2022年中考数学复习专题8:轨迹方程的求法(含答案解析)
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1、2022年中考数学复习专题8:轨迹方程问题【一】定义法定义法:如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线)的定义,则可先设出轨迹方程,再根据已知条件,待定方程中的常数,即可得到轨迹方程。 1.例题【例1】已知的顶点A,B的坐标分别为(-4,0),(4,0),C 为动点,且满足求点C的轨迹。【解析】由可知,即,满足椭圆的定义。令椭圆方程为,则,则轨迹方程为(,图形为椭圆(不含左,右顶点)。【例2】一动圆与圆外切,同时与圆内切,求动圆圆心的轨迹方程,并说明它是什么样的曲线。【解析】设动圆圆心为,半径为,设已知圆的圆心分别为、,将圆方程分别配方得:,当与相切时,有 当与相
2、切时,有 将两式的两边分别相加,得,即 移项再两边分别平方得: 两边再平方得:,整理得,所以,动圆圆心的轨迹方程是,轨迹是椭圆。【例3】已知A、B、C是直线l上的三点,且|AB|=|BC|=6,O切直线l于点A,又过B、C作O异于l的两切线,设这两切线交于点P,求点P的轨迹方程. 【解析】设过B、C异于l的两切线分别切O于D、E两点, 两切线交于点P.由切线的性质知:|BA|=|BD|,|PD|=|PE|,|CA|=|CE|,故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=186=|BC|,故由椭圆定义知,点P
3、的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆, 以l所在的直线为x轴,以BC的中点为原点,建立坐标系,可求得动点P的轨迹方程为:2.巩固提升综合练习【练习1】已知圆的圆心为M1,圆的圆心为M2,一动圆与这两个圆外切,求动圆圆心P的轨迹方程。【解析】设动圆的半径为R,由两圆外切的条件可得:,。.动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支,c=4,a=2,b2=12。故所求轨迹方程为【练习2】一动圆与圆O:外切,而与圆C:内切,那么动圆的圆心M的轨迹是( )A. 抛物线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线一支【解析】令动圆半径为R,则有,则|MO|-|MC|=2,满足双曲线定义。故选D。【练习3】已知A
4、BC中,A,B,C所对应的边为a,b,c,且acb,a,c,b成等差数列,|AB|=2,求顶点C的轨迹方程【解析】|BC|+|CA|=42,由椭圆的定义可知,点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆,其长轴为4,焦距为2, 短轴长为2, 椭圆方程为, 又ab, 点C在y轴左侧,必有x0,而C点在x轴上时不能构成三角形,故x2, 因此点C的轨迹方程是:(2x)答案:【练习2】已知抛物线y2=2x的弦AB所在直线过定点P(-2,0),则弦AB中点的轨迹方程是 .【解析】又弦中点在已知抛物线内P,即y22x,即x+22答案:y2=x+2(x2)阿波罗尼斯圆及其应用阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿
5、基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作圆锥曲线一书,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一.求证:到两定点的距离的比值是不等于1的常数的点的轨迹是圆.如图,点为两定点,动点满足,则时,动点的轨迹为直线;当时,动点的轨迹为圆,后世称之为阿波罗尼斯圆证明:设以中点为原点,直线为轴建立平面直角坐标系,则又设,则由得:, 两边平方并化简整理得:, 当时,轨迹为线段的垂直平分线;当时,轨迹为以点为圆心,以长为半径的圆 1.例题【例1】如图,圆与轴相切于点,与轴正半轴交于两点(B在A的上方),且()圆的标准方程为 ;()过点任作一条直线与圆相交于两点,下列
6、三个结论:;其中正确结论的序号是 .(写出所有正确结论的序号)【解析】()易知半径,所以圆的方程为;()方法一:因为圆心, 又因为,且为中点,所以因为 在圆 上,可设, 所以:所以:,同理:,所以:,正确;, 正确,正确所以:、正确方法一可以改进为:设为圆C上任意一点,则有:,正确;同理,正确;,正确.这里的第()问并不很难,只要考生有一定平面几何基础既能轻易解出.但第()问有难度.这是因为当圆的弦MN绕定点A旋转时,各有关线段的长度都在变化,从而相应线段的比值也就难于确定,方法一运算量较大。可是,如果你懂得阿波罗圆,且能看出图中的圆正是一例阿波罗圆,则其解法同样是轻而易举的. 方法二:如上图
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