小升初数学名校冲刺精编教程讲义-第12讲行程问题(教师版)
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1、第 12 讲 行程问题 一、一、基本公式:基本公式: 1.路程速度时间 2.速度路程时间 3.时间路程速度 二、二、形成形成问题问题的的类型类型及基本关系及基本关系 1.1.相遇问题:相遇问题: 相遇时间总路程速度和速度和总路程相遇时间总路程速度和相遇时间 2 2. .追及问题:追及问题: 追及时间路程差速度差速度差路程差追及时间路程差速度差追及时间 3 3. .环形跑道问题:环形跑道问题:从同一地点出发,如果是相向而行,则每相遇一次合走一圈(每隔第一次 相遇时间就相遇一次) ;第几次相遇就合走几圈;如果是同向而行,则每多跑一圈就追上一次 (每隔第一次追及时间就追上一次) 第几次追上就多跑几圈
2、 环形跑道:同向而行的等量关系:同向而行的等量关系:乙走的路程-甲走的路程=跑道长 背向而行的等量关系:背向而行的等量关系:乙走的路程+甲走的路程=跑道长 4 4. .流水行船问题:流水行船问题: 顺水速度船速水速 逆水速度船速水速 船速(顺水速度逆水速度)2 水速(顺水速度逆水速度)2 5 5. .列车过桥问题:列车过桥问题: (1) 火车过桥(隧道) :火车过桥(隧道)时间(桥长车长)火车速度 (2) 火车过树(电线杆、路标) :火车过树(电线杆、路标)时间车长火车速度 (3) 火车过人:火车经过迎面行走的人:迎面错过的时间车长(火车速度人的速度) 火车经过同向行走的人:追及的时间车长(火
3、车速度人的速度) (4) 火车过火车: 错车问题: 错车时间(快车车长慢车车长) (快车速度慢车速度) 超出问题:错车时间(快车车长慢车车长)(快车速度慢车速度) 考点一:一般相遇问题一般相遇问题 【例 1】(2019长沙模拟)甲乙两人从南北城同时出发相向而行,甲行了全程的 3 15 ,正好与乙相遇已 知甲每小时行 4.5 千米,乙走完全程需要 6.5 小时,求南北两地距离 【思路分析】根据两车相遇时甲行了全程的 3 15 ,可知乙行了全程的 312 1 1515 ,又知乙走完全程需要 6.5 小时, 用乘法可求出相遇时用了多少时间, 再乘甲的速度, 可知甲行驶的路程, 又知甲行了全程的 3
4、15 , 用除法可求出全程是多少 【规范解答】解: 3 6.5(1) 15 4 6.5 5 5.2(小时) 3 5.24.5 15 23.45 117(千米) 答:南北两地相距 117 千米 【名师点评】本题的重点是求出两车相遇时用的时间,进而根据路程速度时间,求出甲行驶的路程, 再根据已知一个数的几分之几是多少,求这个数用除法来进行计算 【例 2】(2019北京模拟)甲、乙两列火车的速度比是5:4乙车先发,从B站开往A站,当走到离B站 72 千米的地方时,甲车从A站发车往B站,两列火车相遇的地方离A,B两站距离的比是3:4,那么 A,B两站之间的距离为多少千米? 【思路分析】 先求出甲车行三
5、份时乙车行的份数, 再求 72 千米所占的份数, 用除法就可求出全程的距离 【规范解答】解:甲车行 3 份,乙车就行了34 / 52.4份, 72 千米相当于42.41.6份, 每份是721.645千米, 所以A和B两站之间的距离是45 (34)315(千米) 答:A和B两站之间的距离是 315 千米 【名师点评】此题主要考查相遇问题,关键是找清 72 千米所占的份数 1 (2019 秋高碑店市期末)在比例尺是1:6000000的地图上,量得A、B两地的距离是 5 厘米,甲、乙 两车同时从两地相向而行,3 小时后相遇,已知甲、乙两车的速度之比是3:2,则甲、乙两车的速度各是 多少? 【思路分析
6、】先依据“图上距离比例尺实际距离”求出两地的实际距离,把实际的路程化为千米再 据“路程相遇时间速度和”求出二者的速度和,甲、乙两车的速度比是3:2,则甲车的速度占速度和 的 3 2 ,用乘法计算可得乙车的速度,再求甲车的速度即可,列式解答即可 【规范解答】解:两地的实际距离: 1 530000000 6000000 厘米 30000000 厘米300千米 乙的速度: 3 3003(1) 2 1002.5 40(千米/小时) 甲的速度: 3 4060 2 (千米/小时) 答:甲汽车每小时行 60 千米,乙汽车每小时行 40 千米 【名师点评】本题主要应用的知识点是:实际距离图上距离比例尺,速度和
7、相遇时间路程 2 (2019鄞州区)鄞州院士公园里的一条健身步道全长 1500 米,张明走完全程要用 20 分钟,李林走完 全程要用 30 分钟他们分别从这条健身步道的两端同时出发,相向而行,多长时间能够相遇? 【思路分析】把全长 1500 米看作单位“1” ,那么张明的速度就是 1 20 ,那么李林就是 1 30 ,然后用单位“1” 除以两人的速度和就是相遇时间 【规范解答】解: 11 1() 2030 1 1 12 12(分钟) 答:相向而行,经过 12 分钟能够相遇 【名师点评】本题用工程问题的解答方法比较简单,也可用总路程 1500 除以速度和(150020150030) 来解答,即1
8、500(150020 150030) 3 (2019郑州)公园的湖边小道近似于长方形(如图) 一天,唐老鸭和米老鼠同时从A点出发沿湖边小 道跑步,10 分钟后在E点相遇已知40CE 米,米老鼠的速度是唐老鸭的 3 4 ,这条湖边小道全长多 少米? 【思路分析】设这条湖边小道全长2x米,则米老鼠走了(40)x米,唐老鸭走了(40)x米,根据题意米 老鼠的速度是唐老鸭的 3 4 ,根据题意列方程:(40):(40)4:3xx,解比例即可 【规范解答】解:设公园的湖边小道长2x,则 (40):(40)4:3xx 41603120 xx 280 x 2802560(米) 答:这条湖边小道全长 560
9、米 【名师点评】本题主要考查相遇问题,根据环形路的特点,利用时间一定,路程和速度成正比例,列比例 求解 4 (2019湘潭)两辆汽车从A、B两地同时相对开出,甲车每小时行 70 千米,乙车每小时行 80 千米两 车在离中点 15 千米处相遇,则A、B两地的距离是多少千米?若甲车因事在中途耽误了 5 8 小时,则两 车相遇地点距离中点多少千米? 【思路分析】要求A、B两地的距离,用两车速度和乘相遇时间,速度和为8070150(千米/时) ,关 键是求时间,根据“两车在离中点 15 千米处相遇” ,可知相遇时乙车比甲车多行15230(千米) ,根 据路程差速度差相遇时间,则两车相遇时间为:30(8
10、070)3(小时) ,再根据路程速度和乘 相遇时间求解;若甲车因事在中途耽误了 5 8 小时,先用乙车的速度乘 5 8 ,求出乙车在这段时间的路程, 然后用总路程减去这段路程,求出剩下的路程,再用剩下的长度除以速度和,求出相遇时间,然后用乙 车的速度乘相遇时间,再加上乙车 5 8 小时行驶的路程,求出乙车行驶的路程,再减去全程的一半即可求 解 【规范解答】解:(15 2)(8070) 3010 3(小时) (8070) 3 1503 450(千米) 5 8050 8 (千米) 45050400(千米) 400(8070) 400150 8 3 (小时)来源:学科网 8 80504502 3 6
11、40 50225 3 115 3 (千米) 答:A、B两地的距离是 450 千米, 若甲车因事在中途耽误了 5 8 小时, 则两车相遇地点距离中点115 3 千米 【名师点评】本题只要是考查了相遇问题的数量关系:相遇时间路程速度和,关键是明确两车在离中 点 15 千米处相遇,那么快车比慢车多行了 2 个 15 千米 5 (2019句容市)A、B两地相距 630 米,客车和货车分别从A、B两地同时出发相向而行,3 小时相 遇已知客车的速度是货车速度的 3 4 ,客车每小时行多少千米? 【思路分析】根据“总路程相遇时间速度和”用 630 除以 3 求出速度和,再把速度和看作单位“1” , 那么客车
12、的速度是速度和的 3 34 ;然后根据分数乘法的意义解答即可 【规范解答】解: 3 (6303) 34 3 210 7 90(千米/小时) 答:客车每小时行 90 千米 【名师点评】本题考查了稍复杂的相遇问题,关键是求出速度和与客车的速度是速度和的几分之几 6 (2019菏泽)甲乙两辆汽车同时从A、B两地相对开出,2.5 小时两车在距中点 10 千米处相遇,已知 甲车速度是乙车的 4 5 ,A、B两地相距多少千米? 【思路分析】根据题意,两车在距中点 10 千米处相遇,则两车路程差为:10220(千米) ,则相遇时 乙行的路程为: 4 20(1)100 5 (千米) , 甲行的路程为: 4 1
13、0080 5 (千米) , 所以两地相距:10080180 (千米) 【规范解答】解: 4 102(1) 5 1 20 5 100(千米) 4 10080 5 (千米) 10080180(千米) 答:A、B两地相距 180 千米 【名师点评】本题主要考查相遇问题,关键利用路程和、速度和和时间之间的关系做题 7 (2019杭州模拟) 甲、 乙两城相距 210 千米, 一辆客车和一辆货车同时从两城相对开出, 3 小时相遇 已 知货车每小时的速度比客车慢 6 千米,两车每小时各行多少千米? 【思路分析】根据题意,由甲乙两地的路程和两车的相遇时间,运用关系式:路程相遇时间速度和, 可求出两车的速度和,
14、然后根据和差公式“ (和差)2 较小数, (和差)2 较大数”求出货车的速 度与客车的速度即可 【规范解答】解:210370(千米/小时) (706)238(千米/小时) (706)232(千米/小时) 答:货车每小时行 32 千米,客车每小时行 38 千米 【名师点评】本题考查了相遇问题与和差公式的综合应用,关键是求出速度和 8 (2019郑州模拟)甲车的速度是 100 千米,是乙车速度的 5 4 ,两车同时分别从两地相向而行,在距中 点 180 千米处相遇,问两车开出后多少小时相遇? 【思路分析】先用 5 10080 4 (千米)求出乙车速度,甲车每小时比乙车快1008020(千米) ,两
15、车 相遇在距两地中点 180 千米处, 可知路程差是1802360(千米) , 所以相遇时间为3602018(小时) 【规范解答】解: 5 100 4 4 100 5 80(千米) 1802(10080) 36020 18小时) 答:两车开出后 18 小时相遇 【名师点评】解题的关键是利用两车所行路程差速度差相遇时间,从而解决问题 考点二:一般追击问题一般追击问题 【例 3】(2019广州模拟)在AB两城有甲乙两人,分别从AB两城同时相向而行,2 小时相遇,相遇时甲 所走的路程与乙所走的路程比是7:9;如果甲乙两人同时同向而行,乙需要多少小时才能追上甲? 【思路分析】两人 1 小时可以走全程的
16、 1 2 ,根据速度比是7:9,可以求出乙每小时可以比甲多走全程的 1 2 的 97 97 【规范解答】解: 1971 29716 1 116 16 (小时) 答:乙需要 16 小时才能追上甲 【名师点评】此题的关键求出两人的速度差占AB两城距离的几分之几 【例 4】一辆快车和一辆慢车同时从甲地开往乙地,当快车行了全程的 1 2 时,慢车离乙地还有 54 千米; 当快车到达终点时,慢车行了全程的 4 5 ,甲乙两地相距多少千米? 【思路分析】把两地间的距离看作单位“1” ,当快车到达终点时,慢车行了全程的 4 5 ,那么当快车行了全 程的 1 2 时, 慢车就应行了全程的 41 52 , 慢车
17、离乙地还有全程的 41 1 52 , 也就是 54 千米占全程的分率, 根据分数除法意义即可解答 【规范解答】解: 41 54(1) 52 3 54 5 90(千米) 答:甲乙两地相距 90 千米 【名师点评】分数除法意义是解答本题的依据,关键是求出 54 千米占全程的分率 1 (2019常州)小明跑步去追一个和他同向而行的 100 米外的那个人,那个人的速度为 4 米每秒,小明 追那个人追了 1 分 40 秒,问:小明的速度是多少? 【思路分析】首先用两人的路程差除以小明追那个人用的时间,求出两人的速度之差是多少;然后用它加 上那个人的速度,求出小明的速度是多少即可 【规范解答】解:1 分
18、40 秒100秒 1001004 14 5(米/秒) 答:小明的速度是 5 米/秒 【名师点评】此题主要考查了追及问题,要熟练掌握,解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速 度差、追及时间三者之中,找出两者,然后运用公式求出第三者来达到解题目的 2 (2019 秋高碑店市期末)已知一个运动场的跑道的形状与大小如图,两边是半圆形,中间是长方形, 小亮站在A点,小明站在B点,两人同时按逆时针方向跑,小亮每分钟跑 315 米,小明每分钟跑 275 米, 小亮几分钟追上小明?(得数保留一位小数) 【思路分析】根据题意,当小明追上小亮时,比小亮多跑了半圈跑道的长度,先计算半圈跑道的长度: 3.146
19、0290184.2(米),然后利用追及问题公式:追及时间路程差速度差,计算追及时间: 184.2(315275)4.6(分钟) 来源:Zxxk.Com 【规范解答】解:(3.14 60290)(315275) (94.290)40 184.240 4.6(分钟) 答:小亮 4.6 分钟追上小明 【名师点评】本题主要考查追及问题,关键利用追及问题公式计算 3 (2019 春营山县期末)甲乙两地相距 20 千米,客货两车同时从甲乙两地出发,同向而行开往成都2 小时后,客车追上货车已知货车的速度是 30 千米/时,求客车每小时行多少千米? 【思路分析】根据题意可知,甲乙两地相距 20 千米,客货两车
20、同时从甲乙两地出发,同向而行开往成都, 2 小时后,客车追上货车,客车在后,货车在前,客车 2 小时比货车多行 20 千米,求出货车的路程,再加 上 20 千米,就是客车的路程,再除以时间,即可求出客车每小时行多少千米 【规范解答】解:(30220)2 802 40(千米) 答:客车每小时行 40 千米 【名师点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系:速度时间路程,路程时间速 度,路程速度时间,要熟练掌握 4 (2019 春普陀区期中)小巧以 65 米/分的步行速度从家里出发去少年宫出发 16 分钟后,妈妈发现小 巧把学习资料袋忘在家里了,于是骑车以 185 米/分的速度去追已知小
21、巧家与少年宫之间的路程是 1800 米,妈妈能在小巧到达少年宫之前追上她吗? 【思路分析】根据小巧出发 16 分钟后,妈妈骑车去追小巧,就成了追及问题,用妈妈出发时两人的路程 差除以它们的速度差,就是妈妈追上小巧需要的时间;再用小巧的速度乘上小巧一共走的时间,求出小巧 一共走的路程,再与 1800 米的总路程相比较 【规范解答】解:追及时间: (65 16)(18565) 1040120 26 3 (分钟) 小巧在妈妈追上她时,一共走的路程: 26 65 1665 3 1 1040563 3 1 1603 3 (米) 1 1603 3 米1800米 所以妈妈能在小巧到达少年宫之前追上她 答:妈
22、妈能在小巧到达少年宫之前追上她 【名师点评】解答此题的关键是明白妈妈骑车去追小巧的路程就是小巧出发 16 分钟所走的路程,再求出 两人的速度差,即可解决问题 考点三:特殊相遇问题特殊相遇问题 【例 5】(2019宁德)A车和B车同时从甲、乙两地相向开出,经过 5 小时相遇然后,它们又各自按原 速原方向继续行驶 3 小时,这时A车离乙地还有 135 千米,B车离甲地还有 165 千米甲、乙两地相 距多少千米? 【思路分析】要求甲、乙两地相距多少千米,通过题意可知,相遇后它们又各自按原速原方向继续行驶 3 小时,因为相向开出经过 5 小时相遇,说明剩下的路程(165135),即两车(53)小时开的
23、路程之和, 用路程除以时间求出两车一小时行多少,然后乘 5 即可得出结论 【规范解答】解:(135 165)2 5 , 30025, 750(千米) ; 答:甲、乙两地相距 750 千米 【名师点评】此题应认真分析,根据路程、速度和时间的关系,即可列式解答得出结论 【例 6】(2019毕节地区模拟)一列快车和一列慢车同时从甲、乙两地相对开出,8 小时相遇,相遇后两 车继续以原速前进,快车又经过 6 小时到达乙地,这时慢车离甲地还有 175 千米,求甲、乙两地相距 多少千米? 【思路分析】设甲、乙两地的距离为 1,8 小时两车合行一个甲、乙两地的路程,每小时行 1 8 ,所以 6 小 时两车合行
24、全程的 1 6 8 ,则还剩下全程的 1 16 8 ,正好是 175 千米,所以甲、乙两地相距是 1 175(16) 8 【规范解答】解: 1 175(16) 8 3 175(1) 4 1754 700(千米) ; 答:甲、乙两地相距 700 千米 【名师点评】此题主要是把两地之间的距离看做 1,表示出快、慢两车的速度和,速度和乘 6 小时就是两 车合行全程的几分之几,然后求出还剩下全程的几分之几,正好是 175 千米最后用除法解答 1 (2019长沙)甲、乙两地是电车发车站,每隔一定时间两地同时发出一辆车,每辆电车都是每隔 4 分 钟遇到迎面开来的一辆电车,小张和小王分别骑车从甲、乙两地同时
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