1.4.1(第3课时)空间中直线、平面的垂直 学案(含答案)2020年秋人教A版(新教材)选择性必修第一册
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1、第第 3 3 课时课时 空间中直线、平面的垂直空间中直线、平面的垂直 学习目标 熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的垂直关系 知识点一 线线垂直的向量表示 设 u1,u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量,则 l1l2u1u2u1 u20. 知识点二 线面垂直的向量表示 设 u 是直线 l 的方向向量,n 是平面 的法向量, l,则 lunR,使得 u n. 知识点三 面面垂直的向量表示 设 n1,n2 分别是平面 , 的法向量,则 n1n2n1 n20. 1若直线 l 的方向向量 a(1,0,2),平面 的法向量为 n(2,0,4),则( ) Al Bl Cl Dl 与
2、斜交 答案 B 解析 n2a,an,即 l. 2已知两不重合直线 l1和 l2的方向向量分别为 a(31,0,2),b(1,1,),若 l1l2, 则 的值为( ) A1 或1 2 B1 或1 2 C1 或1 2 D1 或1 2 答案 D 解析 由题意知,ab, 31220, 1 或1 2. 3(多选)下列命题中,正确的命题为( ) A若 n1,n2分别是平面 , 的法向量,则 n1n2 B若 n1,n2分别是平面 , 的法向量,则 n1 n20 C若 n 是平面 的法向量,a 是直线 l 的方向向量,若 l 与平面 垂直,则 na D若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面不垂直 答案 BCD
3、 解析 A 中平面 , 可能平行,也可能重合,结合平面法向量的概念,可知 BCD 正确 4平面 与平面 垂直,平面 与平面 的法向量分别为 u(1,0,5),v(t,5,1),则 t 的值为_ 答案 5 解析 平面 与平面 垂直, 平面 的法向量 u 与平面 的法向量 v 垂直, u v0,即1t05510, 解得 t5. 一、证明线线垂直问题 例 1 如图,ABC 和BCD 所在平面互相垂直,且 ABBCBD2,ABCDBC 120 ,E,F 分别为 AC,DC 的中点求证:EFBC. 证明 由题意,以点 B 为坐标原点,在平面 DBC 内过点 B 作垂直于 BC 的直线为 x 轴,BC 所
4、在直线为 y 轴, 在平面 ABC 内过点 B 作垂直 BC 的直线为 z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 易得 B(0,0,0),A(0,1, 3),D( 3,1,0),C(0,2,0), 因而 E 0,1 2, 3 2 ,F 3 2 ,1 2,0 , 所以EF 3 2 ,0, 3 2 ,BC (0,2,0), 因此EF BC0.从而EFBC,所以 EFBC. 反思感悟 证明两直线垂直的基本步骤:建立空间直角坐标系写出点的坐标求直线的方 向向量证明向量垂直得到两直线垂直 跟踪训练 1 已知正三棱柱 ABC-A1B1C1的各棱长都为 1,M 是底面上 BC 边的中点,N 是侧 棱 CC1上
5、的点,且 CN1 4CC1.求证:AB1MN. 证明 设 AB 的中点为 O,作 OO1AA1.以 O 为坐标原点,OB 所在直线为 x 轴,OC 所在直 线为 y 轴,OO1所在直线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz. 由已知得 A 1 2,0,0 ,B 1 2,0,0 ,C 0, 3 2 ,0 , N 0, 3 2 ,1 4 ,B1 1 2,0,1 , M 为 BC 的中点, M 1 4, 3 4 ,0 . MN 1 4, 3 4 ,1 4 ,AB1 (1,0,1), MN AB1 1 40 1 40. MN AB1 ,AB 1MN. 二、证明线面垂直问题 例 2 如图,在四
6、棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD底面 ABCD,PD DC, E 为 PC 的中点,EFBP 于点 F.求证:PB平面 EFD. 证明 由题意得,DA,DC,DP 两两垂直, 所以以 D 为坐标原点,DA,DC,DP 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz,如图, 设 DCPD1,则 P(0,0,1),A(1,0,0),D(0,0,0),B(1,1,0),E 0,1 2, 1 2 . 所以PB (1,1,1),DE 0,1 2, 1 2 ,EB 1,1 2, 1 2 ,设 F(x,y,z), 则PF (x,y,z1),EF x,y1 2,z
7、 1 2 . 因为EF PB,所以 x y1 2 z1 2 0, 即 xy z0. 又因为PF PB,可设PFPB(01), 所以 x,y,z1. 由可知,x1 3,y 1 3,z 2 3, 所以EF 1 3, 1 6, 1 6 . 方法一 因为PB DE (1,1,1) 0,1 2, 1 2 01 2 1 20, 所以PB DE ,所以 PBDE, 因为 PBEF,又 EFDEE,EF,DE平面 EFD. 所以 PB平面 EFD. 方法二 设 n2(x2,y2,z2)为平面 EFD 的法向量, 则有 n2 EF 0, n2 DE 0, 即 1 3x2 1 6y2 1 6z20, 1 2y2
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