小升初数学名校冲刺精编教程讲义-第18讲立体图形的认识与测量(一)(教师版)
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1、第 18 讲 立体图形的认识与测量(一) 知识点一:知识点一:长方体和正方体的认识长方体和正方体的认识 名称名称 长方体长方体 正方体正方体 图形图形 展开图展开图 相同点相同点 面面 6 6 个个 6 6 个个 棱棱 1 12 2 条条 1 12 2 条条 顶点顶点 8 8 个个 8 8 个个 不同点不同点 面的特点面的特点 6 6 个面一般是个面一般是 长方形长方形 , ,也可也可 能有能有 2 2 个相对的是个相对的是 正方形正方形 6 6 个面都是相同的个面都是相同的正方形正方形 面的大小面的大小 相对的面的面积相对的面的面积 相等相等 6 6 个面的面积都个面的面积都 相等相等 棱长
2、棱长 相对的棱的长度相对的棱的长度 相等相等 6 6 条棱的长度都条棱的长度都 相等相等 联系联系 正方体是特殊的长方体正方体是特殊的长方体 知识点二:知识点二:长方体和正方体的表面积长方体和正方体的表面积 1.1.表面积表面积: :一个立体图形所有面的面积一个立体图形所有面的面积 总和总和 叫作它的表面积。叫作它的表面积。 2.2.长方体和正方体的长方体和正方体的表面积。表面积。 (1)(1)长方体的表面积长方体的表面积= = 2 2( (长宽长宽+ +长高长高+ +宽高宽高) ) , ,用字母表示为用字母表示为:S=:S= 2(ab+ah+bh)2(ab+ah+bh) (2)(2)正方体的
3、表面积正方体的表面积= = 6 6棱长棱长棱长棱长 , ,用字母表示为用字母表示为:S=:S= 6a6a 2 2 。 。 知识点三:知识点三:长方体和正方体的体积长方体和正方体的体积 1.体积:一个立体图形所占空间的 大小大小 叫作它的体积。 2.长方体的体积(容积)= 长宽高长宽高 ,用字母表示为:V= abhabh 3.正方体的体积(容积)= 棱长棱长棱长棱长棱长棱长 ,用字母表示为:V= a a 3 3 考点一:长方体和正方体的长方体和正方体的展开图展开图 来源来源: :学学+ +科科+ +网网 【例 1】(2019 春福田区期末)如图,这个正方体的上半部分是阴影,下半部分是白色的,下面
4、四 幅图中,是这个正方体的展开图的是( ) A B C D 【思路分析】此图属于正方体展开图的“141”结构,折成正方体后, “4”中的右数第二个正方形为折 成正方体的上面,与之相邻的四个面中必须有涂色的长方形,且长方形的长与之重合A图、B图、D图 均不符合这一特征,只有C图符合这一特征 【规范解答】解:如图,这个正方体的上半部分除了阴影,下半部分是白色的,是这个 正方体的展开图 故选:C 【名师点评】关键抓住: “4”中的右数第二个正方形为折成正方体的上面,与之相邻的四个面中必须有涂 色的长方形,且长方形的长与之重合此题可能动手操作一下 【例 2】(2019遂昌县) 右面是一个长方体的展开图
5、, 请同学们看图列式计算它的体积和表面积 (单位: 厘米) 【思路分析】根据长方体的展开图,可以求出长方体的宽是:11325 (厘米) ,然后根据长方体的体 积公式Vabh和表面积公式()2Sabahbh即可解答 【规范解答】解:长方体的宽是:11325 (厘米) , 长方体的体积:753 , 353, 105(立方厘米) ; 长方体的表面积:(7 57 33 5)2 , (3521 15)2, 71 2, 142(平方厘米) ; 答:长方体的体积是 105 立方厘米;表面积是 142 平方厘米 【名师点评】本题关键是求出长方体的宽,这就需要学生有一定的空间想象能力,知道哪两个面是相对的 面
6、1 (2019北京模拟)将一个正方体纸盒沿如图所示的粗实线剪开,展开成平面图,其展开图的形状为( ) A B C D 【思路分析】从有粗线的图看,展开后,右、前、左、后四个面是连成一线的,因此,可以确定A、B不 正确;上面是连着右面的,正面是连着下面的,因此,D也不正确;只有C符合题意 【规范解答】解:如图 将一个正方体纸盒沿如图所示的粗实线剪开,展开成平面图,其展开图的形状为: 故选:C 【名师点评】解答此题最好的办法是根据图动手操作一下,既可锻炼了动手操作能力,又解决了问题 2 (2019防城港模拟)下面是一个长方体的展开图,其中错误的是( ) A B C D 【思路分析】根据长方体的特征
7、,6 个面都是长方形(特殊情况有两个相对的面是正方形) ,及长方体的展 开图解题 【规范解答】解:由四棱柱四个侧面和上下两个底面的特征可知,A,B,D选项可以拼成一个长方体, 而C选项,上底面不可能有两个,故不是长方体的展开图 故选:C 【名师点评】此题考查了长方体的特征以及展开图 3 (2019如东县)如图是一个正方体的平面展开图每个面上都填有一个数,且满足相对的两个面上的 数互为倒数那么(mn ) A 1 2 B 1 6 C 1 3 D 3 2 【思路分析】此图属于正方体展开图的“132”结构,折成正方体后,1 与n相对,2 与m相对,3 与 空白面相对n与 1 互为倒数,则n为 1,m与
8、 2 互为倒数,则m为 1 2 可计算出mn值 【规范解答】解:如图 折成正方体后,1 与n相对,2 与m相对,3 与空白面相对n与 1 互为倒数,则n为 1,m与 2 互为倒数, 则m为 1 2 11 1 22 mn 故选:A 【名师点评】解答此题的关键是根据正方体展开图及倒数的意义,弄弄清m、n为何值 4 (2019新罗区)如图,把这个展开图折成一个长方体, (1)如果A面在底部,那么 面在上面 (2)如果F面在前面,从左面看是B面,那么 面在上面 【思路分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题这是一个正方体的平面展开图,共有六个面,其中 面“A”与面“F”相对,面“B”与面“D”相对,
9、“C”与面“E”相对,再根据AF折的方向判断E 或C哪个面在上面 【规范解答】解:由图可知, “C”与面“E”相对则 (1)因为面“A”与面“F”相对, 所以A面是长方体的底部时,F面在上面; (2)由图可知,如果F面在前面,B面在左面,那么“C”面在下面, 因为面“E”与面“C”相对,当AF向上折,E会在上面,当AF向下折,C面会在上面; 故答案为:F,E或C 【名师点评】注意正方体的空间图形,从相对面入手,分析及解答问题 5 (2019 秋市中区期末)下面是一个长方体的正面、左面和下面的展开图画出展开图的另外三个面, 并标出每个面是长方体的什么面 【思路分析】 根据长方体的面的特征, 长方
10、体的 6 个面都是长方形 (特殊情况有两个相对的面是正方形) , 相对的面的面积相等由此解答 【规范解答】解:根据分析,作图如下: 【名师点评】此题主要考查长方体的特征和展开图的形状 6 (2019 春奉贤区期中)如图,这是一个长方体模型的展开图,求这个长方体模型的体积和表面积 【思路分析】根据长方体的展开图可知:两条长和两条宽的和是 28 厘米,所以用 28 除以 2 减去长即可求 出宽, 已知高是 5 厘米, 根据长方体的体积公式:vabh, 长方体的表面积公式:()2sabahbh, 把数据分别代入公式解答 【规范解答】解:长方体的宽: 28210 1410 4(厘米) 2()Sahab
11、bh 2 (10410 54 5) 2 (405020) 2 110 220(平方厘米) ; Vabh 1054 504 200(立方厘米) ; 答:它的表面积是 220 平方厘米,体积是 200 立方厘米 【名师点评】此题考查的目的是理解掌握长方体侧面展开图的特征,以及长方体的表面积公式、体积公式 的灵活运用,关键是熟记公式 考点二:长方体和正方体的棱长和问题长方体和正方体的棱长和问题 【例 3】(2019 秋新田县期中)为迎接“五一”国际劳动节,工人叔叔要在工人俱乐部的四周装上彩灯 (地面的四边不装) 已知工人俱乐部长95m,宽55m,高24m,工人叔叔至少需要多长的彩灯线? 【思路分析】
12、俱乐部是个长方体,要求的是两个长和两个宽和四个高的和(即棱长总和地面的两个长和 两个宽) ;据此解答 【规范解答】解:(9555)224 4 30096 396( )m 答:工人叔叔至少需要 396 米的彩灯线 【名师点评】此题应根据题意,结合长方体的棱长总和的计算进行解答即可 【例 4】(2019 秋市中区期末)如图,有一个长 6 分米、宽 4 分米、高 2 分米的长方体硬纸箱,用绳子 将箱子捆扎起来,打结处共用 2 分米一共要用绳子多少分米? 【思路分析】根据长方体的特征,相对的棱的长度相等,由图形可知:所需绳子的长度等于 2 条长4条 宽6条高打结用的 2 分米,据此解答 【规范解答】解
13、:6244262 1216122 42(分米) , 答:一共用绳子 42 分米 【名师点评】 此题考查的目的是理解掌握长方体的特征, 以及棱长和的计算方法, 关键是弄清如何捆扎的 1 (2019 春福清市校级月考)小明用一根长铁丝做了一个棱长为 6 分米的正方体框架,现在想把它改做 一个长为 6 分米,宽为 4 分米,高为多少分米的一个长方体框架? 【思路分析】由题意可知,正方体和长方体的棱长总和相等,首先根据正方体的棱长总和12棱长,求 出棱长总和;因为长方体的长、宽、高的棱各有 4 条,因此用棱长总和4,求长、宽、高的和,再减 去长和宽即可求出高;由此解答 【规范解答】解:6 124(64
14、) 72410 1810 8(分米) 答:高为 8 分米的一个长方体框架 【名师点评】本题主要考查正方体和长方体的特征,根据正方体和长方体棱长总和的计算方法解决问题 2 (2019海安县) 用一根长 48 分米的铁丝做一个长方体的框架, 使它的高为 8 分米, 长和宽的比是3:1, 长是 3 分米,宽是 分米 【思路分析】首先用棱长总和除以 4 求出长、宽、高的和,用长、宽、高的和减去高求出长、宽的和,已 知长和宽的比是3:1,利用按比例分配的方法即可求出长、宽据此解答 【规范解答】解:4848 128 4(分米) ; 长: 3 4 31 3 4 4 3(分米) ; 宽: 1 4 31 1 4
15、 4 1(分米) ; 答:这个长方体的长是 3 分米,宽是 1 分米 故答案为:3 分米,1 分米 【名师点评】此题主要考查长方体的棱长总和公式的灵活运用,以及按比例分配的实际应用 3 (2019咸丰县)把 9 盒如图所示这样的牙膏捆在一起,怎么捆最节省胶带?至少需要多长的胶带? 【思路分析】把 9 盒牙膏捆在一起,用 2 种捆法:第一种捆法:把 9 个盒子并列排在一起,组成一个长方 体, 它的宽是9545厘米, 高是 5 厘米; 第二种捆法: 把 9 个盒子分三层排在一起, 组成一个长方体, 它的宽是3 515厘米,高是5315厘米;据此分别求出它们侧面的周长,再进行比较即可 【规范解答】解
16、:第一种捆法:把 9 个盒子并列排在一起,组成一个长方体,它的宽是9545厘米,高 是 5 厘米; (455)2 502 100(厘米) 来源:学科网 ZXXK 第二种捆法: 把 9 个盒子分三层排在一起, 组成一个长方体, 它的宽是3 515厘米, 高是5315厘米; (1515)2 302 60(厘米) 10060 所以第二种捆法最节省胶带 答:把 9 个盒子分三层排在一起最节省胶带,最少用 60 厘米 【名师点评】 本题的关键是分情况进行讨论, 求出不同排列时组成的长方体的宽和高, 求出它的侧面周长, 再进行比较 4用两个正方体木块拼成一个长方体,棱长之和减少了24cm,这两个正方体木块
17、原来棱长总和是多少? 【思路分析】已知把两个完全一样的正方体拼成一个长方体,这个长方体棱长之和比原来棱长之和减少 24 厘米,因为有两个面重合,即减少了 8 条棱的长度,2483厘米,正方体的棱长是 3 厘米,再根据 正方体的棱长之和棱长12计算即可解答 【规范解答】解:根据题干分析可得:248 122 , 3 122 , 72(厘米) , 答:这两个正方体木块原来棱长总和是 72 厘米 【名师点评】根据 2 个小正方体拼组长方体的特点,求出拼组后的长方体的棱长是减少了几个小正方体的 棱长,是解决本题的关键 考点三:长方体和正方体的表面积长方体和正方体的表面积 【例 5】(2019 春惠阳区期
18、中)一个礼堂长 20 米,宽 15 米,高 8 米,要粉刷礼堂的顶棚和四周墙壁, 除去门窗面积 120 平方米,平均每平方米用涂料 0.5 千克,一共需涂料多少千克? 【思路分析】根据长方体的表面积的计算方法,首先分清求的是哪 5 个面的总面积,即上面、前后面、左 右面;求出 5 个面的面积,减去门窗面积后再乘以 0.5,由此列式解答 【规范解答】解:20 1520 8215 82120 300320240120 860120 740(平方米) 0.5740370(千克) 答:一共需涂料 370 千克 【名师点评】此题主要考查长方体的表面积的计算方法,特别是利用长方体的表面积计算方法解决实际问
19、 题时,首先分清求的是哪些面的总面积 【例 6】(2019 秋五华区期末)一块长方形铁皮(如图) ,从四个角各切掉一个边长为5cm的正方形,然 后做成盒子,这个盒子用了多少铁皮? 【思路分析】根据长方形的面积公式Sab和正方形的面积公式 2 Sa求出长方形和正方形的面积,这个 盒子用的铁皮的面积是这个长方形的面积减去 4 个边长为 5 厘米的小正方形的面积,据此即可解答 【规范解答】解:40 305 54 1200100 2 1100()cm; 答:这个盒子用了 2 1100cm的铁皮 【名师点评】本考查了长方形和正方形面积公式的灵活应用 1 (2019 春斗门区校级期中)求下面图形的表面积
20、【思路分析】 (1)根据长方体的表面积公式:()2sabahbh,把数据代入公式解答 (2)先求出正方体的棱长,根据正方体的表面积公式: 2 6sa,把数据代入公式解答 (3)即在大长方体的顶点处去掉一个小长方体,对大长方体去掉的表面积正好等于增加的表面积,则得 复合图形的表面积等于大长方体的表面积 【规范解答】解: (1)(5 35 43 4)2 (1520 12)2 472 94(平方分米) ; 答:长方体的表面积是 94 平方分米 (2)36123(厘米) 2 63 69 54(平方厘米) ; 答:正方体的表面积是 54 平方厘米 (3))(10 8 10 68 6)2 (806048)
21、2 1882 376(平方米) ; 答:复合图形的表面积是 376 平方米 【名师点评】此题主要考查长方体和正方体的表面积的计算公式 2 (2019 春眉山期末)一节通风管长 2.5 米,它的横截面是边长为 6 分米的正方形如果用铁皮做这样 的通风管 50 节,至少需要铁皮多少平方米? 【思路分析】由于通风管没有底面,长方体的侧面积底面周长高,求出做一节用铁皮的面积再乘 50 即可 【规范解答】解:6 分米0.6米 0.642.550 650 300(平方米) 答:至少需要铁皮 300 平方米 【名师点评】解答有关长方体计算的实际问题,一定要搞清所求的是什么(体积、表面积还是几个面的面 积)
22、,再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题 3 (2019海淀区模拟)如图,这座领奖台由四个相同的长方体拼合而成,它的前后两面涂上白色油漆, 踏板和侧面铺上蓝色地毯 (单位:厘米) (1)需要油漆部分的面积是多少? (2)做这个领奖台需要多少木料? 【思路分析】 (1)根据长方体的特征:相对的面面积相等,它的前后两面涂上白色油漆,前后面分别 4 个 完全相同的长方形,长是 40 厘米,宽是 20 厘米,根据长方形的面积公式解答即可 (2)根据长方体的体积公式:vabh,求出一个长方体的体积,再乘 4 求出 4 个长方体的体积是多少平 方厘米即可 【规范解答】解: (1)402042, 800
23、42, 32002, 6400(平方厘米) ; 答:需要油漆部分的面积是 6400 平方厘米 (2)4030204 240004 96000(立方厘米) ; 答:做这个领奖台需要 96000 立方厘米的木料 【名师点评】解答有关长方体计算的实际问题,一定要搞清所求的是什么,再进一步选择合理的计算方法 进行计算解答问题 4一个礼堂长 20 米,宽 15 米,高 8 米,要粉刷礼堂的顶和四壁,除去门窗面积 120 平方米,平均每平 方米用涂料 3 千克,实际粉刷时有 1 10 的损耗,粉刷这个礼堂共需涂料多少千克? 【思路分析】 (1)要求需要涂料的千克数,需先求出长方体房间的表面积,根据题意可知
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