2023年中考数学热点专题训练16:构造辅助圆隐圆解题的几种常见模型(含答案解析)
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1、专题16 构造辅助圆(隐圆)解题的几种常见模型类型一 定点定长模型典例1(威海中考)如图,已知ABACAD,CBD2BDC,BAC44,则CAD的度数为()A68B88C90D112针对训练1(苏州期中)如图,四边形ABCD中,DCAB,BC1,ABACAD2则BD2的值为()A14B15C18D122(2021春牧野区校级期中)如图,在矩形ABCD中,E为AB的中点,P为BC边上的任意一点,把PBE沿PE折叠,得到PFE,连接CF若AB10,BC12,当CF取最小值时,BP的值等于 类型二 对角互补模型典例2 (2018汉阳区模拟)如图,在菱形ABCD中,点P是BC边上一动点,P和C不重合,
2、连接AP,AP的垂直平分线交BD于点G,交AP于点E,在P点由B点到C点的运动过程中,APG的大小变化情况是()A变大B先变大后变小C先变小后变大D不变变式训练1(2018碑林区校级一模)如图,在ABC中,ACB120,ACBC2,D是AB边上的动点,连接CD,将BCD绕点C沿顺时针旋转至ACE,连接DE,则ADE面积的最大值2(2020淮阴区模拟)在RtABC中,ABC90,ACB30,AB2,O为AC的中点,过O作OEOF,OE、OF分别交射线AB,BC于E、F,则EF的最小值为 3如图,在平面直角坐标系xOy中,A(0,2),点P在直线y=33x上,连接AP,过点P作PQAP,交x轴于点
3、Q,连接AQ求QAP的度数类型三 定边定角模型(1) 定边对直角典例3 东西湖区模拟)如图,已知A(2,6)、B(8,2),C为坐标轴上一点,且ABC是直角三角形,则满足条件的C点有()个A6B7C8D9针对训练1(2021内乡县一模)(1)【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后,感觉到一些几何问题如果添加辅助圆,运用圆的知识解决,可以使问题变得非常容易例如:如图1,在ABC中,ABAC,BAC90,D是ABC外一点,且ADAC,求BDC的度数若以点A为圆心,AB为半径作辅助A,则点C、D必在A上,BAC是A的圆心角,而BDC是圆周角,从而可容易得到BDC (2)【问题解决】如图2,在
4、四边形ABCD中,BADBCD90,BDC25,求BAC的度数(3)【问题拓展】如图3,如图,E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AEDF连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是 (2) 定边对定角典例4(2021秋如皋市期中)如图,ABC为等边三角形,AB3若P为ABC内一动点,且满足PABACP,则线段PB长度的最小值为()A1.5B3C433D2典例5(2021秋白云区期中)在四边形ABCD中,B60,D30,ABBC(1)求A+C的度数;(2)连接BD,探究AD,BD,CD三者之间的数量关系,并证明;(3)若点E在四边形ABCD内
5、部运动,且满足AE2BE2+CE2,求BEC的度数针对训练1(广州中考)如图,在四边形ABCD中,B60,D30,ABBC(1)求A+C的度数;(2)连接BD,探究AD,BD,CD三者之间的数量关系,并说明理由;(3)若AB1,点E在四边形ABCD内部运动,且满足AE2BE2+CE2,求点E运动路径的长度2如图,在ABC中,C120,则ABC所在的平面上是否存在点M,使ABM的面积等于ABC的面积,且AMB60?若存在,画出该点的位置,若不存在,请说明理由专题16 构造辅助圆(隐圆)解题的几种常见模型类型一 定点定长模型典例1(威海中考)如图,已知ABACAD,CBD2BDC,BAC44,则C
6、AD的度数为()A68B88C90D112思路引领:如图,作辅助圆;首先运用圆周角定理证明CAD2CBD,BAC2BDC,结合已知条件CBD2BDC,得到CAD2BAC,即可解决问题解:如图,ABACAD,点B、C、D在以点A为圆心,以AB的长为半径的圆上;CBD2BDC,CAD2CBD,BAC2BDC,CAD2BAC,而BAC44,CAD88,故选:B总结提升:该题主要考查了圆周角定理及其推论等几何知识点及其应用问题;解题的方法是作辅助圆,将分散的条件集中;解题的关键是灵活运用圆周角定理及其推论等几何知识点来分析、判断、推理或解答针对训练1(苏州期中)如图,四边形ABCD中,DCAB,BC1
7、,ABACAD2则BD2的值为()A14B15C18D12思路引领:作AMBC于点M,ANBD于点N,根据题给条件及等腰三角形的性质证明ABNBAM,继而求出AN的值,在RtABN中,利用勾股定理求解即可解:作AMBC于点M,ANBD于点N,ACAB,ABC为等腰三角形,AM也是ABC的中线和角平分线(三线合一),CAMBAM,ABMACM,ABCD,ACAD,ADCACDCAB,ADBABDCDB,ADB=12ADCMAB,MABDBA,又ABAB,ABNBAM(AAS),AN=12BC=12,AB2,BN2AB2AN2=154,BD24BN215故选:B总结提升:本题考查了梯形的知识,同时
8、涉及了等腰三角形的性质和勾股定理的知识,难度适中,解题关键是正确作出辅助线2(2021春牧野区校级期中)如图,在矩形ABCD中,E为AB的中点,P为BC边上的任意一点,把PBE沿PE折叠,得到PFE,连接CF若AB10,BC12,当CF取最小值时,BP的值等于 思路引领:点F在以E为圆心EA为半径的圆上运动,当E、F、C共线时时,此时FC的值最小,根据勾股定理求出CE,根据折叠的性质可知BEEF5,即可求出CF,再利用勾股定理即可解决问题解:如图所示,点F在以E为圆心EA为半径的圆上运动,当E、F、C共线时时,此时CF的值最小,根据折叠的性质,EBPEFP,EFPF,EBEF,E是AB边的中点
9、,AB10,AEEF5,ADBC12,CE=BE2+BC2=13,CFCEEF1358由折叠可知:FPBP,CPBCBP12BP,在RtCFP中,根据勾股定理得:CF2+FP2CP2,82+BP2(12BP)2,解得BP=103故答案为:103总结提升:本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用,熟练掌握折叠的性质是解题的关键类型二 对角互补模型典例2 (2018汉阳区模拟)如图,在菱形ABCD中,点P是BC边上一动点,P和C不重合,连接AP,AP的垂直平分线交BD于点G,交AP于点E,在P点由B点到C点的运动过程中,APG的大小变化情况是()A变大B先变大后变小
10、C先变小后变大D不变思路引领:连接AC交BD于O,连接EO、AG,根据菱形的性质得出AOB90,AOCO,求出A、E、G、O四点共圆,得出PAGEOB,APGPAG,求出APGEOBDBC,即可求出答案解:连接AC交BD于O,连接EO、AG,四边形ABCD是菱形,AOB90,EG是AP的垂直平分线,AGPG,AEGAOB90,A、E、G、O四点共圆,PAGEOB,APGPAG,EOGAPG,四边形ABCD是菱形,OAOC,AEPE,OEBC,EOBDBC=12ABC,菱形ABCD固定,ABC的度数固定,即APG的度数不变,故选:D总结提升:本题考查了菱形的性质,线段垂直平分线性质,圆内接四边形
11、性质等知识点,能正确作出辅助线是解此题的关键变式训练1(2018碑林区校级一模)如图,在ABC中,ACB120,ACBC2,D是AB边上的动点,连接CD,将BCD绕点C沿顺时针旋转至ACE,连接DE,则ADE面积的最大值思路引领:设BD为a,表示线段AE,AD,用a表示ADE的面积表达式,从而利用二次函数的极值属性求出极值解:设BD为aACB120,ACBC2AB23AD=23-aAEBD,BCAE30,BCACBDCAEC(SAS)作EFAB,垂足为F在RtAEF中FAE60,AEBDaAF=12a,EF=123aADE的面积=12(23-a)123a=-34a2+32a即当a=3,ADE的
12、面积有最大值为343故答案为343总结提升:本题考查了数形结合的数学思想,将几何问题转化为函数问题,利用函数关系式获得极值2(2020淮阴区模拟)在RtABC中,ABC90,ACB30,AB2,O为AC的中点,过O作OEOF,OE、OF分别交射线AB,BC于E、F,则EF的最小值为 思路引领:首先过点O分别作OMAB于M,ONBC于N,易证四边形OMBN为矩形,则OMBC,ONAB,由直角三角形中30角性质,可得AC的长,进而求得BC长又O为AC中点,可求得OM与ON的长,由勾股定理可得MN的长又由垂线段最短,可得当OE与OM重合,OF与ON重合时,EF最短得解解:ABC90,ACB30,AB
13、2AC2AB4过点O分别作OMAB于M,ONBC于NB90,四边形OMBN为矩形,OMBC,ONABAOMACB,CONCAB,OM:CBOA:CA,ON:ABOC:ACO为AC中点,则OB=12AC2MN,由垂线段最短,可得当OE与OM重合,OF与ON重合时,EF最短EF的最小值为2故答案为:2总结提升:本题考查了矩形的判定和性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理以及垂线段最短的知识,难度适中,注意数形结合思想的运用3如图,在平面直角坐标系xOy中,A(0,2),点P在直线y=33x上,连接AP,过点P作PQAP,交x轴于点Q,连接AQ求QAP的度数思路引领:分点P在第三象限、点P在第一象限
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