1，4）关于原点的对称点为（1，4），即可求函数F2的解析式；（3）通过联立方程组，求出C点和D点坐标即可；求出直线CD的解析式，过点M作MFy轴交CD于点F，过点N作NEy轴交于点E，设M（m，m2+2m3），N（n，n2+2n+5），则F（m，2m+2），N（n，2n+1），可求MFm2+4，NEn2+4，由S四边形CMDNSCDN+SCDM2（MF+NE），分别求出MF的最大值4，NE的最大值4，即可求解【解析】（1）

31、将点A（3，0）和点B（1，0）代入yx2+bx+c，解得，yx2+2x3；（2）yx2+2x3（x+1）24，抛物线的顶点（1，4），顶点（1，4）关于原点的对称点为（1，4），抛物线F2的解析式为y（x1）2+4，yx2+2x+3；（3）由题意可得，抛物线F3的解析式为y（x1）2+6x2+2x+5，联立方程组，解得x2或x2，C（2，3）或D（2，5）；设直线CD的解析式为ykx+b，解得，y2x+1，过点M作MFy轴交CD于点F，过点N作NEy轴交于点E，设M（m，m2+2m3），N（n，n2+2n+5），则F（m，2m+1），E（n，2n+1），MF2m+1（m2+2m3）m2+4，

32、NEn2+2n+52n1n2+4，2m2，2n2，当m0时，MF有最大值4，当n0时，NE有最大值4，S四边形CMDNSCDN+SCDM4（MF+NE）2（MF+NE），当MF+NE最大时，四边形CMDN面积的最大值为16声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/9/5 13:56:14；用户：账号1；邮箱：yzsysx1；学号：256700251（2022金坛区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数yx2+bx2的图象与x轴交于点A（3，0），B（点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，作直线AD（1）填空：b；（2）将AOC平移到EFG

33、（点E，F，G依次与A，O，C对应），若点E落在抛物线上且点G落在直线AD上，求点E的坐标；（3）设点P是第四象限抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交AC于点T若CPT+DAC180，求AHT与CPT的面积之比【分析】（1）把A（3，0）代入yx2+bx2，求出b；（2）令x0，y2，求出C（0，2），根据点D与点C关于x轴对称，求出D（0，2），进而得到直线AD解析式：yx+2，根据平移的性质及点的坐标特点，得出E（m，m2m2），则Gm3，（m3）+2，Fm3，（m3）+4，再根据平行于x轴的直线点的纵坐标相等，得出m2m2（m3），解出即可；（3）如图所示：过C作CKAD，CQ

34、HP，根据勾股定理及等面积法，求出AD，CK，DK，AK，再根据锐角三角函数定义，得出tanCPQtanCAK，tanOAC，进而求出AHT与CPT的面积之比【解析】（1）把A（3，0）代入yx2+bx2，得9+3b20，解得b；故答案为：；（2）如图所示：由（1）得yx2x2，令x0，y2，C（0，2），点D与点C关于x轴对称，D（0，2），设直线AD：ykx+2，把A（3，0）代入ykx+2，得3k+20，解得k，直线AD解析式：yx+2，将AOC平移到EFG，OAEF3，FGOC2，设E（m，m2m2），则G（m3，（m3）+2），F（m3，（m3）+4），EFx轴，m2m2（m3）2+

35、4，解得m3或m4，E（3，8）或（4，）；（3）如图所示：过C作CKAD，CQHP，OD2，OA3AD，CKADCDAOADCK，CK，DK，AK，tanCAK，CQHP，CPQ+CPT180，CPT+DAC180，CPQCAK，tanCPQtanCAK，设P（n，n2n2），PQn2n，CQn，解得n，P（，），CQ，AH3，tanOAC，THAH，TP，即AHT与CPT的面积之比为8：1472（2022罗城县模拟）如图，已知抛物线yax2+b经过点A（2，6），B（4，0），其中E、F（m，n）为抛物线上的两个动点（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若C（x，y）是抛物线上的一

36、点，当4x2且SABC最大时，求点C的坐标；（3）若EFx轴，点A到EF的距离大于8个单位长度，求m的取值范围【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）如图，过点C作CDy轴交AB于点D，运用待定系数法求得直线AB的解析式为yx+4，可得SABCCD（xAxB）（x+1）2+，利用二次函数性质即可求得答案；（3）根据EFx轴，可得点A到EF的距离为|6n|，进而可得|6（m2+8）|8，求解即可【解析】（1）抛物线yax2+b经过点A（2，6），B（4，0），解得：，抛物线的解析式为yx2+8，顶点坐标为（0，8）；（2）如图，过点C作CDy轴交AB于点D，设直线AB的解析式为ykx+d

37、，则，解得：，直线AB的解析式为yx+4，C（x，x2+8），D（x，x+4），CDx2+8（x+4）x2x+4，SABCCD（xAxB）（x2x+4）6（x+1）2+，0，当x1时，SABC最大，此时点C的坐标为（1，）；（3）EFx轴，点A到EF的距离为|6n|，F（m，n）在抛物线yx2+8上，nm2+8，|6（m2+8）|8，m228或m228（无解），m2或m23（2022老河口市模拟）在平面直角坐标系中，抛物线yx2+2mx的顶点为A，直线l：yx1与x轴交于点B（1）如图，已知点A的坐标为（2，4），抛物线与直线l在第一象限交于点C求抛物线的解析式及点C的坐标；点M为线段BC上不

38、与B，C重合的一动点，过点M作x轴的垂线交x轴于点D，交抛物线于点E，设点M的横坐标t当EMBD时，求t的取值范围；（2）过点A作APl于点P，作AQl交抛物线于点Q，连接PQ，设APQ的面积为S直接写出S关于m的函数关系式；S的最小值及S取最小值时m的值【分析】（1）利用抛物线的顶点可得y（x2）2+4，联立方程组求解即可得到点C的坐标；先证得OBC是等腰直角三角形，进而得出BDM是等腰直角三角形，可得：EMt2+3t+1，BDMDt1，由EMBD，可得t2+3t+1t1，即t22t20，令yt22t2，根据二次函数的图象和性质即可求得答案；（2）如图2，过点A作AGy轴交直线l于点G，过点

39、Q作QHAG于点H，则AGm2m+1，利用三角函数可得APAGsin45（m2m+1），根据AQ直线l，可得直线AG的解析式为yx+m2m，进而求得点Q的横坐标为m1，故QHm（m1）1，AQ，运用三角形面积公式可求得Sm2m+；运用二次函数的性质即可求得答案【解析】（1）抛物线yx2+2mx的顶点为A（2，4），y（x2）2+4x2+4x，联立方程组，解得：，点C在第一象限，C（，）；设直线l：yx1与y轴交于点F，则F（0，1），OF1，B（1，0），OB1，OBOF，OBC是等腰直角三角形，OBFOFB45，MBDOBF45，BDM90，BDM是等腰直角三角形，BDMD，M（t，t1），

40、D（t，0），E（t，t2+4t），EMt2+4t（t1）t2+3t+1，BDMDt1，EMBD，t2+3t+1t1，t22t20，令yt22t2，当y0时，t22t20，解得：t1，当y0，即t22t20时，1t1+（i），点M为线段BC上不与B，C重合的一动点，1t（ii），由（i）（ii）得：1t1+，故t的取值范围为：1t1+；（2）如图2，过点A作AGy轴交直线l于点G，过点Q作QHAG于点H，yx2+2mx（xm）2+m2，A（m，m2），G（m，m1），AGm2（m1）m2m+1，由（1）知：OFB45，AGy轴，AGPOFB45，AP直线l，APG90，APAGsin45（m2

41、m+1），AQ直线l，设直线AG的解析式为yx+n，把A（m，m2）代入得：m+nm2，nm2m，直线AG的解析式为yx+m2m，令x2+2mxx+m2m，解得：x1m，x2m1，点Q的横坐标为m1，QHm（m1）1，AQl，QAHAGP45，PAQ90，AHQ90，AHQ是等腰直角三角形，AQQH，SAPAQ（m2m+1）m2m+，故S关于m的函数关系式为Sm2m+；Sm2m+（m）2+，当m时，S的最小值为4（2022新吴区二模）如图，已知抛物线y+bx过点A（4，0）、顶点为B，一次函数yx+2的图象交y轴于M，对称轴与x轴交于点H（1）求抛物线的表达式；（2）已知P是抛物线上一动点，点M关于AP的对称点为N若点N恰好落在抛物线的对称轴上，求点N的坐标；请直接写出MHN面积的最大值【分析】（1）运用待定系数法即可求抛物线的表达式