2023年中考数学热点专题训练14:圆中的两解及多解问题分类讨论思想归类集训(含答案解析)
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1、专题14 圆中的两解及多解问题(分类讨论思想)归类集训类型一 讨论弦上某点或端点的位置 1在半径为10的O中,弦AB的长为16,点P在弦AB上,且OP的长为8,AP长为 2(2021无棣县模拟)已知O的直径CD10cm,AB是O的弦,ABCD,垂足为M,且AB8cm,则AC的长为()A25cmB43cmC25cm或45cmD23cm或43cm3(2020黑龙江)在半径为5的O中,弦AB垂直于弦CD,垂足为P,ABCD4,则SACP 类型二 圆心在两弦之间或者两弦之外4(2021商河县校级模拟)一下水管道的截面如图所示已知排水管的直径为100cm,下雨前水面宽为60cm一场大雨过后,水面宽为80
2、cm,求水面上升多少?5(1)半径为1的圆中有一条弦,如果它的长为3,那么这条弦所对的圆周角的度数等于 ;(2)在半径为1的O中,弦AB,AC的长分别为3和2,则BAC的度数是 ;(3)已知圆内接ABC中ABAC,圆心O到BC的距离为3cm,圆的半径为7cm,求腰长AB类型三 讨论点在优弧上或劣弧上6(2022秋双城区期末)已知O的半径为2,弦AB的长为23,则弦AB的中点到这条弦所对的弧的中点的距离为8(2021秋凉州区校级期末)如图,AB、AC分别与O相切于点B、C,A50,点P是圆上异于B、C的一动点,则BPC的度数是 类型四 弦所对的圆周角7(2022秋泗阳县期中)若圆的一条弦把圆分成
3、度数的比为1:3的两条弧,则该弦所对的圆周角等于 9(2020秋溧阳市期末)已知ABC是半径为2的圆内接三角形,若BC23,则A的度数为()A30B60C120D60或120类型五 讨论圆内接三角形的形状10(2019绥化)半径为5的O是锐角三角形ABC的外接圆,ABAC,连接OB、OC,延长CO交弦AB于点D若OBD是直角三角形,则弦BC的长为11已知等腰ABC的三个顶点都在半径为5的O上,如果底边BC的长为8,求BC边上的高类型六 讨论点与圆的位置关系12(2020南通模拟)若O所在平面内一点P到O上的点的最大距离为a,最小距离为b(ab),则此圆的半径为 13已知点P到O的最长距离为6c
4、m,最短距离为2cm试求O的半径长类型七 讨论直线与圆的位置关系14(2021崇明区二模)已知同一平面内有O和点A与点B,如果O的半径为3cm,线段OA5cm,线段OB3cm,那么直线AB与O的位置关系为()A相离B相交C相切D相交或相切15(2021秋信都区校级月考)在RtABC中,ACB90,AC6,BC8,若以点C为圆心,r为半径的圆与边AB所在直线相离,则r的取值范围为 ;若C与AB边只有一个公共点,则r的取值范围为 16(衢州中考)如图,已知直线l的解析式是y=43x4,并且与x轴、y轴分别交于A、B两点一个半径为1.5的C,圆心C从点(0,1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y
5、轴向下运动,当C与直线l相切时,则该圆运动的时间为()A3秒或6秒B6秒C3秒D6秒或16秒17(2018浦东新区二模)已知l1l2,l1、l2之间的距离是3cm,圆心O到直线l1的距离是1cm,如果圆O与直线l1、l2有三个公共点,那么圆O的半径为 cm18(2021秋新荣区月考)综合与实践问题情境:数学活动课上,老师出示了一个直角三角板和量角器,把量角器的中心O点放置在AC的中点上,DE与直角边AC重合,如图1所示,C90,BC6,AC8,OD3,量角器交AB于点G,F,现将量角器DE绕点C旋转,如图2所示(1)点C到边AB的距离为 (2)在旋转过程中,求点O到AB距离的最小值(3)若半圆
6、O与RtABC的直角边相切,设切点为K,求BK的长专题14 圆中的两解及多解问题(分类讨论思想)归类集训类型一 讨论弦上某点或端点的位置 1在半径为10的O中,弦AB的长为16,点P在弦AB上,且OP的长为8,AP长为 思路引领:作OCAB于点C,根据垂径定理求出OC的长,根据勾股定理求出PC的长,分当点P在线段AC上和当点P在线段BC上两种情况计算即可解:作OCAB于点C,AC=12AB8,由勾股定理得,OC=OA2-AC2=6,PC=OP2-OC2=27,当点P在线段AC上时,APACPC827,当点P在线段BC上时,AP8+27,故答案为:827或8+27总结提升:本题考查的是垂径定理的
7、应用和勾股定理的应用,正确作出辅助线构造直角三角形、运用分情况讨论思想是解题的关键2(2021无棣县模拟)已知O的直径CD10cm,AB是O的弦,ABCD,垂足为M,且AB8cm,则AC的长为()A25cmB43cmC25cm或45cmD23cm或43cm思路引领:分两种情况,根据题意画出图形,先根据垂径定理求出AM的长,连接OA,由勾股定理求出OM的长,进而可得出结论解:连接AC,AO,O的直径CD10cm,ABCD,AB8cm,AM=12AB=1284(cm),ODOC5(cm),当C点位置如图1所示时,OA5cm,AM4cm,CDAB,OM=OA2-AM2=52-42=3(cm),CMO
8、C+OM5+38(cm),AC=AM2+CM2=42+82=45(cm);当C点位置如图2所示时,同理可得:OM3cm,OC5cm,MC532(cm),在RtAMC中,AC=AM2+CM2=42+22=25(cm);综上所述,AC的长为45cm或25cm,故选:C总结提升:本题考查的是垂径定理和勾股定理等知识,根据题意画出图形,利用垂径定理和勾股定理求解是解答此题的关键3(2020黑龙江)在半径为5的O中,弦AB垂直于弦CD,垂足为P,ABCD4,则SACP 思路引领:如图1,作OEAB于E,OFCD于F,连接OD、OB,如图,根据垂径定理得到AEBE=12AB2,DFCF=12CD2,根据勾
9、股定理在RtOBE中计算出OE1,同理可得OF1,接着证明四边形OEPF为正方形,于是得到PAPC1,根据三角形面积公式求得即可解:作OEAB于E,OFCD于F,连接OD、OB,则AEBE=12AB2,DFCF=12CD2,如图1,在RtOBE中,OB=5,BE2,OE=OB2-BE2=1,同理可得OF1,ABCD,四边形OEPF为矩形,PEPF1,PAPC1,SAPC=1211=12;如图2,同理:SAPC=1233=92;如图3,同理:SAPC=1213=32;故答案为:12或32或92总结提升:本题考查了垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧也考查了勾股定理类型二 圆
10、心在两弦之间或者两弦之外4(2021商河县校级模拟)一下水管道的截面如图所示已知排水管的直径为100cm,下雨前水面宽为60cm一场大雨过后,水面宽为80cm,求水面上升多少?思路引领:分两种情形分别求解即可解决问题解:作半径ODAB交AB于C,连接OB,如图所示,由垂径定理得:BC=12AB30cm,在RtOBC中,OC=502-302=40cm,当水位上升到圆心以下,水面宽80cm时,则OC=502-402=30cm,水面上升的高度为:403010cm;当水位上升到圆心以上时,水面上升的高度为:40+3070cm,综上可得,水面上升的高度为10cm或70cm总结提升:本题考查的是垂径定理的
11、应用,掌握垂径定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键5(1)半径为1的圆中有一条弦,如果它的长为3,那么这条弦所对的圆周角的度数等于 ;(2)在半径为1的O中,弦AB,AC的长分别为3和2,则BAC的度数是 ;(3)已知圆内接ABC中ABAC,圆心O到BC的距离为3cm,圆的半径为7cm,求腰长AB思路引领:(1)根据垂径定理求得AD的长,再根据三角形函数可得到AOD的度数,再根据圆周角定理得到ACB的度数,根据圆内接四边形的对角互补即可求得AEB的度数;(2)连接OA,过O作OEAB于E,OFAC于F,根据垂径定理求出AE、FA值,根据解直角三角形的知识求出OAB和OAC,然后分两种情况求
12、出BAC即可;(3)可根据勾股定理先求得BD的值,再根据勾股定理可求得AB的值注意:圆心在内接三角形内时,AD10cm;圆心在内接三角形外时,AD4cm解:(1)如图1,过O作ODAB,则AD=12AB=123=32OA1,sinAOD=ADOA=32,AOD60AOD=12AOB60,ACB=12AOB,ACBAOD60又四边形AEBC是圆内接四边形,AEB180ACB18060120故这条弦所对的圆周角的度数等于60或120度故答案为:60或120度(2)解:有两种情况:如图2所示:连接OA,过O作OEAB于E,OFAC于F,OEAOFA90,由垂径定理得:AEBE=32,AFCF=32,
13、cosOAE=AEOA=32,cosOAF=AFOA=22,OAE30,OAF45,BAC30+4575;如图3所示:连接OA,过O作OEAB于E,OFAC于F,OEAOFA90,由垂径定理得:AEBE=32,AFCF=22,cosOAE=AEOA=32,cosOAF=AFOA=22,OAE30,OAF45,BAC453015,故答案为:75或15;(3)分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论,如图4,假若A是锐角,ABC是锐角三角形,连接OB,作ADBC于D,连接OD,ABAC,AD是BC的中垂线,OD也是BC的中垂线,A、O、D三点共线,OD3cm,OB7cm,AD10cm,BD
14、=OB2-OD2=210cm,ODBC,BDCD,ABAC,ADBC,AB=AD2+BD2=235cm;如图5,若A是钝角,则ABC是钝角三角形,和图4解法一样,只是AD734cm,AB=AD2+BD2=214cm,综上可得腰长AB235cm或214cm总结提升:本题主要考查了垂径定理和勾股定理,注意分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论,解题的关键是根据题意作出图形,求出符合条件的所有情况类型三 讨论点在优弧上或劣弧上6(2022秋双城区期末)已知O的半径为2,弦AB的长为23,则弦AB的中点到这条弦所对的弧的中点的距离为思路引领:由垂径定理得出AC,再由勾股定理得出OC,从而得出
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