2.1比较法 学案(含答案)
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1、一一 比较法比较法 学习目标 1.理解比较法证明不等式的理论依据.2.掌握利用比较法证明不等式的一般步骤.3. 体会比较法所体现的转化与化归的数学思想方法 知识点一 作差比较法 思考 比差法的理论依据是什么? 答案 abab0;abab0;abab0. 梳理 作差比较法 (1)作差比较法的理论依据:ab0ab;ab0ab;ab0ab. (2)作差比较法解题的一般步骤:作差;变形整理;判定符号;得出结论 其中变形整理是解题的关键,变形整理的目的是为了能够直接判定与 0 的大小关系,常用的 方法:因式分解,配方,通分,分子或分母有理化等 知识点二 作商比较法 思考 1 对于两个正数 a,b,若a
2、b1,能够判断 a,b 的大小吗? 答案 能,根据不等式的性质知,对于正数 a,b,a b1ab. 思考 2 类比作差比较法,请谈谈作商比较法 答案 对于正数 a,b,a b1ab; a b1ab; a b1 ab. 梳理 (1)作商比较法:若 a0,b0,要证明 ab,只要证明a b1;要证明 ba,只要证 明a b1.这种证明不等式的方法,叫做作商比较法 (2)作商比较法的理论依据是不等式的基本性质: b0,若a b1,则 ab;若 a b1,则 ab; b0,若a b1,则 ab;若 a b1,则 ab. (3)作商比较法解题的一般步骤:判定 a,b 符号;作商;变形整理;判定与 1 的
3、大 小关系;得出结论. 类型一 作差比较法证明不等式 例 1 已知正数 a,b,c 成等比数列,求证:a2b2c2(abc)2. 证明 因为正数 a,b,c 成等比数列, 所以 b2ac,b ac, 又(a2b2c2)(abc)2 a2b2c2a2b2c22ab2ac2bc 2ab4b22bc2b(a2bc) 2b( a c)20, 所以 a2b2c2(abc)2. 反思与感悟 作差比较法的关键是作差后的变形, 一般通过分解因式或将差式转化为积商式, 以便与 0 比较大小 跟踪训练 1 已知 a1,求证: a1 a a a1. 证明 ( a1 a)( a a1) 1 a1 a 1 a a1 a
4、1 a1 a1 a a a10, a1 a a a1. 类型二 作商比较法证明不等式 例 2 已知 a0,b0,求证:aabb 2 a b ab . 证明 因为 aabb0, 2 a b ab 0, 所以 aabb 2 a b ab 22 a bb a ab 2 a b ab . 当 ab 时,显然有 2 a b a b 1; 当 ab0 时,a b1, ab 2 0, 所以由指数函数的单调性可知, 2 a b a b 1; 当 ba0 时,0a b1, ab 2 0, 所以由指数函数的单调性可知, 2 a b a b 1. 综上可知,对任意实数 a,b,都有 aabb 2 a b ab .
5、引申探究 1若 a0,b0,求证: 2 a b ab abba. 证明 因为 abba0, 2 a b ab 0, 所以 abba 2 a b ab 2 22 . b a b aa b a ab b 所以当 ab 时,显然有 2 1; b a a b 当 ab0 时,a b1, ba 2 0, 由指数函数的单调性, 可得 2 b a a b a b 01; 当 ba0 时,0a b1, ba 2 0, 由指数函数的单调性, 可得 2 b a a b a b 01, 综上可知,对任意 a0,b0,都有 abba 2 a b ab . 2当 a0,b0 时,比较 aabb与 abba的大小 解 由
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