2021届湖南省长沙市重点中学联考高三上月考数学试题(一)含答案解析
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1、2021 届高三月考届高三月考数学数学试卷试卷( (一一) ) 本试卷共本试卷共 8 页页.时量时量 120 分钟分钟.满分满分 150分分. 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分在每小题给田的四个选项中,只有一项是分在每小题给田的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的. 1. 已知集合22Axx, lg(1)Bx yx.则AB ( ) A. 2x x B. 12xx C. 12xx D. 2x x 【答案】C 【解析】 【分析】 根据对数函数的定义域化简lg(1)Bx yx,再利用交集的运算求解即可. 【详解】由题意得,
2、 lg(1)1Bx yxx x, 因为22Axx, 所以12ABxx, 故选:C. 【点睛】本题主要考查对数函数的定义域以及集合交集的运算,属于基础题. 2. 已知复数z满足34 25zi,则z的共轭复数在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】 化简复数z,进而可得出复数z的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】 25 3425 34 343434 i zi iii ,则 3 4zi , 复数z在复平面内对应的点是3, 4,在第四象限, 故选:D. 【点睛】本题考查复数对应的点所在象限的确定,考查了复
3、数的除法法则以及共轭复数的应用,属于基础 题. 3. 已知abc且0a b c ,则下列不等式恒成立的是( ) A. 222 abc B. 22 abcb C. acbc D. abac 【答案】C 【解析】 0a b c 且abc, 0,0ac acbc 选 C 4. 在ABC中,2BDDC ,AE ED ,则BE ( ) A. 15 36 ACAB B. 15 36 ACAB C. 11 36 ACAB D. 11 36 ACAB 【答案】A 【解析】 【分析】 直接利用平面向量线性运算法则求解即可, 【详解】 111121115 () 222232336 BEBABDBABCBAACAB
4、ACAB , 故选:A. 【点睛】本题主要考查平面向量线性运算法则,意在考查对基础知识的掌握与应用,属于基础题. 5. 设函数 2 ( )logf xxxm,则“函数 f x在 1 ,4 2 上存在零点”是(1,6)m的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 由函数基本初等函数的单调判断函数 ( )f x的单调性,由函数 f x在 1 ,4 2 上存在零点,则 1 0 2 f , (4)0f ,即可求出参数的取值范围,再根据充分条件、必要条件的定义判断即可; 【详解】解:函数 2 ( )logf xxxm在区
5、间0,上单调递增, 由函数 f x在 1 ,4 2 上存在零点,则 11 0 22 fm ,(4)60fm, 解得 1 6 2 m,故“函数 f x在 1 ,4 2 上存在零点”是“(1,6)m”的必要不分条件. 故选:B. 【点睛】本题考查函数的零点及充分条件、必要条件的判断,属于基础题. 6. 已知实数a,b,c满足 1 lg10ba c ,则下列关系式中不可能成立的是( ) A. abc B. acb C. cab D. cba 【答案】D 【解析】 【分析】 设 1 lg10bat c ,分别表示出, ,a b c,构造函数,利用函数图象比较大小. 【详解】设 1 lg10bat c
6、,0t ,则 10ta , lgbt, 1 c t , 在同一坐标系中分别画出函数10 xy ,lgyx, 1 y x 的图象,如图, 当3 tx 时,abc;当2 tx 时,acb;当1 tx 时,cab. 故选:D. 【点睛】本题考查利用函数的图象比较大小,构造函数,画出图象是关键. 7. 已知 3sincos 7 2sin3cos ,则函数 2 ( )sin2tan|cos | 6f xxx的最小值为( ) A. -5 B. -3 C. 2 D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】 由 3sincos 7 2sin3cos 可求出tan值,再将 ( )f x化为关于cosx的二次函数,
7、即可根据二次函数的性质 求出最小值. 【详解】由 3sincos 7 2sin3cos ,有 3tan1 7 2tan3 ,解得tan2, 故 222 ( )sin2tan|cos | 6cos4|cos | 5(|cos | 2)1f xxxxxx , 故当|cos| 0 x 时, f x取最小值5. 故选:A. 【点睛】本题考查分式型三角函数的化简,以及关于二次型三角函数的最值问题,属于基础题. 8. 设函数 2 ( )2f xxxlnx,若存在区间 1 , 2 a b ,使 ( )f x在a,b上的值域为 (2)k a , (2)k b ,则k的取值范围是( ) A. 922 1, 4
8、ln B. 922 1, 4 ln C. 922 1, 10 ln D. 922 1, 10 ln 【答案】C 【解析】 【分析】 判断 ( )f x的单调性得出( )(2)f xk x 在 1 2 , )上有两解,作出函数图象,利用导数的意义求出k的范 围 【详解】解: ( )21fxxlnx , 1 ( )2fx x , 当 1 2 x时,( ) 0fx, ( )fx 在 1 2 , )上单调递增, 11 ( )( )20 22 fxfln , ( )f x 在 1 2 , )上单调递增, a, 1 2b ,), ( )f x 在a, b上单调递增, ( )f x在a,b上的值域为 (2)
9、k a , (2)k b , ( )(2) ( )(2) f ak a f bk b , 方程( )(2)f xk x 在 1 2 , )上有两解a,b 作出( )yf x与直线 (2)yk x 的函数图象,则两图象有两交点 若直线 (2)yk x 过点 1 ( 2 , 91 2) 42 ln , 则 92 2 10 ln k , 若直线 (2)yk x 与( )yf x的图象相切,设切点为 0 (x, 0) y , 则 00 2 0000 00 (2) 2 21 yk x yxx lnx xlnxk ,解得1k 922 1 10 ln k , 故选:C 【点睛】本题考查了函数的单调性,导数的
10、几何意义,零点个数与函数图象的关系,属于中档题 二、多项选择题:本题共二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分.在每小题给出的选项中,有多项符合在每小题给出的选项中,有多项符合 题目要求题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分,有选错的得分,有选错的得 0分分.部分选对的得部分选对的得 3 分分. 9. 下列命题中正确的是( ) A. 0,x ,2 3 xx B. 0,1x , 23 loglogxx C. 0,x , 1 3 1 log 2 x x D. 1 0, 3 x , 1 3 1 log 2 x x 【答案】BD 【解析】 【分析】 利用指
11、数函数 2 3 x y 的单调性 可判断 A 选项的正误;利用换底公式可判断 B 选项的正误;取 1 2 x 可 判断 C选项的正误;利用对数函数和指数函数的单调性可判断 D 选项的正误. 【详解】对于 A,当0 x时, 22 1 33 x x x ,23 xx 恒成立,A错误; 对于 B, 2 3 loglglg3lg3 1 loglg2lglg2 xx xx ,当01x时, 2 log0 x , 3 log0 x , 23 loglogxx,B正 确; 对于 C,当 1 2 x 时, 12 22 x , 1 2 log1x ,则 1 2 1 log 2 x x ,C错误; 对于 D,由对数
12、函数与指数函数的单调性可知,当 1 0, 3 x 时, 1 3 1 1log 2 x x 恒成立,D正确. 故选:BD. 【点睛】 本题考查全称命题和特称命题正误的判断,考查了指数和对数函数单调性的应用,考查推理能力, 属于中等题. 10. 已知数列 n a前n项和为 n S.且 1 ap, 1 22 (2) nn SSp n (p为非零常数)测下列结论中正确的 是( ) A. 数列 n a等比数列 B. 1p 时, 4 15 16 S C. 当 1 2 p 时, * , mnm n aaam nN D. 3856 aaaa 【答案】AC 【解析】 【分析】 由 1 22 (2) nn SSp
13、 n 和等比数列的定义,判断出 A正确;利用等比数列的求和公式判断 B错误;利用 等比数列的通项公式计算得出 C正确,D 不正确 【详解】由 1 22 (2) nn SSp n ,得 2 2 p a . 3n时, 12 22 nn SSp ,相减可得 1 20 nn aa , 又 2 1 1 2 a a ,数列 n a为首项为p,公比为 1 2 的等比数列,故 A正确; 由 A 可得1p 时, 4 4 1 1 15 2 1 8 1 2 S ,故 B 错误; 由 A 可得 mnm n aaa 等价为 21 2 11 22 m nm n pp ,可得 1 2 p ,故 C 正确; 38 27 11
14、33 | 22128 aapp , 56 45 1112 | 22128 aapp , 则 3856 aaaa,即 D 不正确; 故选:AC. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式,考查数列的递推关系式,考查学生的计算能力,属于 中档题 11. 已知函数 f x满足:对于定义域中任意x,在定义域中总存在t,使得 f tf x成立.下列函数 中,满足上述条件的函数是( ) A. ( )1f xx=- B. 4 ( )f xx C. 1 ( ) 2 f x x D. ( )ln(21)f xx 【答案】ACD 【解析】 【分析】 由题意转化条件为函数 f x的值域关于原点对称,逐项判断即可
15、得解. 【详解】由题意可得函数 f x的值域关于原点对称, 对于 A,函数( )1f xx=-的值域为R,关于原点对称,符合题意; 对于 B,函数 4 yx的值域为0, ),不关于原点对称,不符合题意; 对于 C,函数 1 ( ) 2 f x x 值域为(,0)(0,), 关于原点对称,符合题意; 对于 D,函数 ( )ln 21f xx 的值域为R,关于原点对称,符合题意; 故选:ACD. 【点睛】本题考查了常见函数值域的求解,考查了转化化归思想,属于基础题. 12. 下图是函数( ) sin()f xAx (其中0A,0,0 |x)的部分图象,下列结论正确的是 ( ) A. 函数 12 y
16、fx 的图象关于原点对称 B. 函数 f x的图象关于点 ,0 12 对称 C. 函数 f x在区间 , 3 4 上单调递增 D. 方程 ( )1f x 在区间 23 , 1212 上的所有实根之和为 8 3 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据函数图象求出 ( )f x的解析式,根据正弦型函数的性质判断选项正误. 【详解】由已知,2A, 25 43124 T ,因此T, 2 2 , 所以( )2sin(2)f xx,过点 2 , 2 3 , 因此 43 2 32 k ,kZ,又0 |, 所以 6 ,( )2sin 2 6 f xx , 对 A,2sin2 12 yfxx 图象关于原点对称
17、,故 A正确; 对 B,当 12 x 时,0 12 f ,故 B正确; 对 C,由222 262 kxk ,有 36 kxk ,kZ故 C不正确; 对 D, 当 23 1212 x 时,20,4 6 x , 所以1y 与函数 yf x有 4个交点令横坐标为 1 x, 2 x, 3 x, 4 x, 1231 78 22 663 xxxx ,故 D正确. 故选:ABD. 【点睛】本题考查根据正弦型函数的部分图象求函数的解析式,以及分析正弦型函数的性质,属于基础题. 三、填空题:本题共三、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13. 已知向量a、b满足 2a
18、,2b ,若aba,则向量a与b的夹角为_. 【答案】 4 【解析】 【分析】 设向量a与b的夹角为,由已知条件得出0aba,可求得cos的取值范围,结合角的取值范围 可得出的值. 【详解】aba,0aba rrr ,可得 2 2 2a baa,则 2 cos 2 a b a b r r rr , 又0,,故 4 . 故答案为: 4 . 【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求向量的夹角,同时也考查了平面向量垂直的数量积表示,考查 计算能力,属于基础题. 14. 若 42 log (4 )log 2abab,则a b的最小值是_. 【答案】 9 4 【解析】 【分析】 根据对数的运算法则和对数的
19、换底公式进行化简,结合基本不等式利用 1的代换进行转化求解即可 【详解】解: 424 log (4 )log 2log (4)ababab, 44abab, 40 40 ab ab 得 0 0 a b , 得 4 1 4 ab ab , 即 11 1 4ba , 则 111559 ()()121 4444444 aba b abab babab a , 当且仅当 4 ab ba ,即2ab时取等号, 即a b的最小值为 9 4 , 故答案为: 9 4 . 【点睛】本题主要考查不等式的应用,结合对数的运算法则得到等式条件,结合 1 的代换是解决本题的关 键 15. 易经中记载着一种几何图形一一八
20、封图,图中正八边形代表八卦,中间的圆代表阴阳太极图,图中 八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.某中学开展劳动实习,去测量当地八卦田的面积如图,现测得正八边 形的边长为8m,代表阴阳太极图的圆的半径为2m,则每块八卦田的面积为_ 2 m . 【答案】16 216 2 【解析】 【分析】 由图可知,正八边形分割成 8个全等的等腰三角形,顶角为45,设等腰三角形的腰长为a,利用正弦定理 可求出a的值,再利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】由图可知,正八边形分割成 8个全等的等腰三角形, 顶角为 360 45 8 , 设等腰三角形的腰长为a, 由正弦定理可得 8 135 sin45 sin 2 a
21、, 解得 135 8 2sin 2 a , 所以三角形的面积 2 11351 cos135 8 2sinsin4532 216( 21) 222 S , 则每块八卦田的面积为 22 1 16( 21)216 216m 82 . 故答案为:16 216 2 . 【点睛】本题主要考查了正弦定理和三角形的面积公式.属于较易题. 16. 已知数列 n a满足 1 ( 1)21 n nn aan ,则 n a前 48 项之和为_. 【答案】1176 【解析】 【分析】 先写出前几项与 1 a的关系,观察找规律发现相邻奇数项的和为 2,偶数项中,每隔一项构成公差为 8 的等差 数列,由等差数列的求和公式计
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