江苏省南京市三校2020-2021学年高三上期中联考数学试题(含答案)
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1、2020-2021 学年度第一学期高三期中三校联考数学试卷学年度第一学期高三期中三校联考数学试卷 注意事项:注意事项: 1答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定的位置上 2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案标号回答非选择题时,将答案写在答题卡上写在本试卷上无效 3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回 一、一、选择题选择题:本题共本题共 8 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 40 分分在在每小题给出每小题给出的四个选项中的四个选项中,只有一项是符合题目要只有一项是符合题目要 求的求的 1设集合1,
2、3)M ,(2,5N ,则MN ( ) A1,5 B2,3 C1,2 D3,5 2已知 i 是虚数单位,设复数 2 2 i abi i ,其中, a bR,则ab的值为( ) A 7 5 B 7 5 C 1 5 D 5 1 3从 5 名同学中选若干名分别到图书馆、食堂做志愿者,若每个地方至少去 2 名,则不同的安排方法共有 ( ) A20 种 B50 种 C80 D100 种 4中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题: “三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛減 一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还 ”你的计算结果是( ) A80 里 B86 里 C90 里 D96 里 5
3、若正数 a 是一个不等于 1 的常数,则函数logayx与函数(0) a yxx在同个坐标系中的图象可能 是( ) A B C D 6设 2.1 0.3a , 0.3 2.1b , 0.3 log2.1c , 2.1 log0.3d ,则 a,b,c,d 的大小关系为( ) Aabcd Bdcba Cbacd Dbadc 7在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 22 :9C xy及圆 C 内的一点1,2P,圆 C 的过点 P 的直径为 MN,若线段 AB 是圆 C 的所有过点 P 的弦中最短的弦,则()AMBNAB的值为( ) A8 B16 C4 D4 3 8 设 f x是定义在 R 上的函数
4、,( )(1)g xf x 若函数 g x满足下列条件: g x是偶函数; g x 在区间0,)上是增函数; g x有一个零点为 2,则不等式(1) ( )0 xf x的解集是( ) A(3,) B(1,) C(, 1)(1,) D(, 1)(3,) 二、选择题:本题共二、选择题:本题共 4 小题小题,每小题每小题 5 分分,共共 20 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求有多项符合题目要求全全 部选对的得部选对的得 5 分分,有选错的得有选错的得 0 分分,部分选对的得部分选对的得 3 分分 9在平面直角坐标系 xOy 中,为了使方程 22 20 xmy表
5、示准线垂直于 x 轴的圆锥曲线,实数 m 的取 值范围可以是( ) A(1,) B(,0) C(,) D(0,) 10若将函数sin()yAx的图象上所有的点向右平移 3 个单位,再把得到的图象上各点的横坐标变 为原来的 3 倍 (纵坐标不变) , 最后得到函数 22 sin 33 yx 的图象, 则实数的值可能是 ( ) A 4 3 B 2 3 C 2 3 D 4 3 11设0a,0b ,且24ab,则下列结论正确的是( ) A 11 ab 的最小值为2 B 21 ab 的最小值为 2 C 12 ab 的最小值为 9 4 D1 11 ba ab 12设常数aR, * nN,对于二项式(1)n
6、a x的展开式,下列结论中,正确的是( ) A若 1 a n ,则各项系数随着项数增加而减小 B若各项系数随着项数增加而增大,则an C若2a ,10n,则第 7 项的系数最大 D若2a ,7n,则所有奇数项系数和为 239 三、填空题三、填空题:本大题共本大题共 4 小题小题;每小题每小题 5 分分,共共 20 分分把答案把答案填填在答题卡中相应的横线上在答题卡中相应的横线上 13在平面直角坐标系 xOy 中,过抛物线 2 :C ymx的焦点 F 作斜率为 l 的直线,与抛物线 C 交于 A,B 两点若弦 AB 的长为 6,则实数 m 的值为_ 14今年元旦,市民小王向朋友小李借款 100
7、万元用于购房,双方约定年利率为 5%,按复利计算(即本年 利息计入次年本金生息) ,借款分三次等额归还,从明年的元旦开始,连续三年都是在元旦还款,则每 次的还款额是_元 (四舍五入,精确到整数) 15数学家研究发现,对于任意的xR, 35721 1* sin( 1) 3!5!7!(21)! n n xxxx xxnN n , 称为正弦函数的泰勒展开式在精度要求不高的情况下,对于给定的实数 x,可以用这个展开式来求 sinx的近似值如图,百货大楼的上空有一广告气球,直径为 6 米,在竖直平面内,某人测得气球中 心 B 的仰角30BAC,气球的视角2 ,则该气球的高 BC 约为_米 (精确到 1
8、米) 16如图所示,多面体 ABCDEFGH 中对角面 CDEF 是边长为 6 的正方形,AB DC,HGDE且 AB, GH 到平面 CDEF 的距离都是 3,则该多面体的体积为_ 四、解答题四、解答题:本题共本题共 6 小题小题;共共 70 分分将解将解答答写在答题卡中相应的空写在答题卡中相应的空白白处处解答应写解答应写出出文字说明、证文字说明、证明明过过 程或演算步骤程或演算步骤 17 (本小题满分 10 分) 设函数 2 ( )4 3cos4sin cos1f xxxx (1)求 f x的最小正周期和值域; (2)在锐角ABC中,设角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c若 1f A
9、 ,1a ,求ABC周 长的取值范围 18 (本小题满分 12 分) 读本题后面有待完善的问题在下列三个关系 1 1 1 2 nn aa , 1 2 nn aa ,21 nn Sa中选 择一个作为条件,补充在题中横线标志的_处,使问题完整,并解答你构造的问题 (如果选择多个关 系并分别作答,在不出现逻辑混乱的情况下,按照第一个解答给分) 设数列 n a的前 n 项和为 n S, 1 1a ,对任意的 * nN都有_;等比数列 n b中,对任意的 * nN, 都有0 n b , 21 23 nnn bbb , 且 1 1b 问是否存在 * kN使得对任意的 * nN都有 n kkn a ba b
10、? 若存在,试求出k的值;若不存在,试说明理由 19 (本小题满分 12 分) 如图所示,在四棱锥PABCD中,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,PA 底面 ABCD,点 M 是侧 棱 PC 的中点,AM 平面 PBD (1)求 PA 的长; (2)求棱 PC 与平面 AMD 所成角的正弦值 20 (本小题满分 12 分) 在 20 人身上试验某种血清对预防感冒的作用,把他们一年中是否患感冒的人数与另外 20 名未用血清 的人是否患感冒的人数作比较,结果如下表所示 未感冒 感冒 使用血清 17 3 未使用血清 14 6 (1)从上述患过感冒的人中随机选择 4 人,以进一步硏究他们患感冒的
11、原因记这 4 人中使用血清的 人数为 X,试写出 X 的分布律; (2)有多大的把握得出“使用该种血清能预防感冒的结论?你的结论是什么?请说明理由 附:对于两个研究对象 I(有两类取值:类 A,类 B)和(有两类取值:类 1,类 2)统计数据的一个 22 列联表: 类 1 类 2 类 A a b 类 B c d 有 2 2 () ()()()() n adbc ab cd ac bd ,其中na b cd 临界值表(部分)为 2 Pk 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.01 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2
12、.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 21 (本小题满分 12 分) 设 M 是定义在 R 上且满足下列条件的函数 f x构成的集合:方程 0f xx有实数解;函数 f x的导数 fx 满足 01fx (1)试判断函数 sin ( ) 24 xx f x 是否集合 M 的元素,并说明理由; (2)若集合 M 中的元素 f x具有下面的性质:对于任意的区间,m n,都存在 0 , xm n x,使得等式 0 ( )( )()f nf mnm fx成立,证明:方程 0f xx有唯一实数解; (3) 设 1 x是方程 0f x x 的实数解, 求证: 对于函数 f
13、x任意的 23 ,x xR, 当 21 1xx, 31 xx 1时,有 32 2fxfx 22 (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆 E 与双曲线 22 :1 3612 yx C有共同的中心和准线,且双曲线 C 的 一条渐近线被椭圆 E 截得的弦长为4 2 (1)求椭圆 E 的方程 (2)若过点(0,)Pm存在两条互相垂直的直线都与椭圆 E 有公共点,求实数m的取值范围 2020-2021 学年度第一学期高三期中三校联考学年度第一学期高三期中三校联考 数学试卷答案数学试卷答案 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分
14、分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的求的 1-5BDBDC 6-8CBA 二、选择题:本题共二、选择题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求全全 部选对的得部选对的得 5 分,有选错的得分,有选错的得 0 分,部分选对的得分,部分选对的得 3 分分 9AB 10AC 11BC 12BCD 三、填空题:本大题共三、填空题:本大题共 4 小题;每小题小题;每小题 5 分,共分,共 20 分分把答案填在答题卡中相应的横线
15、上把答案填在答题卡中相应的横线上 133 14367209 1586 16108 四、解答题:本题共四、解答题:本题共 6 小题;共小题;共 70 分分将解答写在答题卡中相应的空白处将解答写在答题卡中相应的空白处解答应写出文字说明、证明过解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤程或演算步骤 17解: (1)因为 1cos2 ( )4 32sin21 2 x f xx 2 3cos22sin22 31xx 4cos 22 31 6 x 所以( )f x的最小正周期为 2 2 T 因为1cos 21 6 x , 所以32 34cos 22 3152 3 6 x 所以,函数( )f x的值域为区间
16、32 3,52 3 (2)由( )1f A ,得 3 cos 2 62 A 因为 A 为锐角,所以 7 2 666 A , 所以 5 2 66 A ,即 3 A 因为AB C,所以 2 3 CB 由正弦定理 sinsinsin abc ABC , 得 2 3 sin 3 bB, 2 32 32 sinsin 333 cCB , 所以 2 32 1sinsin 33 abcBB 2 331 1sincossin 322 BBB 2 333 1sincos12sin 3226 BBB 因为ABC为锐角三角形, 所以0 2 B ,0 2 C , 即 0 2 262 0 32 B B B 所以 2 3
17、63 B ,所以 3 sin1 26 B , 即31 12sin3 6 B 所以ABC周长的取值范围为区间( 31,3 18解:设等比数列 n b的公比为 q 因为对任意的 * nN,都有 21 23 nnn bbb , 所以 2 23qq,解得1q 或 3 2 因为对任意的 * nN,都有0 n b ,所以0q ,从而 3 2 q 又 1 1b ,所以 1 3 2 n n b 显然,对任意的 * nN,0 n b 所以,存在 * kN,使得:对任意的 * nN,都有 n kkn a ba b, 即 nk nk aa bb 记 n n n a c b , * nN 下面分别就选择作为条件进行研
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