2021年人教A版高中数学知识点与公式大全
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1、人教人教 A 版高中数学知识点与公式大全(按照教学顺序)版高中数学知识点与公式大全(按照教学顺序) 必修一必修一 第一章第一章 集合与函数概念集合与函数概念 1.集合集合 1.1 集合的概念及其表示集合的概念及其表示 .集合中元素的三个特征: 确定性:确定性:给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了 互异性:互异性:一个集合中的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的. 无序性:无序性:即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。 .元素与集合的关系有且只有两种:属于(用符号“”表示)和不属于(用符号“”表示) .集合常用的表示方法有三种:列举法、Venn 图、描述法 (4)
2、.常见的数集及其表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 表示符号 N * N或 N Z Q R 1.2 集合间的基本关系集合间的基本关系 性质 符号表示 空集 空集是任何集合的子集 A 空集是任何非空集合的真子集 )(AA 相等 集合 A 与集合 B 所有元素相同 A=B 子集 集合A中的任何一个元素均是集合B中的元素 BA 真子集 集合 A 中的任何一个元素均是集合 B 中的元 素,且 B 中至少有一个元素在 A 中没有 1.3 集合之间的基本运算集合之间的基本运算 符号表示符号表示 集合表示集合表示 并集并集 BA BAxxx|或 交集交集 BA BxAxx 且| 补
3、集补集 ACU AUxxx|且 【重要提醒】 1若有限集 A 中有 n 个元素,则集合 A 的子集个数为 2n,真子集的个数为 2n1. 2ABABAABB UU ABABU 痧 . 3奇数集: 21,21,41.x xnnx xnnx xnnZZZ. 4. 德摩根定律:并集的补集等于补集的交集,即()=()() UUU ABAB痧?; 交集的补集等于补集的并集,即()=()() UUU ABAB痧? 2.函数及其表示函数及其表示 2.1 函数与映射的相关概念函数与映射的相关概念 函数 映射 两个集合 A、B 设 A、B 是两个非空数集 设 A、B 是两个非空集合 对应关系 按照某种确定的对应
4、关系 f, 使对于集 合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中 都有唯一确定的数 f(x)和它对应 按某一个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有 唯一确定的元素 y 与之对应 名称 称 f:AB 为从集合 A 到集合 B 的一 个函数 称 f: AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映 射 记法 yf(x),xA f:AB 注意:判断一个对应关系是否是函数关系,就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个 自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点 (2)函数的定义域、值域 在函数 yf(x),xA 中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫
5、做函数的定义域,与 x 的值相对应的 y 值叫做 函数值,函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域 (3)构成函数的三要素:函数的三要素为定义域、值域、对应关系. (4)函数的表示方法 函数的表示方法有三种:解析法、列表法、图象法. 解析法:一般情况下,必须注明函数的定义域; 列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征; 图象法:注意定义域对图象的影响. 2.2 函数的三要素函数的三要素 (1) 函数的定义域函数的定义域 函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围,常见基本初等函数定义域的要求为: (1)分式函数中分母不等于零.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于 0. (
6、3)一次函数、二次函数的定义域均为 R.(4)yx0的定义域是x|x0. (2) 函数的解析式函数的解析式 (1)函数的解析式是表示函数的一种方式,对于不是 yf(x)的形式,可根据题目的条件转化为该形式. (2)求函数的解析式时,一定要注意函数定义域的变化,特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式,不 注明定义域往往导致错误. (3) 函数的值域函数的值域 函数的值域就是函数值构成的集合,熟练掌握以下四种常见初等函数的值域: (1)一次函数 ykxb(k 为常数且 k0)的值域为 R. (2)反比例函数 k y x (k 为常数且 k0)的值域为(,0)(0,) (3)二次函数 yax2bx
7、c(a,b,c 为常数且 a0), 当 a0 时,二次函数的值域为 2 4 ,) 4 acb a ;当 a0 时,二次函数的值域为 2 4 (, 4 acb a . 求二次函数的值域时,应掌握配方法: 2 22 4 () 24 bacb yaxbxca x aa . 2.3 分段函数分段函数 分段函数的概念分段函数的概念 若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,则这种函数称为分 段函数分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数 3.函数基本性质函数基本性质 3.13.1 函数的单调性函数的单调性 单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数 f(x
8、)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内某个区间 D 上 的任意两个自变量的值 x1,x2 当 x1x2时, 都有 f(x1)f(x2), 那 么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函 数 当 x1f(x2),那 么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 单调区间的定义 如果函数 yf(x)在区间 D 上是增函数或减函数,那么就说函数 yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性, 区间 D 叫做 yf(x)的单调区间 函数的最值函数的最值 前提 设函数 yf x的定义域为I,如果存在实数M满足 条件 (1) 对于任意的xI, 都 f xM;
9、 (2)存在 0 xI,使得 0 f xM (3)对于任意的xI,都 f xM; (4)存在 0 xI,使得 0 f xM 结论 M为最大值 M为最小值 注意:注意: (1)函数的值域一定存在,而函数的最值不一定存在; (2)若函数的最值存在,则一定是值域中的元素;若函数的值域是开区间,则函数无最值,若函数的值 域是闭区间,则闭区间的端点值就是函数的最值. 函数单调性的常用结论函数单调性的常用结论 (1)若 ,f xg x均为区间 A 上的增(减)函数,则 f xg x也是区间 A 上的增(减)函数; (2)若0k ,则 kf x与 f x的单调性相同;若0k ,则 kf x与 f x单调性相
10、反; (3)函数 0yf xf x在公共定义域内与 yf x, 1 ( ) y f x 的单调性相反; (4)函数 0yf xf x在公共定义域内与( )yf x的单调性相同; (5)一些重要函数的单调性: 1 yx x 的单调性:在, 1 和1,上单调递增,在1,0和0,1上单调递减; b yax x (0a,0b) 的单调性: 在, b a 和, b a 上单调递增, 在,0 b a 和0, b a 上单调递减 3.2 3.2 函数的奇偶性函数的奇偶性 (1) 函数奇偶性的定义及图象特点函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数 f x的定义域内任意一个x,
11、都有 fxf x,那么函数 f x是偶函数 图象关于y轴对称 奇函数 如果对于函数 f x的定义域内任意一个x, 都有 fxf x,那么函数 f x是奇函数 图象关于原点对称 注意:注意:由函数奇偶性的定义可知,函数具有奇偶性的一个前提条件是:对于定义域内的任意一个 x,x也 在定义域内(即定义域关于原点对称) (2) 函数奇偶性的几个重要结论函数奇偶性的几个重要结论 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反 (2)( )f x,( )g x在它们的公共定义域上有下面的结论: ( )f x ( )g x ( )( )f xg x ( )( )f
12、xg x ( ) ( )f x g x ( ( )f g x 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 (3)若奇函数的定义域包括0,则 00f (4)若函数 f x是偶函数,则 fxf xfx (5)定义在, 上的任意函数 f x都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和 (6)若函数 yf x的定义域关于原点对称,则 f xfx为偶函数, f xfx为奇函数, f xfx为偶函数 重难点重难点 复合函数的单调性奇函数+奇函数=奇函数,
13、偶函数+偶函数=偶函数; 奇函数奇函数=偶函数,奇函数偶函数=奇函数,偶函数偶函数=偶函数; 第二章第二章 基本初等函数基本初等函数 2.1 指数与指数函数指数与指数函数 (1)根式根式 概念:式子na叫做根式,其中 n 叫做根指数,a 叫做被开方数. 性质:(na)na(a 使 n a有意义); 当 n 为奇数时,nana,当 n 为偶数时,nan|a| a,a0, a,a0,m,nN*,且 n1);正数的负分数指数幂的意义是 a m n 1 n am (a0,m,nN*,且 n1);0 的正分数指数幂等于 0;0 的负分数 指数幂没有意义. 有理指数幂的运算性质:arasar+s;(ar)
14、sars;(ab)rarbr,其中 a0,b0,r,sQ. (3)指数函数及其性质指数函数及其性质 概念:函数 yax(a0 且 a1)叫做指数函数,x 是自变量,函数的定义域是 R,a 是底数. 指数函数的图象与性质 a1 0a0 时,y1; 当 x0 时,0y1 当 x1; 当 x0 时,0y0,且 a1),那么 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作Nx a log,其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数. (2)对数的性质、换底公式与运算性质对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质:alogaNN;logaabb(a0,且 a1). (2)对数的运算法则;如果 a0 且 a1,
15、M0,N0,那么 NMMN aaa loglog)(log; NM N M aaa logloglog; MnM a n a loglog(nR); b n m b a m an loglog. (3)换底公式: a b b c c a log log log(a,b 均大于零且不等于 1). (3)对数函数及其性质对数函数及其性质 (1)概念:ylogax(a0,且 a1)叫做对数函数,其中 x 是自变量,定义域是(0,). (2)对数函数的图象与性质 a1 0a1 时,y0; 当 0x1 时,y1 时,y0; 当 0x0 在(0,)上是增函数 在(0,)上是减函数 2.3 幂函数幂函数 (
16、1)幂函数的定义:一般地,形如 yx的函数称为幂函数,其中 x 是自变量, 为常数. (2)常见的 5 种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 幂函数在(0,)上都有定义; 当 0 时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,)上单调递增; 当 0 时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,)上单调递减. 第三章第三章 函数的应用函数的应用 1.函数零点的定义函数零点的定义 一般地,如果函数( )yf x在实数处的值等于零,即( )0f ,则 叫做这个函数的零点零点. 重点强调重点强调:零点不是点,是一个实数; 2.2.零点存在性定理零点存在性定理 如果函数( )yf x在区间a,b
17、上的图象是连续不断的一条曲线,并且有0)()(bfaf,那么函数 ( )yf x在区间(a,b)内有零点,即存在),(bac,使得0)(cf,这个c也就是方程0)(xf的根. 3.3.二分法二分法 二分法求零点:对于在区间a,b上连续不断,且满足)(af)(bf0的函数)(xfy ,通过不断地把函 数)(xf的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二二 分法分法 给定精度,用二分法求函数)(xf的零点近似值的步骤如下: (1)确定区间a,b,验证)(af)(bf0,给定精度; (2)求区间a(,)b的中点 1 x; (3)计算)( 1 xf:若)(
18、1 xf=0,则 1 x就是函数的零点; 若)(af)( 1 xf0,则令b= 1 x(此时零点),( 10 xax ) ; 若)( 1 xf)(bf0,0) A T2 f1 T 2 x 3.用五点法画 yAsin(x)一个周期内的简图 用五点法画 yAsin(x)一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表所示: x 2 3 2 2 x 0 2 3 2 2 yAsin(x) 0 A 0 A 0 第二章第二章 平面向量平面向量 1.向量的有关概念向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量;向量的大 小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 零向量 长度为 0 的向量 记作
19、 0,其方向是任意的 单位向量 长度等于 1 个单位的向量 非零向量 a 的单位向量为 a |a| 平行向量 方向相同或相反的非零向量(又叫 做共线向量) 0 与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不相等, 不能比较大 小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0 的相反向量为 0 2.向量的线性运算向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和 的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律: abba; (2)结合律: (ab)ca(b c) 减法 求a与b的相反 向量b的和的 运算叫做 a 与 b 的差 三角形法则 ab
20、a(b) 数乘 求实数 与向 量 a 的积的运 |a|a|,当 0 时,a 的方向与 a 的方向相同;当 (a)()a;()aa a;(ab)ab 算 0时, a的方向与a的方向相反; 当 0 时,a0 3.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 运算 坐标表示 和(差) a(x1,y1),b(x2,y2),ab(x1x2,y1y2),ab(x1x2,y1y2) 数乘 已知 a(x1,y1),则 a(x1,y1),其中 是实数 任一向量的坐标 已知 A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB (x 2x1,y2y1) 4.向量的夹角向量的夹角 定义 图示 范围 共线与垂直 已知两个非零向量 a
21、 和 b, 作 OA a, OBb,则 AOB 就是 a 与 b 的夹角 设是a与b的夹角, 则 的取值范围是 0180 0或 180 ab,90 ab 5.平面向量的数量积平面向量的数量积 定义 设两个非零向量 a, b 的夹角为 , 则数量|a|b|cos 叫做 a 与 b 的数 量积,记作 a b 投影 |a|cos 叫做向量 a 在 b 方向上的投影, |b|cos 叫做向量 b 在 a 方向上的投影 几何意义 数量积 a b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积 6.向量数量积的运算律向量数量积的运算律 交换律 a bb a 分配律 (ab) ca
22、 cb c 数乘结合律 (a) b(a b)a (b) 第三章第三章 三角恒等变换三角恒等变换 1 1、同角三角函数的基本关系式、同角三角函数的基本关系式 : 22 sincos1,tan= = cos sin , 2 2、正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限)、正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限) 3 3、和角与差角公式、和角与差角公式 sin()sincoscossin cos( )coscossinsin tantan tan() 1tantan . . cossin21)cos(sin 2 4 4、二倍角公式及降幂公式、二倍角公式及降幂公式 sin2sincos. .
23、 2222 cos2cossin2cos11 2sin 2 2tan tan2 1tan 22 1 cos21 cos2 sin,cos 22 必修五必修五 第一章第一章 解三角形解三角形 【正弦定理】 2 sinsinsin abc R ABC (R 为ABC外接圆的半径). 【正弦定理的变形】2 sin,2 sin,2 sinaRA bRB cRC 2 sinsinsinsinsinsin abcabc R ABCABC 【三角形常用结论 】 (1)BABABAbacoscossinsin (2)在ABC 中,有()ABCCAB 222 CAB 222()CAB. (3)面积公式: 111
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